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TEDxOslo

Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world

ロジャー・アントンセン: 世界を理解する奥義としての数学

January 29, 2016

ロジャー・アントンセンと一緒に、最も想像力を使う芸術様式である数学を通して、世界の仕組みや謎を解き明かしましょう。見方をちょっと変えることで、パターンや数や式が姿を現し、それが共感や理解に繋がるのだと彼は言います。

Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations. Full bio

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Double-click the English subtitles below to play the video.
Hi.
私がお話ししたいのは
理解について —
00:12
I want to talk about understanding,
and the nature of understanding,
理解というものの性質
00:14
and what the essence of understanding is,
理解の本質は何か
ということです
00:18
because understanding is something
we aim for, everyone.
というのも 理解は誰もが
求めるものだからです
00:21
We want to understand things.
私たちは物事を
理解したいと思います
00:24
My claim is that understanding has to do
私の考えでは
00:27
with the ability to change
your perspective.
理解というのは ものの見方を
変える能力に関係しています
00:29
If you don't have that,
you don't have understanding.
それなくしては
理解することもありません
00:32
So that is my claim.
それが私の主張です
00:35
And I want to focus on mathematics.
ここでは数学に
話を絞りましょう
00:37
Many of us think of mathematics
as addition, subtraction,
多くの人の考える数学とは
加算 減算
00:39
multiplication, division,
乗算 除算
00:43
fractions, percent, geometry,
algebra -- all that stuff.
分数 パーセント 幾何 代数・・・
そういったものです
00:45
But actually, I want to talk
about the essence of mathematics as well.
しかし私は数学のもっと本質的な部分にも
触れたいと思います
00:49
And my claim is that mathematics
has to do with patterns.
私に言わせると 数学とは
パターンに関するものです
00:53
Behind me, you see a beautiful pattern,
後ろのスクリーンに
きれいなパターンが映っています
00:56
and this pattern actually emerges
just from drawing circles
このパターンは
00:59
in a very particular way.
円をある特定の仕方で
描くことで現れます
01:03
So my day-to-day definition
of mathematics that I use every day
私が日常的に使っている
数学の定義が
01:05
is the following:
どんなものかというと
01:10
First of all, it's about finding patterns.
それは第一に パターンを発見することに
関わるものです
01:11
And by "pattern," I mean a connection,
a structure, some regularity,
ここで「パターン」が意味するのは
関連 構造 規則性
01:15
some rules that govern what we see.
我々が目にするものを支配している
ルールといったものです
01:21
Second of all,
第2に 数学とは
01:23
I think it is about representing
these patterns with a language.
そのようなパターンを
言語で表現する行為です
01:25
We make up language if we don't have it,
適当な言語がなければ
作り出します
01:29
and in mathematics, this is essential.
これは数学にとって
本質的なことです
01:31
It's also about making assumptions
数学ではまた仮定を設け
01:34
and playing around with these assumptions
and just seeing what happens.
それをいろいろ変えて
何が起きるか調べます
01:36
We're going to do that very soon.
あとで実際に
やってご覧に入れます
01:40
And finally, it's about doing cool stuff.
最後に 数学とは
イカしたことをやるものです
01:42
Mathematics enables us
to do so many things.
数学は私たちに
様々なことをできるようにしてくれます
01:46
So let's have a look at these patterns.
こちらのパターンを
見てみましょう
01:50
If you want to tie a tie knot,
ネクタイを結ぶというとき
01:52
there are patterns.
そこにはパターンがあります
01:54
Tie knots have names.
ネクタイの結び方には
名前が付いています
01:56
And you can also do
the mathematics of tie knots.
そしてネクタイの結び方は
数学で扱うことができます
01:58
This is a left-out, right-in,
center-out and tie.
左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です
02:00
This is a left-in, right-out,
left-in, center-out and tie.
真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT)
02:03
This is a language we made up
for the patterns of tie knots,
これはネクタイの結び方の
パターンを表すために作られた言語なんです
02:07
and a half-Windsor is all that.
