ABOUT THE SPEAKER
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.

Why you should listen

Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.

Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.

More profile about the speaker
Roger Antonsen | Speaker | TED.com
TEDxOslo

Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world

羅傑．安東森: 數學──理解萬物的秘密

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用最富想像力的藝術形式──數學──來解開世界的奧秘及原理。羅傑．安東森為我們解釋，只要稍稍改變一下觀點就能發現模式、數字及公式，這些都是同理心與理解的起點。
- Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations. Full bio

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00:13
Hi你好.
0
1174
1159
嗨！
00:14
I want to talk about understanding理解,
and the nature性質 of understanding理解,
1
2357
3819
我想跟大家談談理解、理解的本質，
00:18
and what the essence本質 of understanding理解 is,
2
6200
3393
及什麼是理解的精髓，
00:21
because understanding理解 is something
we aim目標 for, everyone大家.
3
9617
3037
因為理解是我們每個人的目標。
00:24
We want to understand理解 things.
4
12678
2411
我們想要理解萬物。
00:27
My claim要求 is that understanding理解 has to do
5
15763
2348
我的主張是理解
00:30
with the ability能力 to change更改
your perspective透視.
6
18135
2578
與你能不能改變你的觀點大有關係。
00:32
If you don't have that,
you don't have understanding理解.
7
20737
2892
如果你不能，你就不能理解。
00:36
So that is my claim要求.
8
24106
1542
所以那是我的主張。
00:37
And I want to focus焦點 on mathematics數學.
9
25672
1899
我想把焦點集中在數學。
00:40
Many許多 of us think of mathematics數學
as addition加成, subtraction減法,
10
28050
3496
許多人認為數學就是
加、減、乘、除、
00:43
multiplication乘法, division師,
11
31570
1948
00:45
fractions餾分, percent百分, geometry幾何,
algebra代數 -- all that stuff東東.
12
33542
3810
分數、百分比、幾何、
代數這些東西。
00:50
But actually其實, I want to talk
about the essence本質 of mathematics數學 as well.
13
38034
3674
可是其實我也想談數學的本質。
00:53
And my claim要求 is that mathematics數學
has to do with patterns模式.
14
41732
3287
我的主張是數學跟模式有關。
（又譯胚騰）
00:57
Behind背後 me, you see a beautiful美麗 pattern模式,
15
45043
2491
在我後面大家可以看到
一個很漂亮的模式，
00:59
and this pattern模式 actually其實 emerges出現
just from drawing畫畫 circles界
16
47558
3931
這個模式其實只要
用一種特別的方式畫圓就會出現。
01:03
in a very particular特定 way.
17
51513
1630
01:05
So my day-to-day日復一日 definition定義
of mathematics數學 that I use every一切 day
18
53778
4589
所以我對數學的簡單定義，
我每天都在用的，
01:10
is the following以下:
19
58391
1205
就是：
01:12
First of all, it's about finding發現 patterns模式.
20
60030
2828
第一，數學就是找出模式。
01:16
And by "pattern模式," I mean a connection連接,
a structure結構體, some regularity規律性,
21
64001
5495
我說的模式是指一種關聯、
一種結構，有某種規律性，
01:21
some rules規則 that govern治理 what we see.
22
69520
1993
某些規則，掌控我們所見。
01:24
Second第二 of all,
23
72170
1155
第二，
我認為它以一種語言表達這些模式。
01:25
I think it is about representing代表
these patterns模式 with a language語言.
24
73349
3640
01:29
We make up language語言 if we don't have it,
25
77361
2444
如果找不到我們就自己編新語言。
01:31
and in mathematics數學, this is essential必要.
26
79829
2369
而在數學，這非常必要。
01:35
It's also也 about making製造 assumptions假設
27
83013
1800
這也跟你做了假設，
01:36
and playing播放 around with these assumptions假設
and just seeing眼看 what happens發生.
28
84837
3613
然後玩一下假設
來看看會發生什麼事有關。
01:40
We're going to do that very soon不久.
29
88474
2082
我們等一下就會這麼做。
01:42
And finally最後, it's about doing cool涼 stuff東東.
30
90986
2855
最後，這還跟做出很酷的東西有關。
01:46
Mathematics數學 enables使 us
to do so many許多 things.
31
94460
3315
數學能讓我們做很多事。
01:50
So let's have a look at these patterns模式.
32
98632
2216
所以現在就來看一下這些模式。
01:52
If you want to tie領帶 a tie領帶 knot結,
33
100872
2222
如果你要打領帶，
01:55
there are patterns模式.
34
103118
1310
這裡有幾種打法。
01:56
Tie領帶 knots結 have names名.
35
104452
1471
領帶打出的結都有名字。
01:58
And you can also也 do
the mathematics數學 of tie領帶 knots結.
36
106453
2347
你也可以用數學來分析領結。
02:00
This is a left-out左出, right-in就在,
center-out中心向外成 and tie領帶.
37
108824
2578
有左外、右內、
中間翻出來的打法。
02:04
This is a left-in留在, right-out右出,
left-in留在, center-out中心向外成 and tie領帶.
38
112073
3543
還有左內、右外、左內、
中間翻出來的打法。
02:08
This is a language語言 we made製作 up
for the patterns模式 of tie領帶 knots結,
39
116005
4110
這就是我們為領結模式
創造出的語言，
02:12
and a half-Windsor半溫莎 is all that.
