ABOUT THE SPEAKER
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.

Why you should listen

Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.

Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.

More profile about the speaker
Roger Antonsen | Speaker | TED.com
TEDxOslo

Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world

ロジャー・アントンセン: 世界を理解する奥義としての数学

Filmed:
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ロジャー・アントンセンと一緒に、最も想像力を使う芸術様式である数学を通して、世界の仕組みや謎を解き明かしましょう。見方をちょっと変えることで、パターンや数や式が姿を現し、それが共感や理解に繋がるのだと彼は言います。
- Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations. Full bio

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00:13
Hiこんにちは.
0
1174
1159
私がお話ししたいのは
理解について —
00:14
I want to talk about understanding理解,
and the nature自然 of understanding理解,
1
2357
3819
理解というものの性質
00:18
and what the essenceエッセンス of understanding理解 is,
2
6200
3393
理解の本質は何か
ということです
00:21
because understanding理解 is something
we aim目的 for, everyoneみんな.
3
9617
3037
というのも 理解は誰もが
求めるものだからです
私たちは物事を
理解したいと思います
00:24
We want to understandわかる things.
4
12678
2411
私の考えでは
00:27
My claim請求 is that understanding理解 has to do
5
15763
2348
理解というのは ものの見方を
変える能力に関係しています
00:30
with the ability能力 to change変化する
your perspective視点.
6
18135
2578
00:32
If you don't have that,
you don't have understanding理解.
7
20737
2892
それなくしては
理解することもありません
00:36
So that is my claim請求.
8
24106
1542
それが私の主張です
00:37
And I want to focusフォーカス on mathematics数学.
9
25672
1899
ここでは数学に
話を絞りましょう
多くの人の考える数学とは
加算 減算
00:40
Manyたくさんの of us think of mathematics数学
as addition添加, subtraction減算,
10
28050
3496
00:43
multiplication乗算, division分割,
11
31570
1948
乗算 除算
分数 パーセント 幾何 代数･･･
そういったものです
00:45
fractions分数, percentパーセント, geometryジオメトリ,
algebra代数 -- all that stuffもの.
12
33542
3810
しかし私は数学のもっと本質的な部分にも
触れたいと思います
00:50
But actually実際に, I want to talk
about the essenceエッセンス of mathematics数学 as well.
13
38034
3674
00:53
And my claim請求 is that mathematics数学
has to do with patternsパターン.
14
41732
3287
私に言わせると 数学とは
パターンに関するものです
後ろのスクリーンに
きれいなパターンが映っています
00:57
Behind後ろに me, you see a beautiful綺麗な patternパターン,
15
45043
2491
00:59
and this patternパターン actually実際に emerges出現する
just from drawingお絵かき circles円
16
47558
3931
このパターンは
円をある特定の仕方で
描くことで現れます
01:03
in a very particular特に way.
17
51513
1630
01:05
So my day-to-day日々 definition定義
of mathematics数学 that I use everyすべて day
18
53778
4589
私が日常的に使っている
数学の定義が
どんなものかというと
01:10
is the following以下:
19
58391
1205
それは第一に パターンを発見することに
関わるものです
01:12
First of all, it's about finding所見 patternsパターン.
20
60030
2828
01:16
And by "patternパターン," I mean a connection接続,
a structure構造, some regularity規則性,
21
64001
5495
ここで「パターン」が意味するのは
関連 構造 規則性
我々が目にするものを支配している
ルールといったものです
01:21
some rulesルール that govern支配する what we see.
22
69520
1993
第２に 数学とは
01:24
Second二番目 of all,
23
72170
1155
01:25
I think it is about representing代理人
these patternsパターン with a language言語.
24
73349
3640
そのようなパターンを
言語で表現する行為です
01:29
We make up language言語 if we don't have it,
25
77361
2444
適当な言語がなければ
作り出します
01:31
and in mathematics数学, this is essential本質的な.
26
79829
2369
これは数学にとって
本質的なことです
数学ではまた仮定を設け
01:35
It's alsoまた、 about making作る assumptions仮定
27
83013
1800
01:36
and playing遊ぶ around with these assumptions仮定
and just seeing見る what happens起こる.
28
84837
3613
それをいろいろ変えて
何が起きるか調べます
01:40
We're going to do that very soonすぐに.
29
88474
2082
あとで実際に
やってご覧に入れます
最後に 数学とは
イカしたことをやるものです
01:42
And finally最後に, it's about doing coolクール stuffもの.
30
90986
2855
01:46
Mathematics数学 enables可能にする us
to do so manyたくさんの things.
31
94460
3315
数学は私たちに
様々なことをできるようにしてくれます
01:50
So let's have a look at these patternsパターン.
32
98632
2216
こちらのパターンを
見てみましょう
01:52
If you want to tieネクタイ a tieネクタイ knot結び目,
33
100872
2222
ネクタイを結ぶというとき
そこにはパターンがあります
01:55
there are patternsパターン.
34
103118
1310
ネクタイの結び方には
名前が付いています
01:56
Tieネクタイ knots結び目 have names名前.
35
104452
1471
そしてネクタイの結び方は
数学で扱うことができます
01:58
And you can alsoまた、 do
the mathematics数学 of tieネクタイ knots結び目.
36
106453
2347
02:00
This is a left-out放棄, right-in右に,
center-outセンターアウト and tieネクタイ.
37
108824
2578
左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です
真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT)
02:04
This is a left-in残していった, right-out右に出る,
left-in残していった, center-outセンターアウト and tieネクタイ.
38
112073
3543
これはネクタイの結び方の
パターンを表すために作られた言語なんです
02:08
This is a language言語 we made製 up
for the patternsパターン of tieネクタイ knots結び目,
39
116005
4110
右のは「ハーフウィンザー」としても
知られています
02:12
and a half-Windsor半ウィンザー is all that.