右のは「ハーフウィンザー」としても
知られています
02:12
This is a mathematics book
about tying shoelaces
これは靴紐の
結び方に関する
02:15
at the university level,
学部レベルの
数学の本です
02:18
because there are patterns in shoelaces.
靴紐の通し方にも
パターンがあり
02:19
You can do it in so many different ways.
非常に多くの異なる
やり方があります
02:21
We can analyze it.
それを分析し
02:23
We can make up languages for it.
そのための言語を
作ることができます
02:24
And representations
are all over mathematics.
「表現」というのは
数学の至る所に出てきます
02:28
This is Leibniz's notation from 1675.
これは1675年に書かれた
ライプニッツの記法です
02:31
He invented a language
for patterns in nature.
彼は自然界のパターンを
記述するための言語を作りました
02:35
When we throw something up in the air,
何かを上に放り投げると
02:39
it falls down.
落ちてきます
02:41
Why?
なぜか?
02:42
We're not sure, but we can represent
this with mathematics in a pattern.
よく分かりませんが
そのパターンは数学で表現できるんです
02:43
This is also a pattern.
これも一種のパターンです
02:48
This is also an invented language.
あることのために
作り出された言語です
02:49
Can you guess for what?
何か分かりますか?
02:52
It is actually a notation system
for dancing, for tap dancing.
実はタップダンスの
系統的な表記法なんです
02:55
That enables him as a choreographer
to do cool stuff, to do new things,
これによって彼は振付師として
新しいイカしたことができるようになります
02:59
because he has represented it.
表現法を手にしたからです
03:04
I want you to think about how amazing
representing something actually is.
何かを表現するというのが どれほど
すごいことか 考えてほしいんです
03:07
Here it says the word "mathematics."
これは「数学」という語を
表しています
03:12
But actually, they're just dots, right?
単なる点々でしか
ありませんよね?
03:15
So how in the world can these dots
represent the word?
どうしてこんな点で
語を表せるのでしょう?
03:18
Well, they do.
でも実際できて
03:21
They represent the word "mathematics,"
「数学」という語を
表しているんです
03:23
and these symbols also represent that word
この記号もまた「数学」を
表していますが
03:25
and this we can listen to.
これは音として
聞くこともできます
03:27
It sounds like this.
こんな音です
03:29
(Beeps)
(モールス音)
03:30
Somehow these sounds represent
the word and the concept.
この音は
言葉や概念を表現します
03:32
How does this happen?
どうやってなのでしょう?
03:36
There's something amazing
going on about representing stuff.
ものを表現するとき
すごいことが起きているんです
03:37
So I want to talk about
that magic that happens
何かを表現するときに起きる
この魔法について
03:41
when we actually represent something.
お話ししたいと思います
03:47
Here you see just lines
with different widths.
ここには太さの違う
線があるだけですが
03:49
They stand for numbers
for a particular book.
これはある特定の本を指す
数字を表しています
03:52
And I can actually recommend
this book, it's a very nice book.
ちなみにその本はお薦めです
とても良い本ですよ
03:55
(Laughter)
(笑)
03:58
Just trust me.
本当に
03:59
OK, so let's just do an experiment,
ちょっと実験をしましょう
04:01
just to play around
with some straight lines.
直線を使って
すこし遊んでみます
04:03
This is a straight line.
1本の直線があります
04:05
Let's make another one.
もう1本線を引きます
04:07
So every time we move,
we move one down and one across,
毎回一端を下に
他端を横にずらして
04:08
and we draw a new straight line, right?
線を引いていきます
04:11
We do this over and over and over,
これを繰り返していって
04:13
and we look for patterns.
パターンを探します
04:16
So this pattern emerges,
するとこのような
04:17
and it's a rather nice pattern.
なかなか綺麗な
パターンが現れます
04:20
It looks like a curve, right?
曲線のように
見えるでしょう?
04:22
Just from drawing simple, straight lines.