40
120522
1690
半溫莎結也能這樣表示。
02:15
This is a mathematics數學 book書
about tying搭售 shoelaces鞋帶
41
123529
2787
這是本綁鞋帶的數學書，
02:18
at the university大學 level水平,
42
126340
1390
──大學程度，
02:19
because there are patterns模式 in shoelaces鞋帶.
43
127754
1978
因為這些是鞋帶的模式。
02:21
You can do it in so many許多 different不同 ways方法.
44
129756
2111
你可以用很多不同的方式綁。
02:23
We can analyze分析 it.
45
131891
1244
你可以分析綁法。
02:25
We can make up languages語言 for it.
46
133159
1766
我們能為之創造語言。
02:28
And representations交涉
are all over mathematics數學.
47
136218
2939
數學裡充滿了各種表式式。
02:31
This is Leibniz's萊布尼茲 notation符號 from 1675.
48
139181
3676
這是 1675 年的萊布尼茲表示法。
02:35
He invented發明 a language語言
for patterns模式 in nature性質.
49
143335
3670
他為自然界的模式創造了一種語言。
02:39
When we throw扔 something up in the air空氣,
50
147363
1868
我們往上丟東西到空中，
02:41
it falls下降 down.
51
149255
1190
它會掉下來。
02:42
Why?
52
150469
1151
為什麼？
02:43
We're not sure, but we can represent代表
this with mathematics數學 in a pattern模式.
53
151644
4070
我們不太確定，但是我們能用
數學模式表達這種現象。
02:48
This is also也 a pattern模式.
54
156285
1603
這也是一種模式。
02:49
This is also也 an invented發明 language語言.
55
157912
2700
這也是一種創造出的語言。
02:52
Can you guess猜測 for what?
56
160636
1544
你能猜到這是什麼嗎？
02:55
It is actually其實 a notation符號 system系統
for dancing跳舞, for tap龍頭 dancing跳舞.
57
163481
3376
這其實是一種舞譜，給踢踏舞用的。
02:59
That enables使 him as a choreographer編舞
to do cool涼 stuff東東, to do new新 things,
58
167532
5256
這讓他身為編舞者
能做很酷的動作，做新的動作，
03:04
because he has represented代表 it.
59
172812
1953
因為他能表達出來。
03:07
I want you to think about how amazing驚人
representing代表 something actually其實 is.
60
175232
4802
我要大家想一下能把
某種事物表達出來有多厲害！
03:12
Here it says說 the word字 "mathematics數學."
61
180620
2743
這裡寫著「數學」這個詞。
03:15
But actually其實, they're just dots點, right?
62
183905
2400
但是其實只有幾個點，對吧？
03:18
So how in the world世界 can these dots點
represent代表 the word字?
63
186329
2991
所以這幾個點到底怎麼表達這個詞？
03:21
Well, they do.
64
189344
1340
的確可以。
03:23
They represent代表 the word字 "mathematics數學,"
65
191343
1898
它們表達「數學」這個詞，
03:25
and these symbols符號 also也 represent代表 that word字
66
193265
2560
這些符號也表達那個詞，
03:27
and this we can listen to.
67
195849
1658
我們可以用聽的。
03:29
It sounds聲音 like this.
68
197531
1357
它聽起來像這樣。
03:30
(Beeps蜂鳴聲)
69
198912
1984
（嗶嗶聲）
03:32
Somehow不知何故 these sounds聲音 represent代表
the word字 and the concept概念.
70
200920
3290
這些聲音表達出這個詞和概念。
03:36
How does this happen發生?
71
204234
1656
怎麼會這樣呢？
03:37
There's something amazing驚人
going on about representing代表 stuff東東.
72
205914
3488
表達是一件很厲害的事。
03:41
So I want to talk about
that magic魔法 that happens發生
73
209966
5617
我想談談實際表達某樣東西時，
03:47
when we actually其實 represent代表 something.
74
215607
1971
那種不可思議的魔力。
03:49
Here you see just lines線
with different不同 widths寬度.
75
217602
3016
這裡你們看到的
只是不同粗細的線條。
03:52
They stand站 for numbers數字
for a particular特定 book書.
76
220642
2625
這是某一本書的條碼。
03:55
And I can actually其實 recommend推薦
this book書, it's a very nice不錯 book書.
77
223291
2993
我很推薦這本書，很不錯的一本書。
03:58
(Laughter笑聲)
78
226308
1022
（笑聲）
03:59
Just trust相信 me.
79
227354
1281
相信我！
04:01
OK, so let's just do an experiment實驗,
80
229475
2323
好，我們來做個實驗，
04:03
just to play玩 around
with some straight直行 lines線.
81
231822
2168
就來玩一下幾條直線。
04:06
This is a straight直行 line線.
82
234014
1167
這是一條直線。
04:07
Let's make another另一個 one.
83
235205
1154
來畫另外一條。
04:08
So every一切 time we move移動,
we move移動 one down and one across橫過,
84
236383
2809
我們每移動一次，
向下一點，衡過去一點，
04:11
and we draw畫 a new新 straight直行 line線, right?
85
239216
2574
我們就畫出一條新的直線，對嗎？
04:13
We do this over and over and over,
86
241814
2025
我們不斷重複這個過程，
04:16
and we look for patterns模式.
87
244351
1358
我們尋找模式。
04:17
So this pattern模式 emerges出現,
88
245733
2122
所以這種模式出現，
04:20
and it's a rather寧 nice不錯 pattern模式.
89
248220
2042
還蠻不錯的模式。
04:22
It looks容貌 like a curve曲線, right?