40
120522
1690
これは靴紐の
結び方に関する
02:15
This is a mathematics数学 book本
about tying結ぶ shoelaces靴ひも
41
123529
2787
学部レベルの
数学の本です
02:18
at the university大学 levelレベル,
42
126340
1390
靴紐の通し方にも
パターンがあり
02:19
because there are patternsパターン in shoelaces靴ひも.
43
127754
1978
非常に多くの異なる
やり方があります
02:21
You can do it in so manyたくさんの different異なる ways方法.
44
129756
2111
02:23
We can analyze分析する it.
45
131891
1244
それを分析し
そのための言語を
作ることができます
02:25
We can make up languages言語 for it.
46
133159
1766
02:28
And representations表現
are all over mathematics数学.
47
136218
2939
「表現」というのは
数学の至る所に出てきます
02:31
This is Leibniz'sライプニッツ notation記法 from 1675.
48
139181
3676
これは1675年に書かれた
ライプニッツの記法です
彼は自然界のパターンを
記述するための言語を作りました
02:35
He invented発明された a language言語
for patternsパターン in nature自然.
49
143335
3670
02:39
When we throwスロー something up in the air空気,
50
147363
1868
何かを上に放り投げると
02:41
it falls落ちる down.
51
149255
1190
落ちてきます
なぜか？
02:42
Why?
52
150469
1151
よく分かりませんが
そのパターンは数学で表現できるんです
02:43
We're not sure, but we can represent代表する
this with mathematics数学 in a patternパターン.
53
151644
4070
02:48
This is alsoまた、 a patternパターン.
54
156285
1603
これも一種のパターンです
02:49
This is alsoまた、 an invented発明された language言語.
55
157912
2700
あることのために
作り出された言語です
02:52
Can you guess推測 for what?
56
160636
1544
何か分かりますか？
実はタップダンスの
系統的な表記法なんです
02:55
It is actually実際に a notation記法 systemシステム
for dancingダンシング, for tapタップ dancingダンシング.
57
163481
3376
02:59
That enables可能にする him as a choreographer振付師
to do coolクール stuffもの, to do new新しい things,
58
167532
5256
これによって彼は振付師として
新しいイカしたことができるようになります
03:04
because he has represented代表的な it.
59
172812
1953
表現法を手にしたからです
何かを表現するというのが どれほど
すごいことか 考えてほしいんです
03:07
I want you to think about how amazing素晴らしい
representing代理人 something actually実際に is.
60
175232
4802
03:12
Here it says言う the wordワード "mathematics数学."
61
180620
2743
これは「数学」という語を
表しています
03:15
But actually実際に, they're just dotsドット, right?
62
183905
2400
単なる点々でしか
ありませんよね？
03:18
So how in the world世界 can these dotsドット
represent代表する the wordワード?
63
186329
2991
どうしてこんな点で
語を表せるのでしょう？
03:21
Well, they do.
64
189344
1340
でも実際できて
「数学」という語を
表しているんです
03:23
They represent代表する the wordワード "mathematics数学,"
65
191343
1898
03:25
and these symbolsシンボル alsoまた、 represent代表する that wordワード
66
193265
2560
この記号もまた「数学」を
表していますが
これは音として
聞くこともできます
03:27
and this we can listen to.
67
195849
1658
03:29
It sounds音 like this.
68
197531
1357
こんな音です
03:30
(Beepsビープ音)
69
198912
1984
(モールス音)
03:32
Somehow何とか these sounds音 represent代表する
the wordワード and the concept概念.
70
200920
3290
この音は
言葉や概念を表現します
03:36
How does this happen起こる?
71
204234
1656
どうやってなのでしょう？
03:37
There's something amazing素晴らしい
going on about representing代理人 stuffもの.
72
205914
3488
ものを表現するとき
すごいことが起きているんです
03:41
So I want to talk about
that magicマジック that happens起こる
73
209966
5617
何かを表現するときに起きる
この魔法について
03:47
when we actually実際に represent代表する something.
74
215607
1971
お話ししたいと思います
03:49
Here you see just lines行
with different異なる widths幅.
75
217602
3016
ここには太さの違う
線があるだけですが
03:52
They standスタンド for numbers数字
for a particular特に book本.
76
220642
2625
これはある特定の本を指す
数字を表しています
03:55
And I can actually実際に recommendお勧めする
this book本, it's a very niceいい book本.
77
223291
2993
ちなみにその本はお薦めです
とても良い本ですよ
03:58
(Laughter笑い)
78
226308
1022
(笑)
03:59
Just trust信頼 me.
79
227354
1281
本当に
04:01
OK, so let's just do an experiment実験,
80
229475
2323
ちょっと実験をしましょう
直線を使って
すこし遊んでみます
04:03
just to play遊びます around
with some straightまっすぐ lines行.
81
231822
2168
１本の直線があります
04:06
This is a straightまっすぐ lineライン.
82
234014
1167
04:07
Let's make another別の one.
83
235205
1154
もう１本線を引きます
04:08
So everyすべて time we move動く,
we move動く one down and one across横断する,
84
236383
2809
毎回一端を下に
他端を横にずらして
04:11
and we drawドロー a new新しい straightまっすぐ lineライン, right?
85
239216
2574
線を引いていきます
これを繰り返していって
04:13
We do this over and over and over,
86
241814
2025
04:16
and we look for patternsパターン.
87
244351
1358
パターンを探します
04:17
So this patternパターン emerges出現する,
88
245733
2122
するとこのような
なかなか綺麗な
パターンが現れます
04:20
and it's a ratherむしろ niceいい patternパターン.
89
248220
2042
04:22
It looks外見 like a curve曲線, right?
90
250286
1735
曲線のように
見えるでしょう？
04:24
Just from drawingお絵かき simple単純, straightまっすぐ lines行.
