ABOUT THE SPEAKER
Benoit Mandelbrot - Mathematician
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works.

Why you should listen

Studying complex dynamics in the 1970s, Benoit Mandelbrot had a key insight about a particular set of mathematical objects: that these self-similar structures with infinitely repeating complexities were not just curiosities, as they'd been considered since the turn of the century, but were in fact a key to explaining non-smooth objects and complex data sets -- which make up, let's face it, quite a lot of the world. Mandelbrot coined the term "fractal" to describe these objects, and set about sharing his insight with the world.

The Mandelbrot set (expressed as z² + c) was named in Mandelbrot's honor by Adrien Douady and John H. Hubbard. Its boundary can be magnified infinitely and yet remain magnificently complicated, and its elegant shape made it a poster child for the popular understanding of fractals. Led by Mandelbrot's enthusiastic work, fractal math has brought new insight to the study of pretty much everything, from the behavior of stocks to the distribution of stars in the universe.

Benoit Mandelbrot appeared at the first TED in 1984, and returned in 2010 to give an overview of the study of fractals and the paradigm-flipping insights they've brought to many fields. He died in October 2010 at age 85. Read more about his life on NYBooks.com >>

More profile about the speaker
Benoit Mandelbrot | Speaker | TED.com
TED2010

Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

ブノワ・マンデルブロ: フラクタルと荒さの科学

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TED2010において、伝説的な数学者ブノワ・マンデルブロが1984年のTEDで初めて話題にあげたテーマである、荒さの複雑さと人知を超えた複雑さの中に秩序を見つける、フラクタルの数学について語ります。
- Mathematician
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works. Full bio

