TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: A magia dos números de Fibonacci
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A matemática é lógica, funcional e simplesmente... fantástica. O matemágico Arthur Benjamin explora propriedades ocultas daquele conjunto de números estranhos e maravilhosos, a série de Fibonacci. (E ressalta que a matemática pode ser também inspiradora!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
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00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Então, por que aprendemos matemática?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Essencialmente por três razões:
00:18
calculation,
2
6200
1628
cálculos,
00:19
application,
3
7828
1900
aplicação,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
e por último e infelizmente menos importante,
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
em termos do tempo que dedicamos,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
inspiração.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Matemática é a ciência dos padrões,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
e nós a estudamos para
aprender a pensar logicamente,
aprender a pensar logicamente,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
criticamente e criativamente,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
mas muito da matemática
que aprendemos na escola
que aprendemos na escola
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
não é efetivamente motivado,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
e quando nossos alunos perguntam:
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Por que estamos aprendendo isto?",
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
eles normalmente ouvem que vão precisar
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
numa próxima aula de matemática ou num teste.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Mas não seria ótimo
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
se, de vez em quando, fizéssemos matemática
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
simplesmente porque ela é divertida e bonita,
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
ou porque ela aguça a mente?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Sei que muitas pessoas
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
não tiveram a oportunidade
de ver como isso acontece,
de ver como isso acontece,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
então deixem-me lhes dar um rápido exemplo
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
com meu conjunto de números favorito,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
os números de Fibonacci. (Aplausos)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Isso aí! Já vi que há alguns fãs de Fibonacci aqui.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Isso é ótimo.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Bem, esses números podem ser apreciados
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
de vários jeitos diferentes.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Do ponto de vista do cálculo,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
eles são tão fáceis de entender
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
como 1 + 1, que é 2.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
E 1 + 2 que é 3,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 + 3 é 5, 3 + 5 é 8,
01:29
and so on.
34
77787
1525
e assim por diante.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
De fato, a pessoa que chamamos de Fibonacci
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
se chamava, na verdade, Leonardo de Pisa,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
e esses números aparecem
em seu livro "Liber Abaci",
em seu livro "Liber Abaci",
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
que ensinou ao mundo ocidental
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
os métodos de aritmética que usamos hoje.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Em termos de aplicações,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
os números de Fibonacci aparecem na natureza
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
com uma frequência surpreendente.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
O número de pétalas numa flor
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
é tipicamente um número de Fibonacci,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
ou o número de espirais em um girassol
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
ou num abacaxi
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
tende a ser um número de Fibonacci também.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
De fato, há muito mais aplicações
dos números de Fibonacci,
dos números de Fibonacci,
mas o que eu acho o mais inspirador deles
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
são os belos padrões numéricos
que eles representam.
que eles representam.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Vou lhes mostrar um dos meus favoritos.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Vamos supor que vocês gostem
de elevar números ao quadrado,
de elevar números ao quadrado,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
e, francamente, quem não gosta? (Risos)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Vejamos os quadrados
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
dos primeiros números de Fibonacci.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Então, 1² é 1,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2² é 4, 3² é 9,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5² é 25 e assim por diante.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Agora, não é nenhuma surpresa
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
que quando somamos
números de Fibonacci consecutivos,
números de Fibonacci consecutivos,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
encontramos o próximo
número de Fibonacci. Certo?
número de Fibonacci. Certo?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
É assim que eles são definidos.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Mas não se esperaria que nada especial
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
acontecesse quando somamos os quadrados.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Mas vejam só isso.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1 dá 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
e 1 + 4 dá 5.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
e 4 + 9 é 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
4 + 25 é 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
e sim, o padrão continua.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Na verdade, aqui há outro.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Vamos supor que vocês queiram ver
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
a soma dos quadrados
dos primeiros números de Fibonacci.
dos primeiros números de Fibonacci.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Vamos ver o que conseguimos aqui.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Então 1 + 1 + 4 é 6.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Somando com 9, dá 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Somando com 25, dá 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Somando com 64, dá 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Agora olhem para estes números.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Eles não são números de Fibonacci,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
mas se olharem para eles atentamente,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
Vocês verão os números de Fibonacci
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
enterrados dentro deles.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Vocês veem? Vou mostrar a vocês.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 é 5 x 80,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8, quem nós apreciamos?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Risos)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! Claro.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Agora, por mais divertido
que seja descobrir esses padrões,
que seja descobrir esses padrões,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
é ainda mais satisfatório entender
03:42
why they are true.
92
210924
1958
por que eles acontecem.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Vejamos a última equação.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Por que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
somados dão 8 x 13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Vou lhes mostrar desenhando uma simples figura.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Vamos começar com um quadrado 1 por 1
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
e ao lado colocamos outro quadrado 1 por 1.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Juntos, eles formam um retângulo 1 por 2.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Sob eles, vou colocar um quadrado 2 por 2,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
e ao lado de tudo, um quadrado 3 por 3,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
sob tudo, um quadrado, 5 por 5,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
e então um quadrado 8 por 8,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
criando um retângulo gigante, certo?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Agora vou fazer uma pergunta bem simples:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
Qual é a área do retângulo?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Bem, por um lado,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
é a soma das áreas
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
dos quadrados internos, certos?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Exatamente como o criamos.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
É 1² + 1²
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
+ 2² + 3²
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
+ 5² + 8². Certo?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Essa é a área.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Por outro lado, por ser um retângulo,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
a área é igual a base vezes altura,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
e a altura é claramente 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
e a base é 5 + 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
que é o próximo número de Fibonacci, 13. Certo?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Então a área também é 8 x 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Já que calculamos a área corretamente
05:00
two different ways,
122
288880
1687
de dois jeitos diferentes,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
eles têm que ser o mesmo número,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
e é por isso que o quadrado de 1, 1, 2, 3, 5 e 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
somados dão 8 x 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Agora, se continuarmos esse processo,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
vamos gerar retângulos no formato 13 por 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 por 34, e assim por diante.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Agora, vejam só isso.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Se dividirmos 13 por 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
temos 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
E se dividirmos o número maior pelo menor,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
então essas razões se aproximam cada vez mais
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
de cerca de 1,618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
conhecido por muitas pessoas
como a Razão Áurea,
como a Razão Áurea,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
um número que tem fascinado os matemáticos,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
cientistas e artistas por séculos.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Agora, eu mostro isso tudo a vocês porque,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
assim como em muito da matemática,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
há um lado belo disso
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
que eu receio não receba atenção suficiente
05:51
in our schools.
142
339146
1567
em nossas escolas.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Passamos muito tempo
aprendendo sobre cálculos,
aprendendo sobre cálculos,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
mas não podemos esquecer da aplicação,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
incluindo, talvez, a aplicação
mais importante de todas:
mais importante de todas:
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
aprender a pensar.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Se eu pudesse resumir isso em uma sentença,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
seria essa:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Matemática não é só encontrar o x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
também é entender o por quê.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Muito obrigado.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Aplausos)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com