91
252045
2572
単に直線を
描いているだけなのに
04:27
Now I can change変化する my perspective視点
a little bitビット. I can rotate回転する it.
92
255271
3284
見方を少し変えてみましょう
回転させます
この曲線を見てください
04:30
Have a look at the curve曲線.
93
258944
1382
04:32
What does it look like?
94
260350
1379
何に見えますか？
04:33
Is it a part部 of a circleサークル?
95
261753
1982
円の一部でしょうか？
04:35
It's actually実際に not a part部 of a circleサークル.
96
263759
1902
円の一部ではありません
04:37
So I have to continue持続する my investigation調査
and look for the true真実 patternパターン.
97
265685
4159
真のパターンを見出すために
検討を続けましょう
04:41
Perhapsおそらく if I copyコピー it and make some artアート?
98
269868
3211
コピーしたら何か
アートみたいになるでしょうか？
そうでもありません
04:45
Well, no.
99
273674
1156
線を伸ばして
04:46
Perhapsおそらく I should extend拡張する
the lines行 like this,
100
274854
2149
04:49
and look for the patternパターン there.
101
277027
1770
パターンを探します
線をもっと
増やしてみましょうか
04:50
Let's make more lines行.
102
278821
1295
04:52
We do this.
103
280140
1230
こんな風に
04:53
And then let's zoomズーム out
and change変化する our perspective視点 again.
104
281394
3768
ズームアウトして
また見方を変えてみます
04:57
Then we can actually実際に see that
what started開始した out as just straightまっすぐ lines行
105
285801
3511
はじめは ただの
直線の集まりだったものが
放物線と呼ばれる曲線に
なっているのが分かります
05:01
is actually実際に a curve曲線 calledと呼ばれる a parabola放物線.
106
289336
2089
05:03
This is represented代表的な by a simple単純 equation方程式,
107
291855
3217
これはシンプルな方程式で
表現される
美しいパターンです
05:07
and it's a beautiful綺麗な patternパターン.
108
295096
1818
これが私たちの
やっていることです
05:09
So this is the stuffもの that we do.
109
297521
1775
05:11
We find patternsパターン, and we represent代表する them.
110
299320
2610
パターンを見出し
それを表現するということ
05:13
And I think this is a niceいい
day-to-day日々 definition定義.
111
301954
2624
これは数学の当座の定義として
良いと思います
05:16
But today今日 I want to go
a little bitビット deeperもっと深く,
112
304602
2331
しかし今日は
もう少し掘り下げて
05:18
and think about
what the nature自然 of this is.
113
306957
3944
その性質について
考察したいと思います
何がそれを
可能にしているのか？
05:22
What makes作る it possible可能?
114
310925
1428
05:24
There's one thing
that's a little bitビット deeperもっと深く,
115
312377
2154
そして掘り下げたところに
あるものは
05:26
and that has to do with the ability能力
to change変化する your perspective視点.
116
314555
3503
見方を変える能力に
関係しています
私の主張は
05:30
And I claim請求 that when
you change変化する your perspective視点,
117
318082
2523
見方を変えて
異なる視点で見るとき
05:32
and if you take another別の pointポイント of view見る,
118
320629
2806
05:35
you learn学ぶ something new新しい
about what you are watching見ている
119
323459
3910
その見聞きしている
ものについて
何か新しいことを
学ぶということです
05:39
or looking at or hearing聴覚.
120
327393
1451
これは私たちが絶えずやっている
とても重要なことだと思います
05:41
And I think this is a really important重要
thing that we do all the time.
121
329472
3790
05:45
So let's just look at
this simple単純 equation方程式,
122
333834
3980
この単純な方程式を
見てください
05:49
x + x = 2 • x.
123
337838
2549
x + x = 2 * x
05:52
This is a very niceいい patternパターン,
and it's true真実,
124
340411
2072
これは素敵なパターンであり
正しいものです
05:54
because 5 + 5 = 2 • 5, etc等.
125
342507
2829
5 + 5 = 2 * 5 といった
そういうパターンを繰り返し目にして
このように表現したのです
05:57
We've私たちは seen見た this over and over,
and we represent代表する it like this.
126
345360
3101
06:00
But think about it: this is an equation方程式.
127
348485
2184
考えてほしいのは
これが方程式だということで
06:03
It says言う that something
is equal等しい to something elseelse,
128
351025
2562
何かと何かが等しいことを
表しています
１つのものの２つの異なる
見方だということです
06:05
and that's two different異なる perspectives視点.
129
353611
2287
06:07
One perspective視点 is, it's a sum和.
130
355922
1899
１つの見方は「和」です
何かを加え合わせるということ
06:09
It's something you plusプラス together一緒に.
131
357845
1846
06:11
On the other handハンド, it's a multiplication乗算,
132
359715
2372
もう１つの見方は「積」です
06:14
and those are two different異なる perspectives視点.
133
362111
2443
２つの異なった見方です
06:17
And I would go as far遠い as to say
that everyすべて equation方程式 is like this,
134
365140
3748
すべての方程式は
そういうものと言えましょう
06:20
everyすべて mathematical数学 equation方程式
where you use that equality平等 sign符号
135
368912
4116
イコールの記号を使う
数学の方程式はすべて
06:25
is actually実際に a metaphor隠喩.
136
373052
1419
メタファーであり
２つのものの間の
アナロジーです
06:26
It's an analogy類推 betweenの間に two things.
137
374919
2006
06:28
You're just viewing見る something
and taking取る two different異なる pointsポイント of view見る,
138
376949
3495
何かについて
２つの異なる見方をし
06:32
and you're expressing表現する that in a language言語.
139
380468
2393
それを言語で
表しているんです
この方程式を見てください
06:34
Have a look at this equation方程式.
140
382885
1564
これは最も美しい
方程式の１つです
06:36
This is one of the most最も
beautiful綺麗な equations方程式.