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00:15
Thank you very much.
0
0
2000
どうもありがとう
00:17
Please excuse言い訳 me for sitting座っている; I'm very old古い.
1
2000
3000
座らせてください 高齢なのでね
00:20
(Laughter笑い)
2
5000
2000
(笑)
00:22
Well, the topicトピック I'm going to discuss話し合います
3
7000
2000
これから話す話題は
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is one whichどの is, in a certainある senseセンス, very peculiar特有の
4
9000
3000
ある意味でちょっと珍しいことです
00:27
because it's very old古い.
5
12000
2000
とても古いのでね
00:29
Roughness粗さ is part of human人間 life
6
14000
3000
荒さは 人間の活動の一部です
00:32
forever永遠に and forever永遠に,
7
17000
2000
これからもずっと
00:34
and ancient古代 authors著者 have written書かれた about it.
8
19000
3000
古代の学者がそのことについて書いています
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It was very much uncontrollableコントロールできない,
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22000
2000
荒さはまったく制御できないものだと
00:39
and in a certainある senseセンス,
10
24000
2000
ある意味では
00:41
it seemed見えた to be the extreme極端な of complexity複雑,
11
26000
3000
荒さは非常に複雑なように見えます
00:44
just a mess混乱, a mess混乱 and a mess混乱.
12
29000
2000
単にぐちゃぐちゃで きたなくて散らかっているように
00:46
There are manyたくさんの different異なる kinds種類 of mess混乱.
13
31000
2000
いろいろな種類の乱雑な状態があります
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Now, in fact事実,
14
33000
2000
実は
00:50
by a completeコンプリート fluke吸虫,
15
35000
2000
完全な偶然によって
00:52
I got involved関係する manyたくさんの years ago
16
37000
3000
何年も前に私は
00:55
in a study調査 of this form of complexity複雑,
17
40000
3000
この複雑さの世界に飛び込みました
00:58
and to my utter発声する amazement驚き,
18
43000
2000
とても驚いたことに
01:00
I found見つけた tracesトレース --
19
45000
2000
私は手がかりを見つけたのです
01:02
very strong強い tracesトレース, I must必須 say --
20
47000
2000
とても確かな手がかり
01:04
of order注文 in that roughness粗さ.
21
49000
3000
荒さの秩序と言うほかにありません
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And so today今日, I would like to presentプレゼント to you
22
52000
2000
今日は お見せしたいと思います
01:09
a few少数 examples
23
54000
2000
このことが何を示しているか
01:11
of what this representsは表す.
24
56000
2000
いくつかの例を
01:13
I prefer好む the wordワード roughness粗さ
25
58000
2000
私は荒さという言葉が好きです
01:15
to the wordワード irregularity不規則
26
60000
2000
不規則さという言葉よりも
01:17
because irregularity不規則 --
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62000
2000
なぜなら不規則さは
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to someone誰か who had Latinラテン
28
64000
2000
若かったころの私のように
01:21
in my long-past長い過去 youth若者 --
29
66000
2000
ラテン語を勉強したことのある人にとって
01:23
means手段 the contrary反対の of regularity規則性.
30
68000
2000
規則正しいことの反対の意味を持っています
01:25
But it is not so.
31
70000
2000
でもそうではありません
01:27
Regularity規則性 is the contrary反対の of roughness粗さ
32
72000
3000
規則正しさは荒さの反対語です
01:30
because the basic基本的な aspectアスペクト of the world世界
33
75000
2000
なぜなら世界の基本となっていることは
01:32
is very rough荒い.
34
77000
2000
とても荒いからです
01:34
So let me showショー you a few少数 objectsオブジェクト.
35
79000
3000
では いくつか絵をお見せしましょう
01:37
Some of them are artificial人工的な.
36
82000
2000
これらのうち いくつかは人工的に作られています
01:39
Othersその他 of them are very realリアル, in a certainある senseセンス.
37
84000
3000
他のものはある意味で とても現実的です
01:42
Now this is the realリアル. It's a cauliflowerカリフラワー.
38
87000
3000
これは本物です 野菜のカリフラワー
01:45
Now why do I showショー a cauliflowerカリフラワー,
39
90000
3000
では なぜ一般的で古くからある野菜
01:48
a very ordinary普通の and ancient古代 vegetable野菜?
40
93000
3000
このカリフラワーを見せたのか
01:51
Because old古い and ancient古代 as it mayかもしれない be,
41
96000
3000
その理由は 古いかもしれませんが
01:54
it's very complicated複雑な and it's very simple単純,
42
99000
3000
この野菜はとても複雑で とても単純だからです
01:57
bothどちらも at the same同じ time.
43
102000
2000
両方とも
01:59
If you try to weigh体重を計る it -- of courseコース it's very easy簡単 to weigh体重を計る it,
44
104000
3000
カリフラワーの重さを計るとき もちろんとても簡単に計れます
02:02
and when you eat食べる it, the weight重量 matters問題 --
45
107000
3000
また食べるときには 重さは重要ですね
02:05
but suppose想定する you try to
46
110000
3000
では このようなことを考えてみてください
02:08
measure測定 its surface表面.
47
113000
2000
その表面を測ろうとしましょう
02:10
Well, it's very interesting面白い.
48
115000
2000
とてもおもしろいですよ
02:12
If you cutカット, with a sharpシャープ knifeナイフ,
49
117000
3000
よく研いだナイフで
02:15
one of the florets小花 of a cauliflowerカリフラワー
50
120000
2000
カリフラワーのつぼみを
02:17
and look at it separately別々に,
51
122000
2000
切り落としてみると
02:19
you think of a whole全体 cauliflowerカリフラワー, but smaller小さい.
52
124000
3000
それは 小さいカリフラワーに見えますね
02:22
And then you cutカット again,
53
127000
2000
さらに切っていきます
02:24
again, again, again, again, again, again, again, again,
54
129000
3000
また切って 切って 切って どんどん切りましょう
02:27
and you still get small小さい cauliflowersカリフラワー.
55
132000
2000
でもそこには また小さいカリフラワーがあります
02:29
So the experience経験 of humanity人類
56
134000
2000
人間の経験では
02:31
has always been that there are some shapes
57
136000
3000
こういう珍しい特徴を持つ形は
02:34
whichどの have this peculiar特有の propertyプロパティ,
58
139000
2000
いつも存在しています
02:36
that each part is like the whole全体,
59
141000
3000
それぞれの部分は 全体の形と似ていますが
02:39
but smaller小さい.
60
144000
2000
もっと小さいもの