90
250286
1735
看起來像弧線，對嗎？
04:24
Just from drawing畫畫 simple簡單, straight直行 lines線.
91
252045
2572
只是畫簡單的直線就得到這個。
04:27
Now I can change更改 my perspective透視
a little bit位. I can rotate迴轉 it.
92
255271
3284
現在我可以改變一下視角。
我可以把它轉一下。
04:30
Have a look at the curve曲線.
93
258944
1382
看一下這條弧線。
04:32
What does it look like?
94
260350
1379
看起來像什麼？
04:33
Is it a part部分 of a circle圈?
95
261753
1982
像圓的一部分嗎？
04:35
It's actually其實 not a part部分 of a circle圈.
96
263759
1902
這其實不是圓的一部分。
04:37
So I have to continue繼續 my investigation調查
and look for the true真正 pattern模式.
97
265685
4159
所以我得繼續研究並尋找真的模式。
04:41
Perhaps也許 if I copy複製 it and make some art藝術?
98
269868
3211
或許我能複製一下做成某種藝術品？
04:45
Well, no.
99
273674
1156
嗯，不好。
04:46
Perhaps也許 I should extend延伸
the lines線 like this,
100
274854
2149
或許我應該把線像這樣延長，
04:49
and look for the pattern模式 there.
101
277027
1770
然後在那裡找模式。
04:50
Let's make more lines線.
102
278821
1295
再多畫幾條線。
04:52
We do this.
103
280140
1230
我們這樣做。
04:53
And then let's zoom放大 out
and change更改 our perspective透視 again.
104
281394
3768
然後我們拉遠再改變一下視角。
04:57
Then we can actually其實 see that
what started開始 out as just straight直行 lines線
105
285801
3511
我們就會看到原來只是幾條直線，
05:01
is actually其實 a curve曲線 called叫 a parabola拋物線.
106
289336
2089
變成稱為拋物線的弧線。
05:03
This is represented代表 by a simple簡單 equation方程,
107
291855
3217
這可以用一條簡單的方程式來代表，
05:07
and it's a beautiful美麗 pattern模式.
108
295096
1818
而且這是很漂亮的模式。
05:09
So this is the stuff東東 that we do.
109
297521
1775
所以這就是我們做的事。
05:11
We find patterns模式, and we represent代表 them.
110
299320
2610
我們找模式，表達出來。
05:13
And I think this is a nice不錯
day-to-day日復一日 definition定義.
111
301954
2624
我認為這是很好的簡單版定義。
05:16
But today今天 I want to go
a little bit位 deeper更深,
112
304602
2331
但是今天我想深入一點點，
05:18
and think about
what the nature性質 of this is.
113
306957
3944
並思考一下這個的本質。
05:22
What makes品牌 it possible可能?
114
310925
1428
是什麼讓它成為可能？
05:24
There's one thing
that's a little bit位 deeper更深,
115
312377
2154
我有個稍微深入一點的東西，
05:26
and that has to do with the ability能力
to change更改 your perspective透視.
116
314555
3503
還跟你能不能改變觀點有關。
05:30
And I claim要求 that when
you change更改 your perspective透視,
117
318082
2523
我主張當你改變觀點，
05:32
and if you take another另一個 point點 of view視圖,
118
320629
2806
如果你能用另一個視角來看，
05:35
you learn學習 something new新
about what you are watching觀看
119
323459
3910
你會從你正在看、正在觀察、
05:39
or looking at or hearing聽力.
120
327393
1451
正在聽的東西裡學到新東西。
05:41
And I think this is a really important重要
thing that we do all the time.
121
329472
3790
我認為這很重要，
我們應該時時這麼做。
05:45
So let's just look at
this simple簡單 equation方程,
122
333834
3980
來看一下這個簡單的等式，
05:49
x + x = 2 • x.
123
337838
2549
x + x = 2 ⋅ x
05:52
This is a very nice不錯 pattern模式,
and it's true真正,
124
340411
2072
這是很棒的模式，而且是準確的，
05:54
because 5 + 5 = 2 • 5, etc等等.
125
342507
2829
因為 5 + 5 = 2 ⋅ 5，依此類推。
05:57
We've我們已經 seen看到 this over and over,
and we represent代表 it like this.
126
345360
3101
我們不斷看到這個，
所以我們像這樣來表達。
06:00
But think about it: this is an equation方程.
127
348485
2184
但是想一下：這是條等式。
06:03
It says說 that something
is equal等於 to something else其他,
128
351025
2562
它說某樣東西等於另一種東西，
06:05
and that's two different不同 perspectives觀點.
129
353611
2287
這是兩種不同的觀點。
06:07
One perspective透視 is, it's a sum和.
130
355922
1899
一方面來說這是總和，
06:09
It's something you plus加 together一起.
131
357845
1846
是你把東西加起來。
06:11
On the other hand手, it's a multiplication乘法,
132
359715
2372
另一方面，這又是乘法，
06:14
and those are two different不同 perspectives觀點.
133
362111
2443
這是兩個不同的觀點。
06:17
And I would go as far遠 as to say
that every一切 equation方程 is like this,
134
365140
3748
我甚至要大膽的說
每一條像這樣的等式，
06:20
every一切 mathematical數學的 equation方程
where you use that equality平等 sign標誌
135
368912
4116
每一條你用了等號的數學式
06:25
is actually其實 a metaphor隱喻.
136
373052
1419
都是一種隱喻。
06:26
It's an analogy比喻 between之間 two things.