単に直線を
描いているだけなのに
04:23
Now I can change my perspective
a little bit. I can rotate it.
見方を少し変えてみましょう
回転させます
04:27
Have a look at the curve.
この曲線を見てください
04:30
What does it look like?
何に見えますか?
04:32
Is it a part of a circle?
円の一部でしょうか?
04:33
It's actually not a part of a circle.
円の一部ではありません
04:35
So I have to continue my investigation
and look for the true pattern.
真のパターンを見出すために
検討を続けましょう
04:37
Perhaps if I copy it and make some art?
コピーしたら何か
アートみたいになるでしょうか?
04:41
Well, no.
そうでもありません
04:45
Perhaps I should extend
the lines like this,
線を伸ばして
04:46
and look for the pattern there.
パターンを探します
04:48
Let's make more lines.
線をもっと
増やしてみましょうか
04:50
We do this.
こんな風に
04:51
And then let's zoom out
and change our perspective again.
ズームアウトして
また見方を変えてみます
04:53
Then we can actually see that
what started out as just straight lines
はじめは ただの
直線の集まりだったものが
04:57
is actually a curve called a parabola.
放物線と呼ばれる曲線に
なっているのが分かります
05:01
This is represented by a simple equation,
これはシンプルな方程式で
表現される
05:03
and it's a beautiful pattern.
美しいパターンです
05:06
So this is the stuff that we do.
これが私たちの
やっていることです
05:09
We find patterns, and we represent them.
パターンを見出し
それを表現するということ
05:11
And I think this is a nice
day-to-day definition.
これは数学の当座の定義として
良いと思います
05:13
But today I want to go
a little bit deeper,
しかし今日は
もう少し掘り下げて
05:16
and think about
what the nature of this is.
その性質について
考察したいと思います
05:18
What makes it possible?
何がそれを
可能にしているのか?
05:22
There's one thing
that's a little bit deeper,
そして掘り下げたところに
あるものは
05:24
and that has to do with the ability
to change your perspective.
見方を変える能力に
関係しています
05:26
And I claim that when
you change your perspective,
私の主張は
05:29
and if you take another point of view,
見方を変えて
異なる視点で見るとき
05:32
you learn something new
about what you are watching
その見聞きしている
ものについて
05:35
or looking at or hearing.
何か新しいことを
学ぶということです
05:39
And I think this is a really important
thing that we do all the time.
これは私たちが絶えずやっている
とても重要なことだと思います
05:41
So let's just look at
this simple equation,
この単純な方程式を
見てください
05:45
x + x = 2 • x.
x + x = 2 * x
05:49
This is a very nice pattern,
and it's true,
これは素敵なパターンであり
正しいものです
05:52
because 5 + 5 = 2 • 5, etc.
5 + 5 = 2 * 5 といった
05:54
We've seen this over and over,
and we represent it like this.
そういうパターンを繰り返し目にして
このように表現したのです
05:57
But think about it: this is an equation.
考えてほしいのは
これが方程式だということで
06:00
It says that something
is equal to something else,
何かと何かが等しいことを
表しています
06:02
and that's two different perspectives.
1つのものの2つの異なる
見方だということです
06:05
One perspective is, it's a sum.
1つの見方は「和」です
06:07
It's something you plus together.
何かを加え合わせるということ
06:09
On the other hand, it's a multiplication,
もう1つの見方は「積」です
06:11
and those are two different perspectives.
2つの異なった見方です
06:13
And I would go as far as to say
that every equation is like this,
すべての方程式は
そういうものと言えましょう
06:16
every mathematical equation
where you use that equality sign
イコールの記号を使う
数学の方程式はすべて
06:20
is actually a metaphor.
メタファーであり
06:24
It's an analogy between two things.
2つのものの間の
アナロジーです
06:26
You're just viewing something
and taking two different points of view,
何かについて
2つの異なる見方をし
06:28
and you're expressing that in a language.
それを言語で
表しているんです
06:32
Have a look at this equation.