02:41
Now, what did humanity人類 do with that?
61
146000
3000
では 人間はこの特徴に関して何をしたでしょうか
02:44
Very, very little.
62
149000
3000
本当に少しのことだけです
02:47
(Laughter笑い)
63
152000
3000
(笑)
02:50
So what I did actually実際に is to
64
155000
3000
私が実際にやったことは
02:53
study調査 this problem問題,
65
158000
3000
この問題を研究すること
02:56
and I found見つけた something quiteかなり surprising驚くべき.
66
161000
3000
そして大変驚くべきいくつかの発見をしました
02:59
That one can measure測定 roughness粗さ
67
164000
3000
私たちは 荒さを測ることができます
03:02
by a number, a number,
68
167000
3000
数によって
03:05
2.3, 1.2 and sometimes時々 much more.
69
170000
3000
2.3 1.2 時々もっと大きい数字になります
03:08
One day, a friend友人 of mine鉱山,
70
173000
2000
あるとき 私の友人のひとりが
03:10
to bugバグ me,
71
175000
2000
私を困らせるために
03:12
brought持ってきた a picture画像 and said,
72
177000
2000
ある絵を持ってきて このように言いました
03:14
"What is the roughness粗さ of this curve曲線?"
73
179000
2000
『この曲線の荒さはいくつだい』
03:16
I said, "Well, just shortショート of 1.5."
74
181000
3000
『そうだね 1.5よりちょっと小さいくらいかな』と答えました
03:19
It was 1.48.
75
184000
2000
それは1.48でした
03:21
Now, it didn't take me any time.
76
186000
2000
いくらも時間はかかりません
03:23
I've been looking at these things for so long.
77
188000
2000
このようなことを研究してきましたのでね
03:25
So these numbers数字 are the numbers数字
78
190000
2000
これらの数字は
03:27
whichどの denote意味する the roughness粗さ of these surfaces表面.
79
192000
3000
このような表面の荒さを示す数値です
03:30
I hasten早く to say that these surfaces表面
80
195000
2000
これらの表面は 完全に
03:32
are completely完全に artificial人工的な.
81
197000
2000
人工的だということを言わねばなりません
03:34
They were done完了 on a computerコンピューター,
82
199000
2000
これらはコンピューターによってつくられました
03:36
and the only input入力 is a number,
83
201000
2000
入力したものは 数字だけです
03:38
and that number is roughness粗さ.
84
203000
3000
そしてこの数字こそが荒さなのです
03:41
So on the left,
85
206000
2000
左の写真には
03:43
I took取った the roughness粗さ copiedコピーされた from manyたくさんの landscapes風景.
86
208000
3000
たくさんの風景写真から得た荒さを使いました
03:46
To the right, I took取った a higher高い roughness粗さ.
87
211000
3000
右の写真には もっと高い荒さを使いました
03:49
So the eye, after a while,
88
214000
2000
しばらくすると 目は
03:51
can distinguish区別する these two very well.
89
216000
3000
この2つをとてもよく見分けることが できるようになります
03:54
Humanity人類 had to learn学ぶ about measuring測定する roughness粗さ.
90
219000
2000
人は荒さを測ることを学ばなければならなかったのです
03:56
This is very rough荒い, and this is sortソート of smooth滑らかな, and this perfectly完全に smooth滑らかな.
91
221000
3000
これはとても荒い これはなめらか これは完全になめらか というように
03:59
Very few少数 things are very smooth滑らかな.
92
224000
3000
わずかなものだけが 本当になめらかです
04:03
So then if you try to ask尋ねる questions質問:
93
228000
3000
それでは 質問をしてみましょう
04:06
"What's the surface表面 of a cauliflowerカリフラワー?"
94
231000
2000
カリフラワーの表面積は何ですか
04:08
Well, you measure測定 and measure測定 and measure測定.
95
233000
3000
何度も何度も何度も 計測するでしょう
04:11
Each time you're closerクローザー, it gets取得 biggerより大きい,
96
236000
3000
より精密に行うと 答えは毎回より大きくなります
04:14
down to very, very small小さい distances距離.
97
239000
2000
とっても小さい間隔で測ったらね
04:16
What's the length長さ of the coastline海岸線
98
241000
2000
では この湖の海岸線の長さは
04:18
of these lakes?
99
243000
2000
いくつですか
04:20
The closerクローザー you measure測定, the longerより長いです it is.
100
245000
3000
より精密に計測すると それは長くなってしまいます
04:23
The concept概念 of length長さ of coastline海岸線,
101
248000
2000
海岸線の長さの定義は
04:25
whichどの seems思われる to be so naturalナチュラル
102
250000
2000
それがとても自然なように見えるのは
04:27
because it's given与えられた in manyたくさんの cases症例,
103
252000
2000
たくさんの事例があるからであって
04:29
is, in fact事実, completeコンプリート fallacy誤解; there's no suchそのような thing.
104
254000
3000
実は 完全に間違った考えなのです そのようなものは無いのです
04:32
You must必須 do it differently異なって.
105
257000
3000
違う方法で計測しなければならないのです
04:35
What good is that, to know these things?
106
260000
2000
このようなことを知って どうしますか
04:37
Well, surprisingly驚くほど enough十分な,
107
262000
2000
とても驚くことに
04:39
it's good in manyたくさんの ways方法.
108
264000
2000
たくさんのことができるのです
04:41
To beginベギン with, artificial人工的な landscapes風景,
109
266000
2000
まず初めに 人工的な風景は
04:43
whichどの I invented発明された sortソート of,
110
268000
2000
いくらか私が生み出したものですが
04:45
are used in cinemaシネマ all the time.
111
270000
3000
映画の中でずっと使われています
04:48
We see mountains山々 in the distance距離.
112
273000
2000
遠くに山が見えますね
04:50
They mayかもしれない be mountains山々, but they mayかもしれない be just formulae, just crankedクランクされた on.
113
275000
3000
山かもしれませんが たくさんの方程式かもしれません
04:53
Now it's very easy簡単 to do.
114
278000
2000
簡単にできます
04:55
It used to be very time-consuming時間がかかる, but now it's nothing.
115
280000
3000
以前は時間を食ったものですが いまはどうってことありません
04:58
Now look at that. That's a realリアル lung.
116
283000
3000
それではこれを見てみましょう 本物の肺です
05:01
Now a lung is something very strange奇妙な.
117
286000
2000
肺はとても奇妙な器官です
05:03
If you take this thing,
118
288000
2000
肺はとても軽いと
05:05
you know very well it weighs重く very little.
119
290000
3000
私たちがよく分かっています
05:08
The volumeボリューム of a lung is very small小さい,
120
293000
2000
肺の体積はとても小さいのです
05:10
but what about the areaエリア of the lung?
121
295000
3000
では 肺の表面積はどうでしょうか
05:13
Anatomists解剖学者 were arguing議論する very much about that.