141
384473
2255
06:38
It simply単に says言う that, well,
142
386752
2368
それは単に
２つのものが —
どちらも -1だと言っています
06:41
two things, they're bothどちらも -1.
143
389902
1893
左側のも 右側のも
同じ -1であると
06:44
This thing on the left-hand左手 side側 is -1,
and the other one is.
144
392279
3046
これは数学の
本質的なことの１つで
06:47
And that, I think, is one
of the essential本質的な parts部品
145
395693
2326
06:50
of mathematics数学 -- you take
different異なる pointsポイント of view見る.
146
398043
2463
異なる見方をする
ということです
もっといろいろ
試してみましょう
06:52
So let's just play遊びます around.
147
400530
1335
06:53
Let's take a number数.
148
401889
1267
数字を１つ選びます
4/3です
06:55
We know four-thirds4分の3.
We know what four-thirds4分の3 is.
149
403180
2878
みんな4/3が何かは分かります
06:58
It's 1.333, but we have to have
those three三 dotsドット,
150
406082
3002
それは1.333･･･ですが
点々を付ける必要があります
そうしないと正確に
4/3にはなりません
07:01
otherwiseさもないと it's not exactly正確に four-thirds4分の3.
151
409489
2373
07:03
But this is only in baseベース 10.
152
411886
1896
しかしこれは
10進法の場合の話です
10種類の数字を使う記数法では
ということです
07:05
You know, the number数 systemシステム,
we use 10 digits数字.
153
413806
2263
07:08
If we change変化する that around
and only use two digits数字,
154
416093
2318
もし２種類の数字しか
使わないことにしたら
07:10
that's calledと呼ばれる the binaryバイナリ systemシステム.
155
418435
1810
２進法になって
4/3は 1.010･･･と表されます
07:12
It's written書かれた like this.
156
420269
1703
07:13
So we're now talking話す about the number数.
157
421996
1962
我々は今 4/3という数について
07:15
The number数 is four-thirds4分の3.
158
423982
1546
考えているわけですが
それは基数を変えることで
このように書けます
07:17
We can write書きます it like this,
159
425964
1343
07:19
and we can change変化する the baseベース,
change変化する the number数 of digits数字,
160
427331
3005
数字の種数を変えることで
表記は変わるのです
07:22
and we can write書きます it differently異なって.
161
430360
1788
07:24
So these are all representations表現
of the same同じ number数.
162
432172
4167
これはすべて
同じ数の異なる表現です
単に 1.3 とか 1.6と
書くこともできます
07:28
We can even write書きます it simply単に,
like 1.3 or 1.6.
163
436363
3548
07:31
It all depends依存する on
how manyたくさんの digits数字 you have.
164
439935
2200
数字の種類がいくつあるかで
変わるんです
07:34
Or perhapsおそらく we just simplify簡略化する
and write書きます it like this.
165
442521
3382
もっと単純化して
こんな風に書くこともできます
07:37
I like this one, because this says言う
four4つの divided分割された by three三.
166
445927
3215
4÷3というのが表せて
良いと思います
07:41
And this number数 expresses表現する
a relation関係 betweenの間に two numbers数字.
167
449166
3037
またこの数は２つの数の
関係を表しています
07:44
You have four4つの on the one handハンド
and three三 on the other.
168
452227
2964
一方に4があり
他方に3があります
07:47
And you can visualize視覚化する this in manyたくさんの ways方法.
169
455215
2078
これは様々なやり方で
視覚化できます
07:49
What I'm doing now is viewing見る that number数
from different異なる perspectives視点.
170
457317
4047
私が今やっているのは
１つの数を様々な見方で見るということです
07:53
I'm playing遊ぶ around.
171
461388
1151
１つのものに対し
07:54
I'm playing遊ぶ around with
how we view見る something,
172
462563
2544
どんな見方ができるか
試していて
それをとても意識的に
やっています
07:57
and I'm doing it very deliberately故意に.
173
465131
1712
格子を使うこともできます
07:58
We can take a gridグリッド.
174
466867
1183
08:00
If it's four4つの across横断する and three三 up,
this lineライン equals等しい five五, always.
175
468074
4678
横4 縦3だと
対角線の長さは 必ず5になります
そう決まっているんです
08:04
It has to be like this.
This is a beautiful綺麗な patternパターン.
176
472776
2688
4と3と5 からできる
美しいパターンです
08:07
Four四 and three三 and five五.
177
475488
1254
この長方形は
横と縦の比が 4 x 3 で
08:09
And this rectangle矩形, whichどの is 4 x 3,
178
477177
2711
08:11
you've seen見た a lot of times回.
179
479912
1591
良く目にするものです
一般的なコンピューターの
画面のサイズです
08:13
This is your average平均 computerコンピューター screen画面.
180
481527
1813
08:15
800 x 600 or 1,600 x 1,200
181
483364
3379
800 x 600 とか
1600 x 1200は
テレビやコンピューターの画面に
使われています
08:18
is a televisionテレビ or a computerコンピューター screen画面.
182
486767
2488
08:21
So these are all niceいい representations表現,
183
489864
2032
みんな素敵な表現法ですが
08:23
but I want to go a little bitビット furtherさらに
and just play遊びます more with this number数.
184
491920
3922
もう少し続けて
この数で遊んでみたいと思います
08:27
Here you see two circles円.
I'm going to rotate回転する them like this.
185
495866
3248
ここに２つの円があります
それぞれを回転させます
08:31
Observe観察する the upper-left左上 one.
186
499138
1788
左の方が少し
速く回っています
08:32
It goes行く a little bitビット fasterもっと早く, right?
187
500950
1773
分かりますか
08:35
You can see this.
188
503137
1158
08:36
It actually実際に goes行く exactly正確に
four-thirds4分の3 as fast速い.