この方程式を見てください
06:34
This is one of the most
beautiful equations.
これは最も美しい
方程式の1つです
06:36
It simply says that, well,
それは単に
2つのものが —
06:38
two things, they're both -1.
どちらも -1だと言っています
06:41
This thing on the left-hand side is -1,
and the other one is.
左側のも 右側のも
同じ -1であると
06:44
And that, I think, is one
of the essential parts
これは数学の
本質的なことの1つで
06:47
of mathematics -- you take
different points of view.
異なる見方をする
ということです
06:49
So let's just play around.
もっといろいろ
試してみましょう
06:52
Let's take a number.
数字を1つ選びます
4/3です
06:53
We know four-thirds.
We know what four-thirds is.
みんな4/3が何かは分かります
06:55
It's 1.333, but we have to have
those three dots,
それは1.333・・・ですが
点々を付ける必要があります
06:57
otherwise it's not exactly four-thirds.
そうしないと正確に
4/3にはなりません
07:01
But this is only in base 10.
しかしこれは
10進法の場合の話です
07:03
You know, the number system,
we use 10 digits.
10種類の数字を使う記数法では
ということです
07:05
If we change that around
and only use two digits,
もし2種類の数字しか
使わないことにしたら
07:07
that's called the binary system.
2進法になって
07:10
It's written like this.
4/3は 1.010・・・と表されます
07:12
So we're now talking about the number.
我々は今 4/3という数について
07:13
The number is four-thirds.
考えているわけですが
07:15
We can write it like this,
それは基数を変えることで
このように書けます
07:17
and we can change the base,
change the number of digits,
数字の種数を変えることで
07:19
and we can write it differently.
表記は変わるのです
07:22
So these are all representations
of the same number.
これはすべて
同じ数の異なる表現です
07:23
We can even write it simply,
like 1.3 or 1.6.
単に 1.3 とか 1.6と
書くこともできます
07:28
It all depends on
how many digits you have.
数字の種類がいくつあるかで
変わるんです
07:31
Or perhaps we just simplify
and write it like this.
もっと単純化して
こんな風に書くこともできます
07:34
I like this one, because this says
four divided by three.
4÷3というのが表せて
良いと思います
07:37
And this number expresses
a relation between two numbers.
またこの数は2つの数の
関係を表しています
07:40
You have four on the one hand
and three on the other.
一方に4があり
他方に3があります
07:44
And you can visualize this in many ways.
これは様々なやり方で
視覚化できます
07:47
What I'm doing now is viewing that number
from different perspectives.
私が今やっているのは
1つの数を様々な見方で見るということです
07:49
I'm playing around.
1つのものに対し
07:53
I'm playing around with
how we view something,
どんな見方ができるか
試していて
07:54
and I'm doing it very deliberately.
それをとても意識的に
やっています
07:56
We can take a grid.
格子を使うこともできます
07:58
If it's four across and three up,
this line equals five, always.
横4 縦3だと
対角線の長さは 必ず5になります
07:59
It has to be like this.
This is a beautiful pattern.
そう決まっているんです
08:04
Four and three and five.
4と3と5 からできる
美しいパターンです
08:07
And this rectangle, which is 4 x 3,
この長方形は
横と縦の比が 4 x 3 で
08:08
you've seen a lot of times.
良く目にするものです
08:11
This is your average computer screen.
一般的なコンピューターの
画面のサイズです
08:13
800 x 600 or 1,600 x 1,200
800 x 600 とか
1600 x 1200は
08:15
is a television or a computer screen.
テレビやコンピューターの画面に
使われています
08:18
So these are all nice representations,
みんな素敵な表現法ですが
08:21
but I want to go a little bit further
and just play more with this number.
もう少し続けて
この数で遊んでみたいと思います
08:23
Here you see two circles.
I'm going to rotate them like this.
ここに2つの円があります
08:27
Observe the upper-left one.
それぞれを回転させます
08:30
It goes a little bit faster, right?
左の方が少し
速く回っています
08:32
You can see this.