122
298000
3000
解剖学者はこのことをいつも議論しています
05:16
Some say that a normal正常 male's男性の lung
123
301000
3000
通常の男性の肺は バスケットボールのコートと
05:19
has an areaエリア of the inside内部
124
304000
2000
同程度の面積を持っている
05:21
of a basketballバスケットボール [court裁判所].
125
306000
2000
と言う人はいますが
05:23
And the othersその他 say, no, five basketballバスケットボール [courts裁判所].
126
308000
3000
『いや バスケットボールコート5つ分』だと言う人もいます
05:27
Enormous巨大 disagreements不一致.
127
312000
2000
たいへんな違いですね
05:29
Why so? Because, in fact事実, the areaエリア of the lung
128
314000
3000
どうしてそうなるのでしょう なぜなら 肺の表面積は
05:32
is something very ill-definedあまり定義されていない.
129
317000
2000
はっきりと定義されていないからなのです
05:35
The bronchi気管支 branchブランチ, branchブランチ, branchブランチ
130
320000
3000
枝状に分かれた気管支が さらに分かれ また分かれています
05:38
and they stop branching分岐,
131
323000
3000
分岐が終わるということは
05:41
not because of any matter問題 of principle原理,
132
326000
3000
何かの法則によるのではなく
05:44
but because of physical物理的 considerations考察:
133
329000
3000
物理的な理由 つまり
05:47
the mucus粘液, whichどの is in the lung.
134
332000
3000
肺の中にある粘液がそれを決めるのです
05:50
So what happens起こる is that in a way
135
335000
2000
何が起こっているかというと
05:52
you have a much biggerより大きい lung,
136
337000
2000
人間は十分に大きい肺を持っているということです
05:54
but it branches and branches
137
339000
2000
もしも肺が細かく枝分かれしていたら
05:56
down to distances距離 about the same同じ for a whale, for a man
138
341000
3000
クジラの肺も人間の肺も 加えて小さいネズミも
05:59
and for a little rodent齧歯類.
139
344000
2000
同じ長さをを持つことになります
06:02
Now, what good is it to have that?
140
347000
3000
そのような肺を持つことで 何が優れているのでしょう
06:05
Well, surprisingly驚くほど enough十分な, amazingly驚くほど enough十分な,
141
350000
2000
驚くことに 非常に驚いたことに
06:07
the anatomists解剖学者 had a very poor貧しい ideaアイディア
142
352000
3000
解剖学者はほんの最近まで 肺の構造について
06:10
of the structure構造 of the lung until〜まで very recently最近.
143
355000
3000
つたない考えしか 持っていなかったのです
06:13
And I think that my mathematics数学,
144
358000
2000
私の数学的な方法は
06:15
surprisingly驚くほど enough十分な,
145
360000
2000
驚いたことに
06:17
has been of great help
146
362000
2000
とても大きな役割を果たしました
06:19
to the surgeons外科医
147
364000
2000
外科医は
06:21
studying勉強する lung illnesses病気
148
366000
2000
肺の疾患や
06:23
and alsoまた、 kidney腎臓 illnesses病気,
149
368000
2000
腎臓疾患を研究していますが
06:25
all these branching分岐 systemsシステム,
150
370000
2000
このような枝分かれの形状をしているために
06:27
for whichどの there was no geometryジオメトリ.
151
372000
3000
構造的に理解できないからです
06:30
So I found見つけた myself私自身, in other words言葉,
152
375000
2000
言い換えると
06:32
constructing建設 a geometryジオメトリ,
153
377000
2000
幾何学を作り出した つまり
06:34
a geometryジオメトリ of things whichどの had no geometryジオメトリ.
154
379000
3000
幾何構造を持たない対象のための 幾何学を発明したのです
06:37
And a surprising驚くべき aspectアスペクト of it
155
382000
2000
その驚くべき一面は
06:39
is that very oftenしばしば, the rulesルール of this geometryジオメトリ
156
384000
3000
この幾何学の法則は
06:42
are extremely極端な shortショート.
157
387000
2000
とても短いことです
06:44
You have formulas that long.
158
389000
2000
あなたがたは長い式があるとき
06:46
And you crankクランク it severalいくつかの times.
159
391000
2000
何度も展開してみるでしょう
06:48
Sometimes時々 repeatedly繰り返し: again, again, again,
160
393000
2000
ときには何度も何度も繰り返して
06:50
the same同じ repetition繰り返し.
161
395000
2000
同じ繰り返しをね
06:52
And at the end終わり, you get things like that.
162
397000
2000
最終的にこのようなものを得るでしょう
06:54
This cloud is completely完全に,
163
399000
2000
この雲は完全に
06:56
100 percentパーセント artificial人工的な.
164
401000
3000
100%人工的に作られました
06:59
Well, 99.9.
165
404000
2000
99.9%かな
07:01
And the only part whichどの is naturalナチュラル
166
406000
2000
この中でたった一つ自然なことは
07:03
is a number, the roughness粗さ of the cloud,
167
408000
2000
雲の荒さを表す数字です
07:05
whichどの is taken撮影 from nature自然.
168
410000
2000
自然界からもらった数字です
07:07
Something so complicated複雑な like a cloud,
169
412000
2000
雲のような複雑なものは
07:09
so unstable不安定な, so varying変化する,
170
414000
2000
安定していなくて 変わりやすいですが
07:11
should have a simple単純 ruleルール behind後ろに it.
171
416000
3000
その裏側には単純な規則を持っているのです
07:14
Now this simple単純 ruleルール
172
419000
3000
この単純な規則は
07:17
is not an explanation説明 of clouds.
173
422000
3000
雲を説明するためではありません
07:20
The seer先見者 of clouds had to
174
425000
2000
天気予報士は
07:22
take accountアカウント of it.
175
427000
2000
その規則に注意しなければなりません
07:24
I don't know how much advanced高度な
176
429000
3000
これらの絵がどれだけ進歩したのかわかりませんが
07:27
these picturesピクチャー are. They're old古い.
177
432000
2000
古いものなのです
07:29
I was very much involved関係する in it,
178
434000
2000
私はこのことにとても深く携わっていましたが
07:31
but then turned回した my attention注意 to other phenomena現象.
179
436000
3000
他の現象にも注目するようになりました
07:34
Now, here is another別の thing
180
439000
2000
さて これは
07:36
whichどの is ratherむしろ interesting面白い.
181
441000
3000
さらに面白いことです
07:39
One of the shattering粉砕 eventsイベント
182
444000
2000
数学を破壊したある事件は
07:41
in the history歴史 of mathematics数学,
183
446000
2000
数学の歴史の中で
07:43
whichどの is not appreciated感謝 by manyたくさんの people,
184
448000
3000
多くの人には歓迎されませんでしたが
07:46
occurred発生した about 130 years ago,
185
451000
2000
およそ130年前か
07:48
145 years ago.
186
453000
2000
145年前に起こりました
07:50