189
504319
3374
正確に4/3倍
速く回っています
08:39
That means手段 that when it goes行く
around four4つの times回,
190
507717
2400
つまり左のが
４回転する間に
08:42
the other one goes行く around three三 times回.
191
510141
1879
右のは３回転する
ということです
08:44
Now let's make two lines行, and drawドロー
this dotドット where the lines行 meet会う.
192
512044
3501
このように２本の線を引いて
交わったところに点を描くと
その点が踊り出します
08:47
We get this dotドット dancingダンシング around.
193
515569
1702
(笑)
08:49
(Laughter笑い)
194
517295
1037
この点は4/3という数に
由来しているのです
08:50
And this dotドット comes来る from that number数.
195
518356
1769
点の軌跡はどうなるか
08:52
Right? Now we should traceトレース it.
196
520926
1867
08:55
Let's traceトレース it and see what happens起こる.
197
523239
2178
軌跡を描いて何が起きているのか
見てみましょう
08:57
This is what mathematics数学 is all about.
198
525441
1928
数学とはそういうものです
08:59
It's about seeing見る what happens起こる.
199
527393
1635
何が起きるか見るということ
09:01
And this emerges出現する from four-thirds4分の3.
200
529052
2944
これが4/3という数から
生じるのです
09:04
I like to say that this
is the image画像 of four-thirds4分の3.
201
532020
3360
これは4/3の姿だと
言って良いでしょう
この方がずっと･･･ (歓声)
09:07
It's much nicerより良い -- (Cheers乾杯)
202
535404
1296
09:08
Thank you!
203
536724
1158
どうも
09:09
(Applause拍手)
204
537906
3784
(拍手)
これは新しいものじゃ
ありません
09:16
This is not new新しい.
205
544556
1151
09:17
This has been known既知の
for a long time, but --
206
545731
2034
ずいぶん昔から
知られていました
09:19
(Laughter笑い)
207
547789
1609
(笑)
09:21
But this is four-thirds4分の3.
208
549422
1684
でもこれが4/3なんです
09:23
Let's do another別の experiment実験.
209
551130
1559
別の実験をしてみましょう
09:24
Let's now take a sound音, this sound音: (Beepビープ)
210
552713
4109
今度は音を使います
この音です (電子音)
09:28
This is a perfect完璧な A, 440HzHz.
211
556846
2989
これはラの音で
440Hzです
09:31
Let's multiplyかける it by two.
212
559859
1686
周波数を２倍に
してみましょう
こんな音になります (電子音)
09:33
We get this sound音. (Beepビープ)
213
561569
1359
09:34
When we play遊びます them together一緒に,
it sounds音 like this.
214
562952
2255
この２つを一緒に鳴らすと
こうなります
１オクターブです
09:37
This is an octaveオクターブ, right?
215
565231
1213
音を使って遊べます
09:38
We can do this gameゲーム. We can play遊びます
a sound音, play遊びます the same同じ A.
216
566468
2765
同じラの音を
今度は 3/2倍してみましょう
09:41
We can multiplyかける it by three-halves3つの半分.
217
569257
1701
09:42
(Beepビープ)
218
570982
1618
(電子音)
09:44
This is what we call a perfect完璧な fifth五番目.
219
572624
1944
これは完全五度と
呼ばれています
09:46
(Beepビープ)
220
574592
1046
(電子音)
09:47
They sound音 really niceいい together一緒に.
221
575662
2106
一緒にすると
とても綺麗に聞こえます
09:49
Let's multiplyかける this sound音
by four-thirds4分の3. (Beepビープ)
222
577792
4123
今度は 4/3倍してみましょう (電子音)
どうなるか？
09:53
What happens起こる?
223
581939
1926
こんな音です (電子音)
09:55
You get this sound音. (Beepビープ)
224
583889
1431
これは完全四度です
09:57
This is the perfect完璧な fourth第4.
225
585344
1286
元の音がラなら
新しい音はレです
09:58
If the first one is an A, this is a D.
226
586654
2245
一緒にすると
こうなります (電子音)
10:00
They sound音 like this together一緒に. (Beepsビープ音)
227
588923
2030
10:02
This is the sound音 of four-thirds4分の3.
228
590977
2410
これは 4/3の音なんです
ここで何をやっているかというと
見方を変えているんです
10:05
What I'm doing now,
I'm changing変化 my perspective視点.
229
593411
2554
10:07
I'm just viewing見る a number数
from another別の perspective視点.
230
595989
2780
１つの数に対し
別の見方をしてみました
10:10
I can even do this with rhythmsリズム, right?
231
598793
1965
これをリズムで
やることもできます
10:12
I can take a rhythmリズム and play遊びます
three三 beatsビート at one time (Drumbeatsドラムビーツ)
232
600782
3672
リズムを取って
一定時間内に
３回音を鳴らします (ドラムビート)
10:16
in a period期間 of time,
233
604478
1551
10:18
and I can play遊びます another別の sound音
four4つの times回 in that same同じ spaceスペース.
234
606053
4342
同じ時間内に 別の音を４回
鳴らすこともできます
(メトロノーム音)
10:22
(ClankingClanking sounds音)
235
610419
1042
10:23
Soundsサウンド kind種類 of boring退屈な,
but listen to them together一緒に.
236
611485
2381
これじゃ退屈ですが
一緒にしてみると —
10:25
(Drumbeatsドラムビーツ and clanking結びつく sounds音)
237
613890
2786
(２音同時)
10:28
(Laughter笑い)
238
616700
1290
(笑)
10:30
Hey! So.
239
618014
1421
ヘーイ！
10:31
(Laughter笑い)
240
619459
1888
(笑)
小刻みなハイハットを
加えることもできます
10:33
I can even make a little hi-hatハイハット.