分かりますか
08:34
It actually goes exactly
four-thirds as fast.
正確に4/3倍
速く回っています
08:36
That means that when it goes
around four times,
つまり左のが
4回転する間に
08:39
the other one goes around three times.
右のは3回転する
ということです
08:41
Now let's make two lines, and draw
this dot where the lines meet.
このように2本の線を引いて
交わったところに点を描くと
08:43
We get this dot dancing around.
その点が踊り出します
08:47
(Laughter)
(笑)
08:49
And this dot comes from that number.
この点は4/3という数に
由来しているのです
08:50
Right? Now we should trace it.
点の軌跡はどうなるか
08:52
Let's trace it and see what happens.
軌跡を描いて何が起きているのか
見てみましょう
08:55
This is what mathematics is all about.
数学とはそういうものです
08:57
It's about seeing what happens.
何が起きるか見るということ
08:59
And this emerges from four-thirds.
これが4/3という数から
生じるのです
09:00
I like to say that this
is the image of four-thirds.
これは4/3の姿だと
言って良いでしょう
09:03
It's much nicer -- (Cheers)
この方がずっと・・・ (歓声)
09:07
Thank you!
どうも
09:08
(Applause)
(拍手)
09:09
This is not new.
これは新しいものじゃ
ありません
09:16
This has been known
for a long time, but --
ずいぶん昔から
知られていました
09:17
(Laughter)
(笑)
09:19
But this is four-thirds.
でもこれが4/3なんです
09:21
Let's do another experiment.
別の実験をしてみましょう
09:22
Let's now take a sound, this sound: (Beep)
今度は音を使います
この音です (電子音)
09:24
This is a perfect A, 440Hz.
これはラの音で
440Hzです
09:28
Let's multiply it by two.
周波数を2倍に
してみましょう
09:31
We get this sound. (Beep)
こんな音になります (電子音)
09:33
When we play them together,
it sounds like this.
この2つを一緒に鳴らすと
こうなります
09:34
This is an octave, right?
1オクターブです
09:37
We can do this game. We can play
a sound, play the same A.
音を使って遊べます
09:38
We can multiply it by three-halves.
同じラの音を
今度は 3/2倍してみましょう
09:41
(Beep)
(電子音)
09:42
This is what we call a perfect fifth.
これは完全五度と
呼ばれています
09:44
(Beep)
(電子音)
09:46
They sound really nice together.
一緒にすると
とても綺麗に聞こえます
09:47
Let's multiply this sound
by four-thirds. (Beep)
今度は 4/3倍してみましょう (電子音)
09:49
What happens?
どうなるか?
09:53
You get this sound. (Beep)
こんな音です (電子音)
09:55
This is the perfect fourth.
これは完全四度です
09:57
If the first one is an A, this is a D.
元の音がラなら
新しい音はレです
09:58
They sound like this together. (Beeps)
一緒にすると
こうなります (電子音)
10:00
This is the sound of four-thirds.
これは 4/3の音なんです
10:02
What I'm doing now,
I'm changing my perspective.
ここで何をやっているかというと
見方を変えているんです
10:05
I'm just viewing a number
from another perspective.
1つの数に対し
別の見方をしてみました
10:07
I can even do this with rhythms, right?
これをリズムで
やることもできます
10:10
I can take a rhythm and play
three beats at one time (Drumbeats)
リズムを取って
一定時間内に
10:12
in a period of time,
3回音を鳴らします (ドラムビート)
10:16
and I can play another sound
four times in that same space.
同じ時間内に 別の音を4回
鳴らすこともできます
10:17
(Clanking sounds)
(メトロノーム音)
10:22
Sounds kind of boring,
but listen to them together.
これじゃ退屈ですが
一緒にしてみると —
10:23
(Drumbeats and clanking sounds)
(2音同時)
10:25
(Laughter)
(笑)
10:28
Hey! So.
ヘーイ!
10:29
(Laughter)
(笑)
10:31
I can even make a little hi-hat.