Mathematicians数学者 began始まった to create作成する
187
455000
2000
数学者たちが
07:52
shapes that didn't exist存在する.
188
457000
2000
自然に存在し得ない形を 創造し始めたのです
07:54
Mathematicians数学者 got into self-praise自己賞賛
189
459000
3000
数学者は自画自賛しはじめました
07:57
to an extentエクステント whichどの was absolutely絶対に amazing素晴らしい,
190
462000
2000
ある程度はすごいことだったのです
07:59
that man can invent発明する things
191
464000
2000
人間が生み出すことができるということが
08:01
that nature自然 did not know.
192
466000
2000
自然さえ知らないことをね
08:03
In particular特に, it could invent発明する
193
468000
2000
とくに このようなものをつくり出しました
08:05
things like a curve曲線 whichどの fills塗りつぶす the plane飛行機.
194
470000
3000
平面を埋め尽くす曲線です
08:08
A curve's曲線 a curve曲線, a plane's飛行機 a plane飛行機,
195
473000
2000
曲線は曲線 平面は平面
08:10
and the two won't〜されません mixミックス.
196
475000
2000
この2つは決して混じり合いません
08:12
Well, they do mixミックス.
197
477000
2000
彼らはそれを組み合わせたのです
08:14
A man named名前 PeanoPeano
198
479000
2000
ジュゼッペ・ペアノという人物が
08:16
did define定義する suchそのような curvesカーブ,
199
481000
2000
このような曲線を定義しました
08:18
and it becameなりました an objectオブジェクト of extraordinary特別な interest利子.
200
483000
3000
そして非常に興味深い図形となったのです
08:21
It was very important重要, but mostly主に interesting面白い
201
486000
3000
それはとても重要で 面白いのは
08:24
because a kind種類 of breakブレーク,
202
489000
2000
数学の境界だったからです
08:26
a separation分離 betweenの間に
203
491000
2000
それは
08:28
the mathematics数学 coming到来 from reality現実, on the one handハンド,
204
493000
3000
現実から生み出したきた今までの数学と
08:31
and new新しい mathematics数学 coming到来 from pureピュア man's男の mindマインド.
205
496000
3000
純粋に人間の思考が生み出した 新しい数学との
08:34
Well, I was very sorry to pointポイント out
206
499000
3000
このことを指摘することが残念なのですが
08:37
that the pureピュア man's男の mindマインド
207
502000
2000
純粋な人間の思考は
08:39
has, in fact事実,
208
504000
2000
実は
08:41
seen見た at long last
209
506000
2000
結局のところ
08:43
what had been seen見た for a long time.
210
508000
2000
長い間 見たことのあるものに基づいているのです
08:45
And so here I introduce紹介する something,
211
510000
2000
そしてこれは私が導入したもので
08:47
the setセット of rivers河川 of a plane-filling平面充填 curve曲線.
212
512000
3000
平面充填曲線(ペアノ曲線)の流れの集合です
08:50
And well,
213
515000
2000
これも
08:52
it's a storyストーリー unto〜へ itself自体.
214
517000
2000
それ自体に同じ説明が成り立ちます
08:54
So it was in 1875 to 1925,
215
519000
3000
1875年から1925年は
08:57
an extraordinary特別な period期間
216
522000
2000
とても驚くべき時代でした
08:59
in whichどの mathematics数学 prepared準備された itself自体 to breakブレーク out from the world世界.
217
524000
3000
世界中から突然に 数学が数学自体を作り始めたのです
09:02
And the objectsオブジェクト whichどの were used
218
527000
2000
そして 例えば
09:04
as examples, when I was
219
529000
2000
私がまだ
09:06
a child and a student学生, as examples
220
531000
2000
子どもで学生だったとき
09:08
of the breakブレーク betweenの間に mathematics数学
221
533000
3000
数学と 現実世界との間には
09:11
and visible目に見える reality現実 --
222
536000
2000
このような研究対象が
09:13
those objectsオブジェクト,
223
538000
2000
ありました
09:15
I turned回した them completely完全に around.
224
540000
2000
私はこれらの周りを徹底的に研究したのです
09:17
I used them for describing記述
225
542000
2000
私はこれを説明するために
09:19
some of the aspects側面 of the complexity複雑 of nature自然.
226
544000
3000
まったくもって複雑な自然の原理を用いました
09:22
Well, a man named名前 Hausdorffハウスドルフ in 1919
227
547000
3000
1919年にフェリックス・ハウスドルフという人物が
09:25
introduced導入された a number whichどの was just a mathematical数学 joke冗談で,
228
550000
3000
単なる数学的な冗談としてある数字を 導入しました
09:28
and I found見つけた that this number
229
553000
2000
そして私はこの数字が
09:30
was a good measurement測定 of roughness粗さ.
230
555000
2000
荒さを良く表すものだと発見したのです
09:32
When I first told it to my friends友達 in mathematics数学
231
557000
2000
数学者の友人らにそのことを話したとき
09:34
they said, "Don't be silly愚かな. It's just something [silly愚かな]."
232
559000
3000
『ばかなことを言うな。ただの数字だろう』と言われました
09:37
Well actually実際に, I was not silly愚かな.
233
562000
3000
実際 私はばかげてなどいませんでした
09:40
The great painter画家 Hokusai北斎 knew知っていた it very well.
234
565000
3000
画家の北斎はそのことをとても良く知っていました
09:43
The things on the ground接地 are algae藻類.
235
568000
2000
地面にあるのは藻です
09:45
He did not know the mathematics数学; it didn't yetまだ exist存在する.
236
570000
3000
彼は数学は知らなかったでしょう 存在さえしていませんでした
09:48
And he was Japanese日本語 who had no contact接触 with the West西.
237
573000
3000
それに彼は日本人で 西洋とのつながりは持っていませんでした
09:51
But paintingペインティング for a long time had a fractalフラクタル side.
238
576000
3000
しかし 浮世絵は長いことフラクタルと 同じ性質を持っていました
09:54
I could speak話す of that for a long time.
239
579000
2000
私はそのことをいくらでも話すことができます
09:56
The Eiffelエッフェル Towerタワー has a fractalフラクタル aspectアスペクト.
240
581000
3000
エッフェル塔もフラクタルの性質を持っています
09:59
I read読む the book that Mr. Eiffelエッフェル wrote書きました about his towerタワー,
241
584000
3000
エッフェル塔についての ギュスターブ・エッフェルの本を読んだことがありますが
10:02
and indeed確かに it was astonishing驚く how much he understood理解された.
242
587000
3000
彼がとても良く理解していたことに 本当に驚きました
10:05
This is a mess混乱, mess混乱, mess混乱, Brownianブラウン loopループ.
243
590000
3000
これはとてもぐちゃぐちゃな ブラウン運動がつくる軌跡です
10:08
One day I decided決定しました --
244
593000
2000
あるとき
10:10
halfway中途半端 throughを通して my careerキャリア,
245
595000
2000
私の学者としての半ばで
10:12