241
621371
2159
10:35
(Drumbeatsドラムビーツ and cymbalsシンバル)
242
623554
1841
(３音同時)
10:37
Can you hear聞く this?
243
625419
1151
聞こえますか？
10:38
So, this is the sound音 of four-thirds4分の3.
244
626594
2113
これはリズムとしての
10:40
Again, this is as a rhythmリズム.
245
628731
1850
4/3なんです
10:42
(Drumbeatsドラムビーツ and cowbellカウベル)
246
630605
1810
(４音同時)
10:44
And I can keep doing this
and play遊びます gamesゲーム with this number数.
247
632439
2848
もっと続けて
この数で遊ぶことができます
10:47
Four-thirds4分の3 is a really great number数.
I love four-thirds4分の3!
248
635311
2745
4/3は本当にすごい数なんです
大好きな数です
10:50
(Laughter笑い)
249
638080
1276
(笑)
10:51
Truly本当に -- it's an undervalued過小評価 number数.
250
639380
2487
本当に
過小評価されていると思います
10:53
So if you take a sphere球 and look
at the volumeボリューム of the sphere球,
251
641891
2859
球の体積を調べると
ある円柱の体積の
4/3になります
10:56
it's actually実際に four-thirds4分の3
of some particular特に cylinderシリンダー.
252
644774
2933
10:59
So four-thirds4分の3 is in the sphere球.
It's the volumeボリューム of the sphere球.
253
647731
3534
4/3が球の中にあるんです
体積として
11:03
OK, so why am I doing all this?
254
651824
2042
私はなぜこんな話を
しているのか？
11:05
Well, I want to talk about what it means手段
to understandわかる something
255
653890
3230
何かを理解するというのは
どういうことなのか
11:09
and what we mean
by understanding理解 something.
256
657144
2564
理解すると言ったとき
何を意味するのか
それがここで私の
狙いです
11:11
That's my aim目的 here.
257
659732
1423
11:13
And my claim請求 is that
you understandわかる something
258
661179
2130
理解しているというのは
異なる見方ができること —
11:15
if you have the ability能力 to view見る it
from different異なる perspectives視点.
259
663333
2992
それが私の主張です
この文字を見てください
素敵なRの文字です
11:18
Let's look at this letter文字.
It's a beautiful綺麗な R, right?
260
666349
2541
11:20
How do you know that?
261
668914
1178
なぜそうと分かるのでしょう？
11:22
Well, as a matter問題 of fact事実,
you've seen見た a bunch束 of R'sR's,
262
670557
3188
これまでたくさんの
Rを見てきて
11:25
and you've generalized一般化された
263
673769
1645
それを一般化し抽象化し
11:27
and abstracted抽象化された all of these
and found見つけた a patternパターン.
264
675438
2970
パターンを見つけたからです
11:30
So you know that this is an R.
265
678432
3362
それでこれはRだと
分かるのです
11:35
So what I'm aiming狙う for here
is saying言って something
266
683643
2807
私がやろうとしているのは
理解することと
見方を変えることは
11:38
about how understanding理解
and changing変化 your perspective視点
267
686474
3381
繋がっているんだと
示すことです
11:41
are linkedリンクされた.
268
689879
1332
11:43
And I'm a teacher先生 and a lecturer講師,
269
691235
2169
私は教師であり 講師ですが
11:45
and I can actually実際に use this
to teach教える something,
270
693428
2312
このことを教えるときに
使うことができます
11:47
because when I give someone誰か elseelse
another別の storyストーリー, a metaphor隠喩, an analogy類推,
271
695764
4840
別のストーリーやメタファーや
アナロジーを与えること —
11:52
if I tell a storyストーリー
from a different異なる pointポイント of view見る,
272
700628
2399
別の視点から
話をすることで
理解は引き出せるからです
11:55
I enable有効にする understanding理解.
273
703051
1513
11:56
I make understanding理解 possible可能,
274
704588
1866
理解のためには
見聞きするものすべてを
一般化しなければなりませんが
11:58
because you have to generalize一般化する
over everything you see and hear聞く,
275
706478
3066
12:01
and if I give you another別の perspective視点,
that will become〜になる easierより簡単に for you.
276
709568
4599
別の見方を示すことで
それが容易になるんです
12:06
Let's do a simple単純 example例 again.
277
714191
1906
また簡単な例で
見てみましょう
12:08
This is four4つの and three三.
This is four4つの triangles三角形.
278
716121
2641
４と３ —
４つの三角形があります
12:10
So this is alsoまた、 four-thirds4分の3, in a way.
279
718786
2448
ある意味 4/3です
12:13
Let's just join参加する them together一緒に.
280
721258
1722
これを組み合わせます
12:15
Now we're going to play遊びます a gameゲーム;
we're going to fold倍 it up
281
723004
2709
ちょっと遊びましょう
これを折りたたんで
３次元の構造にします
12:17
into a three-dimensional三次元 structure構造.
282
725737
1682
12:19
I love this.
283
727443
1164
これは私のお気に入り
12:20
This is a square平方 pyramidピラミッド.
284
728631
1416
正四角錐です
12:22
And let's just take two of them
and put them together一緒に.
285
730529
3150
これを２つ用意して
合体させましょう
12:25
So this is what is calledと呼ばれる an octahedron八面体.
286
733703
2689
これは正八面体と
呼ばれるものです
12:28
It's one of the five五 platonicプラトニック solids固体.
287
736416
2707
５つのプラトンの立体のうちの
１つです
12:31
Now we can quiteかなり literally文字通り
change変化する our perspective視点,
288
739147
2445
文字通り 見方を変える
ことができます
12:33
because we can rotate回転する it
around all of the axes軸
289
741616
2695
それぞれの軸に対して
回転させて
12:36
and view見る it from different異なる perspectives視点.