137
374919
2006
這是兩種事物之間的類比。
06:28
You're just viewing觀看 something
and taking服用 two different不同 points點 of view視圖,
138
376949
3495
你用兩種不同的視角看著某樣東西，
06:32
and you're expressing表達 that in a language語言.
139
380468
2393
而且你用一種語言表示出來。
06:34
Have a look at this equation方程.
140
382885
1564
看一下這個方程式。
06:36
This is one of the most最
beautiful美麗 equations方程.
141
384473
2255
這是一條非常漂亮的方程式。
06:38
It simply只是 says說 that, well,
142
386752
2368
它就是說，嗯，
06:41
two things, they're both都 -1.
143
389902
1893
兩種東西都是 -1。
06:44
This thing on the left-hand左手 side側 is -1,
and the other one is.
144
392279
3046
左邊這個東西是 -1，右邊也是。
06:47
And that, I think, is one
of the essential必要 parts部分
145
395693
2326
我認為那就是
數學的本質之一：
你用不同的視角觀察。
06:50
of mathematics數學 -- you take
different不同 points點 of view視圖.
146
398043
2463
06:52
So let's just play玩 around.
147
400530
1335
我們就來玩一下。
06:53
Let's take a number數.
148
401889
1267
隨便拿一個數字。
06:55
We know four-thirds三分之四.
We know what four-thirds三分之四 is.
149
403180
2878
我們知道 4/3。
我們都知道 4/3 是什麼。
06:58
It's 1.333, but we have to have
those three三 dots點,
150
406082
3002
它是 1.333，後面還要加上這三個點，
07:01
otherwise除此以外 it's not exactly究竟 four-thirds三分之四.
151
409489
2373
要不然就不是精確的 4/3。
07:03
But this is only in base基礎 10.
152
411886
1896
但這只是以 10 為基數的說法。
07:05
You know, the number數 system系統,
we use 10 digits數字.
153
413806
2263
你知道，數字系統，我們用十進位。
07:08
If we change更改 that around
and only use two digits數字,
154
416093
2318
如果我們變一下只用 2 為基數，
07:10
that's called叫 the binary二進制 system系統.
155
418435
1810
就是所謂的二進位系統，
07:12
It's written書面 like this.
156
420269
1703
寫起來就像這樣。
07:13
So we're now talking說 about the number數.
157
421996
1962
所以我們現在來談談這個數字。
07:15
The number數 is four-thirds三分之四.
158
423982
1546
數字為 4/3。
07:17
We can write寫 it like this,
159
425964
1343
我們可以像這樣寫，
07:19
and we can change更改 the base基礎,
change更改 the number數 of digits數字,
160
427331
3005
我們只要改變基數，
07:22
and we can write寫 it differently不同.
161
430360
1788
就會寫成不同的樣子。
07:24
So these are all representations交涉
of the same相同 number數.
162
432172
4167
這些是同一個數字的不同表示法。
07:28
We can even write寫 it simply只是,
like 1.3 or 1.6.
163
436363
3548
我們甚至可以簡化它
成為 1.3 或 1.6。
07:31
It all depends依靠 on
how many許多 digits數字 you have.
164
439935
2200
就看你有幾位數。
07:34
Or perhaps也許 we just simplify簡化
and write寫 it like this.
165
442521
3382
或者我們只要簡寫成這樣。
07:37
I like this one, because this says說
four四 divided分為 by three三.
166
445927
3215
我喜歡這個，
因為這是說把 4 除以 3。
07:41
And this number數 expresses表達
a relation關係 between之間 two numbers數字.
167
449166
3037
這個數字表示出
這兩個數字間的關係。
07:44
You have four四 on the one hand手
and three三 on the other.
168
452227
2964
你有 4 在一邊，3 在另一邊。
07:47
And you can visualize想像 this in many許多 ways方法.
169
455215
2078
你還可以用很多方法把它視覺化。
07:49
What I'm doing now is viewing觀看 that number數
from different不同 perspectives觀點.
170
457317
4047
我現在就是用不同的
視角看這個數字。
07:53
I'm playing播放 around.
171
461388
1151
我在嘗試。
07:54
I'm playing播放 around with
how we view視圖 something,
172
462563
2544
我在試我們怎麼看某件事物，
07:57
and I'm doing it very deliberately故意.
173
465131
1712
而且我還很刻意去做。
07:58
We can take a grid格.
174
466867
1183
我們可以拿格子。
08:00
If it's four四 across橫過 and three三 up,
this line線 equals等於 five五, always.
175
468074
4678
如果有 4 個橫的 3 個直的，
這條線永遠都等於 5。
08:04
It has to be like this.
This is a beautiful美麗 pattern模式.
176
472776
2688
必然如此。
這是一個很漂亮的模式。
08:07
Four四 and three三 and five五.
177
475488
1254
4 與 3 與 5。
08:09
And this rectangle長方形, which哪一個 is 4 x 3,
178
477177
2711
這個長方形，就是 4 × 3，
08:11
you've seen看到 a lot of times時.
179
479912
1591
你看過很多次。
08:13
This is your average平均 computer電腦 screen屏幕.
180
481527
1813
這是一般的電腦螢幕。
08:15
800 x 600 or 1,600 x 1,200
181
483364
3379
800 × 600 或 1,600 × 1,200
08:18
is a television電視 or a computer電腦 screen屏幕.
182
486767
2488
是電視或電腦螢幕。
08:21
So these are all nice不錯 representations交涉,
183
489864
2032
所以這些都是很好的表示法，
08:23
but I want to go a little bit位 further進一步
and just play玩 more with this number數.