小刻みなハイハットを
加えることもできます
10:33
(Drumbeats and cymbals)
(3音同時)
10:35
Can you hear this?
聞こえますか?
10:37
So, this is the sound of four-thirds.
これはリズムとしての
10:38
Again, this is as a rhythm.
4/3なんです
10:40
(Drumbeats and cowbell)
(4音同時)
10:42
And I can keep doing this
and play games with this number.
もっと続けて
この数で遊ぶことができます
10:44
Four-thirds is a really great number.
I love four-thirds!
4/3は本当にすごい数なんです
大好きな数です
10:47
(Laughter)
(笑)
10:49
Truly -- it's an undervalued number.
本当に
過小評価されていると思います
10:51
So if you take a sphere and look
at the volume of the sphere,
球の体積を調べると
10:53
it's actually four-thirds
of some particular cylinder.
ある円柱の体積の
4/3になります
10:56
So four-thirds is in the sphere.
It's the volume of the sphere.
4/3が球の中にあるんです
体積として
10:59
OK, so why am I doing all this?
私はなぜこんな話を
しているのか?
11:03
Well, I want to talk about what it means
to understand something
何かを理解するというのは
どういうことなのか
11:05
and what we mean
by understanding something.
理解すると言ったとき
何を意味するのか
11:08
That's my aim here.
それがここで私の
狙いです
11:11
And my claim is that
you understand something
理解しているというのは
異なる見方ができること —
11:12
if you have the ability to view it
from different perspectives.
それが私の主張です
11:15
Let's look at this letter.
It's a beautiful R, right?
この文字を見てください
素敵なRの文字です
11:18
How do you know that?
なぜそうと分かるのでしょう?
11:20
Well, as a matter of fact,
you've seen a bunch of R's,
これまでたくさんの
Rを見てきて
11:22
and you've generalized
それを一般化し抽象化し
11:25
and abstracted all of these
and found a pattern.
パターンを見つけたからです
11:27
So you know that this is an R.
それでこれはRだと
分かるのです
11:30
So what I'm aiming for here
is saying something
私がやろうとしているのは
11:35
about how understanding
and changing your perspective
理解することと
見方を変えることは
11:38
are linked.
繋がっているんだと
示すことです
11:41
And I'm a teacher and a lecturer,
私は教師であり 講師ですが
11:43
and I can actually use this
to teach something,
このことを教えるときに
使うことができます
11:45
because when I give someone else
another story, a metaphor, an analogy,
別のストーリーやメタファーや
アナロジーを与えること —
11:47
if I tell a story
from a different point of view,
別の視点から
話をすることで
11:52
I enable understanding.
理解は引き出せるからです
11:54
I make understanding possible,
理解のためには
11:56
because you have to generalize
over everything you see and hear,
見聞きするものすべてを
一般化しなければなりませんが
11:58
and if I give you another perspective,
that will become easier for you.
別の見方を示すことで
それが容易になるんです
12:01
Let's do a simple example again.
また簡単な例で
見てみましょう
12:06
This is four and three.
This is four triangles.
4と3 —
4つの三角形があります
12:07
So this is also four-thirds, in a way.
ある意味 4/3です
12:10
Let's just join them together.
これを組み合わせます
12:13
Now we're going to play a game;
we're going to fold it up
ちょっと遊びましょう
12:14
into a three-dimensional structure.
これを折りたたんで
3次元の構造にします
12:17
I love this.
これは私のお気に入り
12:19
This is a square pyramid.
正四角錐です
12:20
And let's just take two of them
and put them together.
これを2つ用意して
合体させましょう
12:22
So this is what is called an octahedron.
これは正八面体と
呼ばれるものです
12:25
It's one of the five platonic solids.
5つのプラトンの立体のうちの
1つです
12:28
Now we can quite literally
change our perspective,
文字通り 見方を変える
ことができます
12:30
because we can rotate it
around all of the axes
それぞれの軸に対して
回転させて
12:33
and view it from different perspectives.