I was held開催 by so manyたくさんの things in my work --
246
597000
3000
たくさんの仕事を持ちすぎていたので
10:15
I decided決定しました to testテスト myself私自身.
247
600000
3000
私自身を試してみることにしました
10:18
Could I just look at something
248
603000
2000
私はただ見ることができるだろうか
10:20
whichどの everybodyみんな had been looking at for a long time
249
605000
3000
だれもが長いあいだ見ているものを
10:23
and find something dramatically劇的に new新しい?
250
608000
3000
そして飛躍的に 新しいことを見つけることができるだろうかと
10:26
Well, so I looked見た at these
251
611000
3000
そして私はこれらを見ていたのです
10:29
things calledと呼ばれる Brownianブラウン motionモーション -- just goes行く around.
252
614000
3000
ブラウン運動と呼ばれる軌跡 単にさまよっているようです
10:32
I playedプレーした with it for a while,
253
617000
2000
しばらくの間 それにいたずらをしてみて
10:34
and I made it returnリターン to the origin原点.
254
619000
3000
元に戻したのです
10:37
Then I was telling伝える my assistantアシスタント,
255
622000
2000
そして助手に言いました
10:39
"I don't see anything. Can you paintペイント it?"
256
624000
2000
『私は何も見えない 君 描けるかい』
10:41
So he painted描きました it, whichどの means手段
257
626000
2000
彼はそれを描きました つまり
10:43
he put inside内部 everything. He said:
258
628000
2000
すべて塗りつぶしたのです 彼はこう言いました
10:45
"Well, this thing came来た out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!
259
630000
3000
『ええと こういう結果になりました』 そのとき私はこう言いました『ちょっと待った
10:48
I see; it's an island."
260
633000
3000
私には島が見える』
10:51
And amazing素晴らしい.
261
636000
2000
驚きました
10:53
So Brownianブラウン motionモーション, whichどの happens起こる to have
262
638000
2000
ブラウン運動は
10:55
a roughness粗さ number of two, goes行く around.
263
640000
3000
荒さ2の数値を持って動き回っていたのです
10:58
I measured測定された it, 1.33.
264
643000
2000
私が測ると1.33でした
11:00
Again, again, again.
265
645000
2000
さらに何度も測りました
11:02
Long measurements測定値, big大きい Brownianブラウン motions動き,
266
647000
2000
長い計測の結果 大きなブラウン運動は
11:04
1.33.
267
649000
2000
1.33でした
11:06
Mathematical数学 problem問題: how to prove証明する it?
268
651000
3000
数学の問題が発生します どうやって証明するか
11:09
It took取った my friends友達 20 years.
269
654000
3000
私の友人らが20年かけて 成し遂げました
11:12
Three of them were having持つ incomplete不完全な proofs証拠.
270
657000
3000
そのうち3人は不完全な証明でしたが
11:15
They got together一緒に, and together一緒に they had the proof証明.
271
660000
3000
それを寄せ集めて 証明を得たのです
11:19
So they got the big大きい [Fieldsフィールド] medalメダル in mathematics数学,
272
664000
3000
彼らは数学の権威ある賞(フィールズ賞)を勝ち取り
11:22
one of the three medalsメダル that people have received受け取った
273
667000
2000
その中の1人は
11:24
for proving証明する things whichどの I've seen見た
274
669000
3000
ある証明をして賞を受け取りました
11:27
withoutなし beingであること ableできる to prove証明する them.
275
672000
3000
私が証明できなかったことを
11:30
Now everybodyみんな asks尋ねる me at one pointポイント or another別の,
276
675000
3000
いまではみんなが私にこう尋ねます
11:33
"How did it all start開始?
277
678000
2000
『どうやってそれを始めたんですか
11:35
What got you in that strange奇妙な businessビジネス?"
278
680000
3000
どうしてそんなおかしな問題に取り組んだのですか』
11:38
What got you to be,
279
683000
2000
何が私をそうさせたのかというと
11:40
at the same同じ time, a mechanical機械的 engineerエンジニア,
280
685000
2000
同時に 機械のエンジニアであり
11:42
a geographer地理学者
281
687000
2000
地理学者であり
11:44
and a mathematician数学者 and so on, a physicist物理学者?
282
689000
2000
数学者であり それから物理学者でもあるかな
11:46
Well actually実際に I started開始した, oddly妙に enough十分な,
283
691000
3000
実は 不思議なことに
11:49
studying勉強する stock株式 market市場 prices価格.
284
694000
2000
株式相場を研究し始めたからなのです
11:51
And so here
285
696000
2000
そしてここに
11:53
I had this theory理論,
286
698000
3000
学説を立てました
11:56
and I wrote書きました books about it --
287
701000
2000
また それについて本を書きました
11:58
financial金融 prices価格 increments増分.
288
703000
2000
金融価格の増加について
12:00
To the left you see dataデータ over a long period期間.
289
705000
2000
左上には長期間のデータがあります
12:02
To the right, on top,
290
707000
2000
右手の一番上には
12:04
you see a theory理論 whichどの is very, very fashionableファッショナブルな.
291
709000
3000
とっても流行りの理論が見えるでしょう
12:07
It was very easy簡単, and you can write書きます manyたくさんの books very fast速い about it.
292
712000
3000
とても簡単なので とても早くたくさんの本を書けますよ
12:10
(Laughter笑い)
293
715000
2000
(笑)
12:12
There are thousands of books on that.
294
717000
3000
これに関する本はたくさんあります
12:15
Now compare比較する that with realリアル price価格 increments増分.
295
720000
3000
では 実価格上昇と比べてみましょう
12:18
Where are realリアル price価格 increments増分?
296
723000
2000
どれが実価格上昇でしょうか
12:20
Well, these other lines
297
725000
2000
これら他のグラフ線は
12:22
include含める some realリアル price価格 increments増分
298
727000
2000
いくつかの実価格上昇のデータと
12:24
and some forgery偽造 whichどの I did.
299
729000
2000
私がねつ造したデータを含んでいます
12:26
So the ideaアイディア there was
300
731000
2000
そこにある考えを
12:28
that one must必須 be ableできる to -- how do you say? --
301
733000
2000
そのグラフは どう言うでしょう
12:30
modelモデル price価格 variation変化.
302
735000
3000
価格変動をモデル化できるということです
12:33
And it went行った really well 50 years ago.
303
738000
3000
それは50年前にうまくできました
12:36
For 50 years, people were sortソート of pooh-poohingプッシュプッシュ me
304
741000
3000
50年間 人々は私をばかにしていました
12:39
because they could do it much, much easierより簡単に.
305
744000
2000
なぜなら 彼らはより簡単にやってのけたからです
12:41
But I tell you, at this pointポイント, people listened聞いた to me.