184
491920
3922
但我還想進一步
再多玩一下這個數字。
08:27
Here you see two circles界.
I'm going to rotate迴轉 them like this.
185
495866
3248
你在這裡看到兩個圓。
我把它們像這樣轉一下。
08:31
Observe守 the upper-left左上 one.
186
499138
1788
觀察一下左上那個。
08:32
It goes去 a little bit位 faster更快, right?
187
500950
1773
它轉的比較快，對嗎？
08:35
You can see this.
188
503137
1158
你可以觀察到。
08:36
It actually其實 goes去 exactly究竟
four-thirds三分之四 as fast快速.
189
504319
3374
它就是快 4/3。
08:39
That means手段 that when it goes去
around four四 times時,
190
507717
2400
那代表它每轉四次，
08:42
the other one goes去 around three三 times時.
191
510141
1879
另外一個就轉三次。
08:44
Now let's make two lines線, and draw畫
this dot點 where the lines線 meet遇到.
192
512044
3501
現在畫兩條線，在交會處畫一個點。
08:47
We get this dot點 dancing跳舞 around.
193
515569
1702
我們就得到轉圈圈的點。
08:49
(Laughter笑聲)
194
517295
1037
（笑聲）
08:50
And this dot點 comes來 from that number數.
195
518356
1769
這個點從那個數字來。
08:52
Right? Now we should trace跟踪 it.
196
520926
1867
對嗎？我們應該畫它的軌跡。
08:55
Let's trace跟踪 it and see what happens發生.
197
523239
2178
我們來畫一下軌跡看看會得到什麼。
08:57
This is what mathematics數學 is all about.
198
525441
1928
這就是數學。
08:59
It's about seeing眼看 what happens發生.
199
527393
1635
想看看會得到什麼。
09:01
And this emerges出現 from four-thirds三分之四.
200
529052
2944
這得自 4/3。
09:04
I like to say that this
is the image圖片 of four-thirds三分之四.
201
532020
3360
我想說這是 4/3 的圖像。
09:07
It's much nicer更好 -- (Cheers乾杯)
202
535404
1296
這個棒多了。（歡呼聲）
09:08
Thank you!
203
536724
1158
謝謝！
09:09
(Applause掌聲)
204
537906
3784
（掌聲）
09:16
This is not new新.
205
544556
1151
這不是新發現。
09:17
This has been known已知
for a long time, but --
206
545731
2034
這是早就知道的東西，但是
09:19
(Laughter笑聲)
207
547789
1609
（笑聲）
09:21
But this is four-thirds三分之四.
208
549422
1684
但是這是 4/3。
09:23
Let's do another另一個 experiment實驗.
209
551130
1559
再來做另外一個實驗。
09:24
Let's now take a sound聲音, this sound聲音: (Beep嘟)
210
552713
4109
來弄點聲音，這個聲音：（嗶）
09:28
This is a perfect完善 A, 440Hz赫茲.
211
556846
2989
這是標準音高 A440。
09:31
Let's multiply乘 it by two.
212
559859
1686
把頻率乘以 2。
09:33
We get this sound聲音. (Beep嘟)
213
561569
1359
我們就得到這個音（嗶）。
09:34
When we play玩 them together一起,
it sounds聲音 like this.
214
562952
2255
兩個音一起彈，聽起來像這樣。
09:37
This is an octave八度, right?
215
565231
1213
這是個八度音，對吧？
09:38
We can do this game遊戲. We can play玩
a sound聲音, play玩 the same相同 A.
216
566468
2765
我們可以玩個遊戲。
我們可以彈一個音，同樣的 A。
09:41
We can multiply乘 it by three-halves三半.
217
569257
1701
然後乘上 3/2。
09:42
(Beep嘟)
218
570982
1618
（嗶）
09:44
This is what we call a perfect完善 fifth第五.
219
572624
1944
這是我們說的完全五度。
09:46
(Beep嘟)
220
574592
1046
（嗶）
09:47
They sound聲音 really nice不錯 together一起.
221
575662
2106
這幾個音加起來真的很好聽。
09:49
Let's multiply乘 this sound聲音
by four-thirds三分之四. (Beep嘟)
222
577792
4123
把這個乘上 4/3。（嗶）
09:53
What happens發生?
223
581939
1926
會得到什麼？
09:55
You get this sound聲音. (Beep嘟)
224
583889
1431
這個音。（嗶）
09:57
This is the perfect完善 fourth第四.
225
585344
1286
這是完全四度。
09:58
If the first one is an A, this is a D.
226
586654
2245
如果第一個音是 A，這就是 D。
10:00
They sound聲音 like this together一起. (Beeps蜂鳴聲)
227
588923
2030
合奏聽起來像這樣。（嗶嗶）
10:02
This is the sound聲音 of four-thirds三分之四.
228
590977
2410
這就是 4/3 的聲音。
10:05
What I'm doing now,
I'm changing改變 my perspective透視.
229
593411
2554
我現在做的就是改變我的觀點。
10:07
I'm just viewing觀看 a number數
from another另一個 perspective透視.
230
595989
2780
我只是用另一個觀點來看一個數字。
10:10
I can even do this with rhythms節奏, right?
231
598793
1965
我甚至可以用節拍來做，對吧？
10:12
I can take a rhythm韻律 and play玩
three三 beats節拍 at one time (Drumbeats鼓點)
232
600782
3672
我可以加上節拍，
一段時間內打三拍。
10:16
in a period期 of time,
233
604478
1551
（鼓聲）
10:18
and I can play玩 another另一個 sound聲音
four四 times時 in that same相同 space空間.