別の見方で見るのです
12:36
And I can change the axis,
軸を変えると
12:38
and then I can view it
from another point of view,
別の視点から
見ることができます
12:40
but it's the same thing,
but it looks a little different.
同じ物ですが
少し違って見えます
12:42
I can do it even one more time.
さらに別のやり方ができます
12:45
Every time I do this,
something else appears,
そうするたびに
違ったものが現れます
12:47
so I'm actually learning
more about the object
見方を変えると
12:50
when I change my perspective.
その物について
さらに学ぶことができるのです
12:52
I can use this as a tool
for creating understanding.
このことは理解を生み出すために
使うことができます
12:54
I can take two of these
and put them together like this
四角錐を2つ取って
このように組み合わせ
12:58
and see what happens.
何が起きるか見てみましょう
13:01
And it looks a little bit
like the octahedron.
正八面体に少し似ています
13:03
Have a look at it if I spin
it around like this.
このように回転させると
13:07
What happens?
何が起きるでしょう?
13:09
Well, if you take two of these,
join them together and spin it around,
2つの四角錐を組み合わせて
回転させると
13:10
there's your octahedron again,
再び正八面体が現れます
13:14
a beautiful structure.
美しい構造です
13:16
If you lay it out flat on the floor,
平らに押しつぶすと
13:18
this is the octahedron.
正八面体はこうなります
13:20
This is the graph structure
of an octahedron.
正八面体のグラフ構造です
13:21
And I can continue doing this.
こんなこともできます
13:25
You can draw three great circles
around the octahedron,
正八面体のまわりに
3つの大円を描いて
13:27
and you rotate around,
回転させます
13:31
so actually three great circles
is related to the octahedron.
3つの大円は
正八面体と関連しているんです
13:32
And if I take a bicycle pump
and just pump it up,
自転車の空気入れで
膨らませると —
13:37
you can see that this is also
a little bit like the octahedron.
これもある意味
正八面体のようなものです
13:41
Do you see what I'm doing here?
私が何をやっているか
分かりますか?
13:44
I am changing the perspective every time.
ものの見方を
いろいろと変えているんです
13:46
So let's now take a step back --
一歩下がってみましょう
13:50
and that's actually
a metaphor, stepping back --
これはメタファーですけど
13:53
and have a look at what we're doing.
ここまでどんなことを
してきたのか
13:56
I'm playing around with metaphors.
メタファーをもてあそび
13:58
I'm playing around
with perspectives and analogies.
見方やアナロジーをもてあそび
14:00
I'm telling one story in different ways.
1つの話をいろいろな
やり方で語る —
14:02
I'm telling stories.
ストーリーを語り
14:05
I'm making a narrative;
I'm making several narratives.
いくつもの物語を作り出す
14:06
And I think all of these things
make understanding possible.
これらのすべてが
理解を可能にするのです
14:09
I think this actually is the essence
of understanding something.
これは理解の本質なんです
14:13
I truly believe this.
本当にそう思います
14:16
So this thing about changing
your perspective --
見方を変えるというのは
14:18
it's absolutely fundamental for humans.
人間にとって本質的なことなんです
14:20
Let's play around with the Earth.
地球で遊んでみましょう
14:23
Let's zoom into the ocean,
have a look at the ocean.
海にズームインします
海を見て —
14:25
We can do this with anything.
これは何に対してでも
できます
14:27
We can take the ocean
and view it up close.
海をよく見てみましょう
14:29
We can look at the waves.
波に目を向ける
14:32
We can go to the beach.
浜辺に行く
14:34
We can view the ocean
from another perspective.
海を別な見方で
見ることができます
14:35
Every time we do this, we learn
a little bit more about the ocean.
そうする度に 海について
もっと知ることが出来ます
14:37
If we go to the shore,
we can kind of smell it, right?
海岸に行くと
潮の香りがします
14:40
We can hear the sound of the waves.
波の音が聞こえます
14:43
We can feel salt on our tongues.