306
746000
3000
しかし話をしている現時点では みなさんは私の話を聞いています
12:44
(Laughter笑い)
307
749000
2000
(笑)
12:46
These two curvesカーブ are averages平均:
308
751000
2000
この2つの線は平均を表しています
12:48
Standard標準 & Poor悪い, the blue one;
309
753000
2000
青線はスタンダード&プアーズ
12:50
and the red one is Standard標準 & Poor'sプアーズ
310
755000
2000
赤線はスタンダード&プアーズから
12:52
from whichどの the five biggest最大 discontinuities不連続性
311
757000
3000
寄与しない5つの不連続データを
12:55
are taken撮影 out.
312
760000
2000
取り除いたものです
12:57
Now discontinuities不連続性 are a nuisance迷惑,
313
762000
2000
不連続はやっかいものです
12:59
so in manyたくさんの studies研究 of prices価格,
314
764000
3000
多くの価格研究では
13:02
one puts置く them aside脇に.
315
767000
2000
それは取り除かれます
13:04
"Well, acts行為 of God.
316
769000
2000
『神の仕業だ
13:06
And you have the little nonsenseナンセンス whichどの is left.
317
771000
3000
それを取り除いたとき 少ししか意味をなさないものになる
13:09
Acts行為 of God." In this picture画像,
318
774000
3000
神の仕業』 このグラフでは
13:12
five acts行為 of God are as important重要 as everything elseelse.
319
777000
3000
5つの神の仕業がほかのすべてと同じくらい重要なのです
13:15
In other words言葉,
320
780000
2000
言い換えると
13:17
it is not acts行為 of God that we should put aside脇に.
321
782000
2000
取り除いた行為は 神の仕業ではないのです
13:19
That is the meatお肉, the problem問題.
322
784000
3000
それこそが要点であり 問題なのです
13:22
If you masterマスター these, you masterマスター price価格,
323
787000
3000
これらに精通すれば 価格を支配できるでしょう
13:25
and if you don't masterマスター these, you can masterマスター
324
790000
2000
もし精通できないのならば
13:27
the little noiseノイズ as well as you can,
325
792000
2000
不要な情報だけを自由に操ることができます
13:29
but it's not important重要.
326
794000
2000
しかしそれは重要でないのです
13:31
Well, here are the curvesカーブ for it.
327
796000
2000
これはそのためのグラフです
13:33
Now, I get to the final最後の thing, whichどの is the setセット
328
798000
2000
では最後の問題に取りかかりましょう
13:35
of whichどの my name is attached添付された.
329
800000
2000
私の名前が付けられた集合です
13:37
In a way, it's the storyストーリー of my life.
330
802000
2000
ある意味では 私の人生そのものです
13:39
My adolescence思春期 was spent過ごした
331
804000
2000
私の青年期は
13:41
during the Germanドイツ人 occupation職業 of Franceフランス.
332
806000
2000
フランスに占領されたドイツで過ごしました
13:43
Since以来 I thought that I mightかもしれない
333
808000
3000
1日か1週間のうちに 私が消えて
13:46
vanish消える within以内 a day or a week週間,
334
811000
3000
いなくなってしまうのではないかと考えていたので
13:49
I had very big大きい dreams.
335
814000
3000
とても大きな夢を持っていました
13:52
And after the war戦争,
336
817000
2000
戦争の後
13:54
I saw an uncle叔父 again.
337
819000
2000
叔父に再び会いました
13:56
My uncle叔父 was a very prominent著名な mathematician数学者, and he told me,
338
821000
2000
叔父はとても著名な数学者で 私にこう言いました
13:58
"Look, there's a problem問題
339
823000
2000
『ほら ここに問題がある
14:00
whichどの I could not solve解決する 25 years ago,
340
825000
2000
私が25年前に解けなかった問題だ
14:02
and whichどの nobody誰も can solve解決する.
341
827000
2000
そして誰も解けない
14:04
This is a construction建設 of a man named名前 [Gastonガストン] Juliaジュリア
342
829000
2000
これはガストン・ジュリアと
14:06
and [Pierreピエール] Fatouファトウ.
343
831000
2000
ピエール・ファトウの作図問題だ
14:08
If you could
344
833000
2000
もし君が
14:10
find something new新しい, anything,
345
835000
2000
何か新しいことを発見できれば
14:12
you will get your careerキャリア made."
346
837000
2000
君自身の仕事をつくることができるだろう』
14:14
Very simple単純.
347
839000
2000
とても単純な問題でした
14:16
So I looked見た,
348
841000
2000
その問題を見ましたが
14:18
and like the thousands of people that had tried試した before,
349
843000
2000
何人もの人が今までに挑戦してきたように
14:20
I found見つけた nothing.
350
845000
3000
何も見つけられませんでした
14:23
But then the computerコンピューター came来た,
351
848000
2000
しばらくしてコンピュータが登場しました
14:25
and I decided決定しました to apply適用する the computerコンピューター,
352
850000
2000
私はコンピュータに応用することにしました
14:27
not to new新しい problems問題 in mathematics数学 --
353
852000
3000
数学にとっては新しい問題ではありませんが
14:30
like this wiggle揺れる wiggle揺れる, that's a new新しい problem問題 --
354
855000
2000
これを揺り動かすと新しい問題になります
14:32
but to old古い problems問題.
355
857000
2000
古い問題に適用したのです
14:34
And I went行った from what's calledと呼ばれる
356
859000
2000
そして
14:36
realリアル numbers数字, whichどの are pointsポイント on a lineライン,
357
861000
2000
実線上の点の実数から
14:38
to imaginary想像上の, complex複合体 numbers数字,
358
863000
2000
虚数へと拡張しました
14:40
whichどの are pointsポイント on a plane飛行機,
359
865000
2000
それは平面上の点であり
14:42
whichどの is what one should do there,
360
867000
2000
そこにあるべきものです
14:44
and this shape形状 came来た out.
361
869000
2000
そしてこの形が現れました
14:46
This shape形状 is of an extraordinary特別な complication合併症.
362
871000
3000
これはとても異常に複雑な形をしています
14:49
The equation方程式 is hidden隠された there,
363
874000
2000
方程式はここに隠されています
14:51
z goes行く into z squared二乗された, plusプラス c.
364
876000
3000
zから2乗足すcへの写像
14:54
It's so simple単純, so dryドライ.
365
879000
2000
とても単純で飾り気のないものです
14:56
It's so uninteresting興味深い.
366
881000
2000
それほどおもしろくもありません
14:58
Now you turn順番 the crankクランク once一度, twice二度:
367
883000
3000
クランクを1回 2回
15:01
twice二度,
368
886000
3000
2回まわしてみましょう
15:04
marvels驚嘆 come out.
369
889000
2000
不思議な形が現れます
15:06
I mean this comes来る out.
370
891000
2000
これが現れたのです
15:08
I don't want to explain説明する these things.
371
893000
2000