234
606053
4342
我也可以用另一種聲音
在同樣一段時間內敲四次。
10:22
(Clanking叮噹聲 sounds聲音)
235
610419
1042
（金屬敲擊聲）
10:23
Sounds聲音 kind類 of boring無聊,
but listen to them together一起.
236
611485
2381
聽起來有點無聊，
但是把它們加起來聽。
10:25
(Drumbeats鼓點 and clanking叮噹 sounds聲音)
237
613890
2786
（鼓和金屬聲）
10:28
(Laughter笑聲)
238
616700
1290
（笑聲）
10:30
Hey! So.
239
618014
1421
嘿！好聽吧？
10:31
(Laughter笑聲)
240
619459
1888
（笑聲）
10:33
I can even make a little hi-hat踩镲.
241
621371
2159
我甚至可以加點腳踏鈸。
10:35
(Drumbeats鼓點 and cymbals鈸)
242
623554
1841
（鼓及鈸聲）
10:37
Can you hear聽 this?
243
625419
1151
聽到了嗎？
10:38
So, this is the sound聲音 of four-thirds三分之四.
244
626594
2113
所以，這就是 4/3 的聲音。
10:40
Again, this is as a rhythm韻律.
245
628731
1850
同樣的，這也以節拍表達。
10:42
(Drumbeats鼓點 and cowbell牛鈴)
246
630605
1810
（鼓聲及牛鈴）
10:44
And I can keep doing this
and play玩 games遊戲 with this number數.
247
632439
2848
我可以一直做下去，
繼續玩這個數字，
10:47
Four-thirds四三分之二 is a really great number數.
I love four-thirds三分之四!
248
635311
2745
4/3 真的是很棒的數字，
我愛 4/3！
10:50
(Laughter笑聲)
249
638080
1276
（笑聲）
10:51
Truly真 -- it's an undervalued低估 number數.
250
639380
2487
真的，這是個被看扁的數字。
10:53
So if you take a sphere領域 and look
at the volume卷 of the sphere領域,
251
641891
2859
所以如果你拿一個球看它的體積，
10:56
it's actually其實 four-thirds三分之四
of some particular特定 cylinder圓筒.
252
644774
2933
它就是某圓柱的 4/3。
10:59
So four-thirds三分之四 is in the sphere領域.
It's the volume卷 of the sphere領域.
253
647731
3534
所以球裡也有 4/3，
就是這個球的體積。
11:03
OK, so why am I doing all this?
254
651824
2042
好，我為什麼要說這些？
11:05
Well, I want to talk about what it means手段
to understand理解 something
255
653890
3230
嗯，我想談一下
理解事物是什麼意思。
11:09
and what we mean
by understanding理解 something.
256
657144
2564
以及我們說理解又是什麼意思。
11:11
That's my aim目標 here.
257
659732
1423
那是我今天的目的。
11:13
And my claim要求 is that
you understand理解 something
258
661179
2130
我的主張是你要理解某項事物，
11:15
if you have the ability能力 to view視圖 it
from different不同 perspectives觀點.
259
663333
2992
就要有能力從不同的角度來看它。
11:18
Let's look at this letter信.
It's a beautiful美麗 R, right?
260
666349
2541
來看這個字母，
很漂亮的 R，對吧？
11:20
How do you know that?
261
668914
1178
你怎麼知道？
11:22
Well, as a matter物 of fact事實,
you've seen看到 a bunch束 of R's的r,
262
670557
3188
嗯，其實，你已經看過一堆的 R，
11:25
and you've generalized一般性
263
673769
1645
你歸納
11:27
and abstracted抽象 all of these
and found發現 a pattern模式.
264
675438
2970
並抽象化這些 R，並找出模式。
11:30
So you know that this is an R.
265
678432
3362
所以你知道這是 R。
11:35
So what I'm aiming瞄準 for here
is saying話 something
266
683643
2807
所以我今天的目的是要告訴大家
11:38
about how understanding理解
and changing改變 your perspective透視
267
686474
3381
理解及改變你的觀點
11:41
are linked關聯.
268
689879
1332
如何連在一起。
11:43
And I'm a teacher老師 and a lecturer講師,
269
691235
2169
我是老師及講師，
11:45
and I can actually其實 use this
to teach教 something,
270
693428
2312
我其實可以用這個來教某樣東西，
11:47
because when I give someone有人 else其他
another另一個 story故事, a metaphor隱喻, an analogy比喻,
271
695764
4840
因為每當我說一個故事、
一段隱喻、一段類比，
11:52
if I tell a story故事
from a different不同 point點 of view視圖,
272
700628
2399
如果我用不同的角度來說一個故事，
11:55
I enable啟用 understanding理解.
273
703051
1513
我就在讓你理解。
11:56
I make understanding理解 possible可能,
274
704588
1866
我讓理解成為可能，
11:58
because you have to generalize概括
over everything you see and hear聽,
275
706478
3066
因為你必須歸納每一樣
你見到及聽到的事物，
12:01
and if I give you another另一個 perspective透視,
that will become成為 easier更輕鬆 for you.
276
709568
4599
如果我給你另外的觀點，
你就更容易歸納。
12:06
Let's do a simple簡單 example例 again.
277
714191
1906
再來一個簡單的例子。
12:08
This is four四 and three三.
This is four四 triangles三角形.