290
744335
2012
別の見方で見るのです
12:38
And I can change変化する the axis軸,
291
746371
2066
軸を変えると
12:40
and then I can view見る it
from another別の pointポイント of view見る,
292
748461
2338
別の視点から
見ることができます
12:42
but it's the same同じ thing,
but it looks外見 a little different異なる.
293
750823
2703
同じ物ですが
少し違って見えます
12:45
I can do it even one more time.
294
753550
1668
さらに別のやり方ができます
12:47
Everyすべて time I do this,
something elseelse appears登場する,
295
755242
3302
そうするたびに
違ったものが現れます
見方を変えると
12:50
so I'm actually実際に learning学習
more about the objectオブジェクト
296
758568
2179
その物について
さらに学ぶことができるのです
12:52
when I change変化する my perspective視点.
297
760771
1525
12:54
I can use this as a toolツール
for creating作成 understanding理解.
298
762320
3394
このことは理解を生み出すために
使うことができます
12:58
I can take two of these
and put them together一緒に like this
299
766548
3592
四角錐を２つ取って
このように組み合わせ
13:02
and see what happens起こる.
300
770164
1247
何が起きるか見てみましょう
13:03
And it looks外見 a little bitビット
like the octahedron八面体.
301
771865
3411
正八面体に少し似ています
13:07
Have a look at it if I spinスピン
it around like this.
302
775300
2478
このように回転させると
13:09
What happens起こる?
303
777802
1182
何が起きるでしょう？
13:11
Well, if you take two of these,
join参加する them together一緒に and spinスピン it around,
304
779008
3344
２つの四角錐を組み合わせて
回転させると
13:14
there's your octahedron八面体 again,
305
782376
2401
再び正八面体が現れます
13:16
a beautiful綺麗な structure構造.
306
784801
1631
美しい構造です
13:18
If you lay寝る it out flat平らな on the floor床,
307
786456
2164
平らに押しつぶすと
正八面体はこうなります
13:20
this is the octahedron八面体.
308
788644
1217
13:21
This is the graphグラフ structure構造
of an octahedron八面体.
309
789885
2703
正八面体のグラフ構造です
13:25
And I can continue持続する doing this.
310
793255
2373
こんなこともできます
13:27
You can drawドロー three三 great circles円
around the octahedron八面体,
311
795652
3527
正八面体のまわりに
３つの大円を描いて
13:31
and you rotate回転する around,
312
799203
1850
回転させます
13:33
so actually実際に three三 great circles円
is related関連する to the octahedron八面体.
313
801077
4461
３つの大円は
正八面体と関連しているんです
13:37
And if I take a bicycle自転車 pumpポンプ
and just pumpポンプ it up,
314
805562
3659
自転車の空気入れで
膨らませると —
13:41
you can see that this is alsoまた、
a little bitビット like the octahedron八面体.
315
809245
3153
これもある意味
正八面体のようなものです
13:44
Do you see what I'm doing here?
316
812801
2296
私が何をやっているか
分かりますか？
13:47
I am changing変化 the perspective視点 everyすべて time.
317
815121
2681
ものの見方を
いろいろと変えているんです
13:50
So let's now take a stepステップ back --
318
818801
2650
一歩下がってみましょう
13:53
and that's actually実際に
a metaphor隠喩, steppingステッピング back --
319
821475
3037
これはメタファーですけど
13:56
and have a look at what we're doing.
320
824536
2363
ここまでどんなことを
してきたのか
13:58
I'm playing遊ぶ around with metaphors隠喩.
321
826923
1664
メタファーをもてあそび
14:00
I'm playing遊ぶ around
with perspectives視点 and analogies類推.
322
828611
2472
見方やアナロジーをもてあそび
14:03
I'm telling伝える one storyストーリー in different異なる ways方法.
323
831107
2032
１つの話をいろいろな
やり方で語る —
14:05
I'm telling伝える stories物語.
324
833472
1210
ストーリーを語り
14:06
I'm making作る a narrative物語;
I'm making作る severalいくつかの narratives物語.
325
834706
3184
いくつもの物語を作り出す
これらのすべてが
理解を可能にするのです
14:09
And I think all of these things
make understanding理解 possible可能.
326
837914
3522
14:13
I think this actually実際に is the essenceエッセンス
of understanding理解 something.
327
841460
3379
これは理解の本質なんです
14:16
I truly真に believe this.
328
844863
1294
本当にそう思います
14:18
So this thing about changing変化
your perspective視点 --
329
846181
2427
見方を変えるというのは
14:20
it's absolutely絶対に fundamental基本的な for humans人間.
330
848608
2733
人間にとって本質的なことなんです
14:23
Let's play遊びます around with the Earth地球.
331
851829
1621
地球で遊んでみましょう
14:25
Let's zoomズーム into the ocean海洋,
have a look at the ocean海洋.
332
853474
2509
海にズームインします
海を見て —
これは何に対してでも
できます
14:28
We can do this with anything.
333
856007
1942
14:29
We can take the ocean海洋
and view見る it up close閉じる.
334
857973
2460
海をよく見てみましょう
14:32
We can look at the waves波.
335
860457
1934
波に目を向ける
14:34
We can go to the beachビーチ.
336
862415
1212
浜辺に行く
14:35
We can view見る the ocean海洋
from another別の perspective視点.
337
863651
2263
海を別な見方で
見ることができます
14:37
Everyすべて time we do this, we learn学ぶ
a little bitビット more about the ocean海洋.
338
865938
3190
そうする度に 海について
もっと知ることが出来ます
14:41
If we go to the shore海岸,
we can kind種類 of smell臭い it, right?
339
869152
2589
海岸に行くと
潮の香りがします
14:43
We can hear聞く the sound音 of the waves波.
340
871765
1710
波の音が聞こえます
14:45
We can feel salt塩 on our tongues舌.
341
873499
2046
塩の味がします
14:47
So all of these
are different異なる perspectives視点.