これらの図形のことはあまり説明したくありません
15:10
This comes来る out. This comes来る out.
372
895000
2000
この図形が現れ これも現れました
15:12
Shapes whichどの are of suchそのような complication合併症,
373
897000
2000
このように複雑で
15:14
suchそのような harmony調和 and suchそのような beauty美しさ.
374
899000
3000
調和がとれていて美しい図形です
15:17
This comes来る out
375
902000
2000
これは
15:19
repeatedly繰り返し, again, again, again.
376
904000
2000
何度も繰り返して現れます
15:21
And that was one of my majorメジャー discoveries発見,
377
906000
2000
私の主要な発見のひとつは
15:23
to find that these islands島々 were the same同じ
378
908000
2000
これらの島は
15:25
as the whole全体 big大きい thing, more or lessもっと少なく.
379
910000
2000
ひとかたまりの大きい図形と ほぼ同じことを見つけたことです
15:27
And then you get these
380
912000
2000
そしてこれらの
15:29
extraordinary特別な baroqueバロック decorations装飾 all over the place場所.
381
914000
3000
とても風変わりな装飾が あらゆるところにあります
15:32
All that from this little formula,
382
917000
3000
これらのすべては この短い式から得られます
15:35
whichどの has whateverなんでも, five symbolsシンボル in it.
383
920000
3000
その式は5つの記号しかありません
15:38
And then this one.
384
923000
2000
これを見てください
15:40
The color was added追加された for two reasons理由.
385
925000
2000
色付けは2つの理由で加えられました
15:42
First of all, because these shapes
386
927000
2000
一つ目は これらの形が
15:44
are so complicated複雑な
387
929000
3000
とても複雑なので
15:47
that one couldn'tできなかった make any senseセンス of the numbers数字.
388
932000
3000
数字の意味を理解できないからです
15:50
And if you plotプロット them, you must必須 choose選択する some systemシステム.
389
935000
3000
図面を作ろうとするとき 形式を選ばなければなりません
15:53
And so my principle原理 has been
390
938000
2000
私の方針は
15:55
to always presentプレゼント the shapes
391
940000
3000
図形を表すことにしています
15:58
with different異なる colorings着色料
392
943000
2000
常に異なる色で
16:00
because some colorings着色料 emphasize強調する that,
393
945000
2000
色づけは形を強調させ
16:02
and othersその他 it is that or that.
394
947000
2000
印象付けられるからです
16:04
It's so complicated複雑な.
395
949000
2000
とても複雑ですね
16:06
(Laughter笑い)
396
951000
2000
(笑)
16:08
In 1990, I was in Cambridgeケンブリッジ, U.K.
397
953000
2000
1990年 私はイギリス・ケンブリッジにいました
16:10
to receive受け取る a prize from the university大学,
398
955000
3000
大学からの賞を受け取るために
16:13
and three days日々 later後で,
399
958000
2000
それから3年後
16:15
a pilotパイロット was flying飛行 over the landscape風景 and found見つけた this thing.
400
960000
3000
パイロットがある地域の上空を飛んでいて これを見つけました
16:18
So where did this come from?
401
963000
2000
これはどこから来たのでしょう
16:20
Obviously明らかに, from extraterrestrials地球外生命.
402
965000
2000
明らかに 地球外の生物からですね
16:22
(Laughter笑い)
403
967000
3000
(笑)
16:25
Well, so the newspaper新聞 in Cambridgeケンブリッジ
404
970000
2000
ケンブリッジの新聞が
16:27
published出版された an article記事 about that "discovery発見"
405
972000
2000
その『発見』についての記事を書き
16:29
and received受け取った the next day
406
974000
2000
翌日
16:31
5,000 letters手紙 from people saying言って,
407
976000
2000
5千を超える手紙を受け取りました
16:33
"But that's simply単に a Mandelbrotマンデルブロ setセット very big大きい."
408
978000
3000
『あれは単に とても大きいマンデルブロ集合だ』
16:37
Well, let me finish仕上げ.
409
982000
2000
それでは終わりにしましょう
16:39
This shape形状 here just came来た
410
984000
2000
この図形は
16:41
out of an exercise運動 in pureピュア mathematics数学.
411
986000
2000
純粋数学の訓練から得ました
16:43
Bottomlessボトムレス wonders不思議 spring from simple単純 rulesルール,
412
988000
3000
無限の不思議は 単純な規則から生まれ
16:46
whichどの are repeated繰り返し withoutなし end終わり.
413
991000
3000
終わりなく繰り返す
16:49
Thank you very much.
414
994000
2000
どうもありがとう
16:51
(Applause拍手)
415
996000
11000
(拍手)
Translated by Chihiro M
Reviewed by Lily Yichen Shi

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ABOUT THE SPEAKER
Benoit Mandelbrot - Mathematician
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works.

Why you should listen

Studying complex dynamics in the 1970s, Benoit Mandelbrot had a key insight about a particular set of mathematical objects: that these self-similar structures with infinitely repeating complexities were not just curiosities, as they'd been considered since the turn of the century, but were in fact a key to explaining non-smooth objects and complex data sets -- which make up, let's face it, quite a lot of the world. Mandelbrot coined the term "fractal" to describe these objects, and set about sharing his insight with the world.

The Mandelbrot set (expressed as z² + c) was named in Mandelbrot's honor by Adrien Douady and John H. Hubbard. Its boundary can be magnified infinitely and yet remain magnificently complicated, and its elegant shape made it a poster child for the popular understanding of fractals. Led by Mandelbrot's enthusiastic work, fractal math has brought new insight to the study of pretty much everything, from the behavior of stocks to the distribution of stars in the universe.

Benoit Mandelbrot appeared at the first TED in 1984, and returned in 2010 to give an overview of the study of fractals and the paradigm-flipping insights they've brought to many fields. He died in October 2010 at age 85. Read more about his life on NYBooks.com >>

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