278
716121
2641
這是 4 和 3 。
這是四個三角形。
12:10
So this is also也 four-thirds三分之四, in a way.
279
718786
2448
所以在某種意義上這也是 4/3。
12:13
Let's just join加入 them together一起.
280
721258
1722
把它們連在一起。
12:15
Now we're going to play玩 a game遊戲;
we're going to fold折 it up
281
723004
2709
現在我們來玩一個遊戲；
我們要把它折成
12:17
into a three-dimensional三維 structure結構體.
282
725737
1682
一個三度空間的結構。
12:19
I love this.
283
727443
1164
我很愛這個。
12:20
This is a square廣場 pyramid金字塔.
284
728631
1416
這是一個正方錐。
12:22
And let's just take two of them
and put them together一起.
285
730529
3150
就拿兩個出來放在一起。
12:25
So this is what is called叫 an octahedron八面體.
286
733703
2689
這個就叫做八面體。
12:28
It's one of the five五 platonic柏拉圖式的 solids固體.
287
736416
2707
這是五種柏拉圖立體之一。
12:31
Now we can quite相當 literally按照字面
change更改 our perspective透視,
288
739147
2445
現在我們真的可以改變視角，
12:33
because we can rotate迴轉 it
around all of the axes軸
289
741616
2695
因為我們可以讓它繞著各軸旋轉，
12:36
and view視圖 it from different不同 perspectives觀點.
290
744335
2012
從各種不同的角度來看。
12:38
And I can change更改 the axis軸,
291
746371
2066
我可以改變軸，
12:40
and then I can view視圖 it
from another另一個 point點 of view視圖,
292
748461
2338
然後從另一個視點來看它，
12:42
but it's the same相同 thing,
but it looks容貌 a little different不同.
293
750823
2703
這是同一個東西，
只是看起來有點不一樣。
12:45
I can do it even one more time.
294
753550
1668
我可以再做一次。
12:47
Every一切 time I do this,
something else其他 appears出現,
295
755242
3302
每次做都有不同的東西出現，
12:50
so I'm actually其實 learning學習
more about the object目的
296
758568
2179
所以我真的從這個物體中
學到更多東西，
12:52
when I change更改 my perspective透視.
297
760771
1525
只要我改變角度。
12:54
I can use this as a tool工具
for creating創建 understanding理解.
298
762320
3394
我能用這個當工具引發理解。
12:58
I can take two of these
and put them together一起 like this
299
766548
3592
我能把這兩個像這樣放在一起
13:02
and see what happens發生.
300
770164
1247
然後看會發生什麼。
13:03
And it looks容貌 a little bit位
like the octahedron八面體.
301
771865
3411
這看起來有點像八面體。
13:07
Have a look at it if I spin紡
it around like this.
302
775300
2478
我把它像這樣轉一轉，看一下。
13:09
What happens發生?
303
777802
1182
什麼出現了？
13:11
Well, if you take two of these,
join加入 them together一起 and spin紡 it around,
304
779008
3344
嗯，如果你把兩個這樣的東西
放在一起，然後轉一轉，
13:14
there's your octahedron八面體 again,
305
782376
2401
你的八面體又出現了，
13:16
a beautiful美麗 structure結構體.
306
784801
1631
很漂亮的結構。
13:18
If you lay鋪設 it out flat平面 on the floor地板,
307
786456
2164
如果你把它平放在地板上，
13:20
this is the octahedron八面體.
308
788644
1217
這是八面體。
13:21
This is the graph圖形 structure結構體
of an octahedron八面體.
309
789885
2703
這是八面體的圖結構。
13:25
And I can continue繼續 doing this.
310
793255
2373
我可以繼續做下去。
13:27
You can draw畫 three三 great circles界
around the octahedron八面體,
311
795652
3527
你可以在這個八面體旁畫三個大圓，
13:31
and you rotate迴轉 around,
312
799203
1850
然後轉一轉，
13:33
so actually其實 three三 great circles界
is related有關 to the octahedron八面體.
313
801077
4461
這三個大圓其實跟這個八面體相關。
13:37
And if I take a bicycle自行車 pump泵
and just pump泵 it up,
314
805562
3659
如果我拿一個打氣筒來打氣，
13:41
you can see that this is also也
a little bit位 like the octahedron八面體.
315
809245
3153
你會看到這也有點像八面體。
13:44
Do you see what I'm doing here?
316
812801
2296
你看懂我在做什麼了嗎？
13:47
I am changing改變 the perspective透視 every一切 time.
317
815121
2681
我一直在改變觀點。
13:50
So let's now take a step步 back --
318
818801
2650
我們現在退一步，
13:53
and that's actually其實
a metaphor隱喻, stepping步進 back --
319
821475
3037
這其實也是一種隱喻，退一步，
13:56
and have a look at what we're doing.
320
824536
2363
來看看我們在做什麼。
13:58
I'm playing播放 around with metaphors隱喻.
321
826923
1664
我正在嘗試隱喻。
14:00
I'm playing播放 around
with perspectives觀點 and analogies類比.
322
828611
2472
我在嘗試各種觀點及類比。
14:03
I'm telling告訴 one story故事 in different不同 ways方法.
323
831107
2032
我用不同的方法說同一個故事。
14:05
I'm telling告訴 stories故事.
324
833472
1210
我說很多故事。
14:06
I'm making製造 a narrative敘述;
I'm making製造 several一些 narratives敘事.
325
834706
3184
我做一種敘述；我做很多種敘述。
14:09
And I think all of these things
make understanding理解 possible可能.