342
875569
2890
これはみんな
異なる見方なんです
14:50
And this is the bestベスト one.
343
878483
1264
そしてこれは一番のもの
14:51
We can go into the water水.
344
879771
1643
水の中に入り
14:53
We can see the water水 from the inside内部.
345
881438
2009
水を中から見るということ
そしてこれは
14:55
And you know what?
346
883471
1178
数学やコンピューターサイエンスにとって
実に本質的なことなんです
14:56
This is absolutely絶対に essential本質的な
in mathematics数学 and computerコンピューター science科学.
347
884673
3081
構造を内側から
見ることができれば
14:59
If you're ableできる to view見る
a structure構造 from the inside内部,
348
887778
2955
15:02
then you really learn学ぶ something about it.
349
890757
2570
そのものについて
本当に学ぶことができます
15:05
That's somehow何とか the essenceエッセンス of something.
350
893351
2021
そのものの何か
本質的なことです
15:07
So when we do this,
and we've私たちは taken撮影 this journey旅
351
895883
3643
この海への旅を
するにあたって
15:11
into the ocean海洋,
352
899550
1173
私たちは想像力を使いました
15:12
we use our imagination想像力.
353
900747
1890
15:14
And I think this is one levelレベル deeperもっと深く,
354
902661
2653
これは１レベル深いものであり
15:17
and it's actually実際に a requirement要件
for changing変化 your perspective視点.
355
905338
3734
見方を変えるために
必要なものです
ちょっとしたゲームがあります
15:21
We can do a little gameゲーム.
356
909818
1167
15:23
You can imagine想像する that you're sitting座っている there.
357
911009
2041
ここに座っていながら
15:25
You can imagine想像する that you're up here,
and that you're sitting座っている here.
358
913074
3227
自分があそこにいると
想像するんです
15:28
You can view見る yourselvesあなた自身 from the outside外側.
359
916325
2326
自分を外から眺めるわけです
15:30
That's really a strange奇妙な thing.
360
918675
1938
すごく妙なことです
15:32
You're changing変化 your perspective視点.
361
920637
1823
見方を変え
15:34
You're usingを使用して your imagination想像力,
362
922484
1859
想像力を使い
15:36
and you're viewing見る yourselfあなた自身
from the outside外側.
363
924367
2206
自分自身を
外から眺めるのです
これには想像力が必要です
15:39
That requires要求する imagination想像力.
364
927073
2029
15:41
Mathematics数学 and computerコンピューター science科学
are the most最も imaginative想像 artアート formsフォーム ever.
365
929126
4933
数学とコンピューターサイエンスというのは
想像力を最も駆使する芸術様式なんです
15:46
And this thing about changing変化 perspectives視点
366
934884
2182
見方を変えるというのは
皆さんに馴染みのある
ことのはずです
15:49
should sound音 a little bitビット familiar身近な to you,
367
937090
2508
15:51
because we do it everyすべて day.
368
939622
2212
私たちが日々
やっていることであり
それは共感と呼ばれています
15:54
And then it's calledと呼ばれる empathy共感.
369
942604
1620
15:56
When I view見る the world世界
from your perspective視点,
370
944954
2699
私が相手の見方で
世界を見るとき
私はその人への
共感を持っています
16:00
I have empathy共感 with you.
371
948939
1666
16:02
If I really, truly真に understandわかる
372
950629
1848
相手から見た世界を
16:04
what the world世界 looks外見
like from your perspective視点,
373
952501
3078
本当に理解したなら
私は共感していると言えます
16:07
I am empathetic感情的な.
374
955603
1471
16:09
That requires要求する imagination想像力.
375
957098
2180
それには想像力が必要です
16:11
And that is how we obtain入手します understanding理解.
376
959827
2459
そうやって私たちは
理解を手にするのです
数学やコンピューターサイエンスでは
至る所で使います
16:15
And this is all over mathematics数学
and this is all over computerコンピューター science科学,
377
963206
3753
16:18
and there's a really deep深い connection接続
betweenの間に empathy共感 and these sciences科学.
378
966983
5535
共感とこれらの科学との間には
深い関わりがあるんです
16:25
So my conclusion結論 is the following以下:
379
973288
2804
そういうわけで私の結論は —
16:29
understanding理解 something really deeply深く
380
977931
2222
理解というのは
見方を変える能力と
16:32
has to do with the ability能力
to change変化する your perspective視点.
381
980177
2661
とても深く結びついている
ということです
皆さんにアドバイスしたいのは
見方を変えてみるということです
16:35
So my advice助言 to you is:
try to change変化する your perspective視点.
382
983894
3589
16:39
You can study調査 mathematics数学.
383
987507
1549
数学を学ぶのもいいです
16:41
It's a wonderful素晴らしい way to train列車 your brain脳.
384
989080
2433
これは頭を鍛える
素晴らしい方法です
16:44
Changing変化 your perspective視点
makes作る your mindマインド more flexibleフレキシブル.
385
992663
3808
見方を変えることで
心が柔軟になります
新しいものに対して
心が開かれ
16:48
It makes作る you open開いた to new新しい things,
386
996495
1834
16:50
and it makes作る you
ableできる to understandわかる things.
387
998353
2825
物事を理解しやすくなります
16:53
And to use yetまだ another別の metaphor隠喩:
388
1001202
2017
またメタファーを使うなら
水のような心を持つことです
16:55
have a mindマインド like water水.
389
1003243
1481
16:56
That's niceいい.
390
1004748
1151
それは良いことです
16:57
Thank you.
391
1005923
1157
ありがとうございました
16:59
(Applause拍手)
392
1007104
4171
(拍手)
Translated by Yasushi Aoki
Reviewed by Claire Ghyselen

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ABOUT THE SPEAKER
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.

Why you should listen

Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.

Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.

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