塩の味がします
14:45
So all of these
are different perspectives.
これはみんな
異なる見方なんです
14:47
And this is the best one.
そしてこれは一番のもの
14:50
We can go into the water.
水の中に入り
14:51
We can see the water from the inside.
水を中から見るということ
14:53
And you know what?
そしてこれは
14:55
This is absolutely essential
in mathematics and computer science.
数学やコンピューターサイエンスにとって
実に本質的なことなんです
14:56
If you're able to view
a structure from the inside,
構造を内側から
見ることができれば
14:59
then you really learn something about it.
そのものについて
本当に学ぶことができます
15:02
That's somehow the essence of something.
そのものの何か
本質的なことです
15:05
So when we do this,
and we've taken this journey
この海への旅を
15:07
into the ocean,
するにあたって
15:11
we use our imagination.
私たちは想像力を使いました
15:12
And I think this is one level deeper,
これは1レベル深いものであり
15:14
and it's actually a requirement
for changing your perspective.
見方を変えるために
必要なものです
15:17
We can do a little game.
ちょっとしたゲームがあります
15:21
You can imagine that you're sitting there.
ここに座っていながら
15:22
You can imagine that you're up here,
and that you're sitting here.
自分があそこにいると
想像するんです
15:24
You can view yourselves from the outside.
自分を外から眺めるわけです
15:28
That's really a strange thing.
すごく妙なことです
15:30
You're changing your perspective.
見方を変え
15:32
You're using your imagination,
想像力を使い
15:34
and you're viewing yourself
from the outside.
自分自身を
外から眺めるのです
15:36
That requires imagination.
これには想像力が必要です
15:38
Mathematics and computer science
are the most imaginative art forms ever.
数学とコンピューターサイエンスというのは
想像力を最も駆使する芸術様式なんです
15:40
And this thing about changing perspectives
見方を変えるというのは
15:46
should sound a little bit familiar to you,
皆さんに馴染みのある
ことのはずです
15:48
because we do it every day.
私たちが日々
やっていることであり
15:51
And then it's called empathy.
それは共感と呼ばれています
15:54
When I view the world
from your perspective,
私が相手の見方で
世界を見るとき
15:56
I have empathy with you.
私はその人への
共感を持っています
16:00
If I really, truly understand
相手から見た世界を
16:02
what the world looks
like from your perspective,
本当に理解したなら
16:04
I am empathetic.
私は共感していると言えます
16:07
That requires imagination.
それには想像力が必要です
16:08
And that is how we obtain understanding.
そうやって私たちは
理解を手にするのです
16:11
And this is all over mathematics
and this is all over computer science,
数学やコンピューターサイエンスでは
至る所で使います
16:15
and there's a really deep connection
between empathy and these sciences.
共感とこれらの科学との間には
深い関わりがあるんです
16:18
So my conclusion is the following:
そういうわけで私の結論は —
16:25
understanding something really deeply
理解というのは
見方を変える能力と
16:29
has to do with the ability
to change your perspective.
とても深く結びついている
ということです
16:31
So my advice to you is:
try to change your perspective.
皆さんにアドバイスしたいのは
見方を変えてみるということです
16:35
You can study mathematics.
数学を学ぶのもいいです
16:39
It's a wonderful way to train your brain.
これは頭を鍛える
素晴らしい方法です
16:40
Changing your perspective
makes your mind more flexible.
見方を変えることで
心が柔軟になります
16:44
It makes you open to new things,
新しいものに対して
心が開かれ
16:48
and it makes you
able to understand things.
物事を理解しやすくなります
16:50
And to use yet another metaphor:
またメタファーを使うなら
16:53
have a mind like water.
水のような心を持つことです
16:55
That's nice.
それは良いことです
16:56
Thank you.
ありがとうございました
16:57
(Applause)
(拍手)
16:58
Translator:Yasushi Aoki
Reviewer:Claire Ghyselen

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Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.

Why you should listen

Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.

Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.

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