326
837914
3522
我認為這些都在幫助我們理解。
14:13
I think this actually其實 is the essence本質
of understanding理解 something.
327
841460
3379
我認為這其實就是理解事物的精髓。
14:16
I truly真 believe this.
328
844863
1294
我真的相信這點。
14:18
So this thing about changing改變
your perspective透視 --
329
846181
2427
所以改變你的觀點這件事
14:20
it's absolutely絕對 fundamental基本的 for humans人類.
330
848608
2733
對人類是非常重要的。
14:23
Let's play玩 around with the Earth地球.
331
851829
1621
就來玩一下地球。
14:25
Let's zoom放大 into the ocean海洋,
have a look at the ocean海洋.
332
853474
2509
我們來放大海洋，看一下海洋。
14:28
We can do this with anything.
333
856007
1942
什麼東西都可以拿來這樣玩。
14:29
We can take the ocean海洋
and view視圖 it up close關.
334
857973
2460
我們可以近看海洋。
14:32
We can look at the waves波浪.
335
860457
1934
我們可以看海浪。
14:34
We can go to the beach海灘.
336
862415
1212
我們可以去海灘。
14:35
We can view視圖 the ocean海洋
from another另一個 perspective透視.
337
863651
2263
我們能從不同的觀點看海洋。
14:37
Every一切 time we do this, we learn學習
a little bit位 more about the ocean海洋.
338
865938
3190
我們每次這麼做，
就對海洋多一點認識。
14:41
If we go to the shore支撐,
we can kind類 of smell聞 it, right?
339
869152
2589
如果我們到海邊，
好像就可以聞到海，對吧？
14:43
We can hear聽 the sound聲音 of the waves波浪.
340
871765
1710
我們能聽海浪的聲音。
14:45
We can feel salt鹽 on our tongues舌頭.
341
873499
2046
我們能用舌頭嘗到鹹味。
14:47
So all of these
are different不同 perspectives觀點.
342
875569
2890
所以這些都是不同的觀點。
14:50
And this is the best最好 one.
343
878483
1264
這個最棒。
14:51
We can go into the water水.
344
879771
1643
我們可以進到水中。
14:53
We can see the water水 from the inside內.
345
881438
2009
我們可以從裡面看水。
14:55
And you know what?
346
883471
1178
你知道嗎？
14:56
This is absolutely絕對 essential必要
in mathematics數學 and computer電腦 science科學.
347
884673
3081
這在數學及電腦科學中不可或缺。
14:59
If you're able能夠 to view視圖
a structure結構體 from the inside內,
348
887778
2955
如果你能從裡面看結構，
15:02
then you really learn學習 something about it.
349
890757
2570
那你真的能從中學到東西。
15:05
That's somehow不知何故 the essence本質 of something.
350
893351
2021
那可以說是事物的精髓。
15:07
So when we do this,
and we've我們已經 taken採取 this journey旅程
351
895883
3643
就在剛剛那段旅程之中，
15:11
into the ocean海洋,
352
899550
1173
我們進入了海洋，
15:12
we use our imagination想像力.
353
900747
1890
──以我們的想像力。
15:14
And I think this is one level水平 deeper更深,
354
902661
2653
我想這更深一層了，
15:17
and it's actually其實 a requirement需求
for changing改變 your perspective透視.
355
905338
3734
這實際上是改變觀點的必要條件。
15:21
We can do a little game遊戲.
356
909818
1167
我們可以玩一個小遊戲。
15:23
You can imagine想像 that you're sitting坐在 there.
357
911009
2041
你想像一下你坐在那裡。
15:25
You can imagine想像 that you're up here,
and that you're sitting坐在 here.
358
913074
3227
你想像一下你在台上這裡，
你坐在這裡。
15:28
You can view視圖 yourselves你自己 from the outside外.
359
916325
2326
你可以從外面看自己。
15:30
That's really a strange奇怪 thing.
360
918675
1938
那真的很怪。
15:32
You're changing改變 your perspective透視.
361
920637
1823
你正在改變你的觀點。
15:34
You're using運用 your imagination想像力,
362
922484
1859
你運用你的想像力，
15:36
and you're viewing觀看 yourself你自己
from the outside外.
363
924367
2206
你從外面看自己。
15:39
That requires要求 imagination想像力.
364
927073
2029
那需要想像力。
15:41
Mathematics數學 and computer電腦 science科學
are the most最 imaginative想像的 art藝術 forms形式 ever.
365
929126
4933
數學及電腦科學是最富
想像力的藝術形式。
15:46
And this thing about changing改變 perspectives觀點
366
934884
2182
改變觀點這件事
15:49
should sound聲音 a little bit位 familiar熟 to you,
367
937090
2508
聽起來應該有點熟悉，
15:51
because we do it every一切 day.
368
939622
2212
因為我們每天都在做。
15:54
And then it's called叫 empathy同情.
369
942604
1620
那就叫做同理心。
15:56
When I view視圖 the world世界
from your perspective透視,
370
944954
2699
當我從你的觀點看世界，
16:00
I have empathy同情 with you.
371
948939
1666
我就是站在你的立場設身處地。
16:02
If I really, truly真 understand理解
372
950629
1848
如果我真的能理解
16:04
what the world世界 looks容貌
like from your perspective透視,
373
952501
3078
從你的觀點所看到的世界，
16:07
I am empathetic感情移入的.
374
955603
1471
我就是將心比心。
16:09
That requires要求 imagination想像力.
375
957098
2180
那需要想像力。
16:11
And that is how we obtain獲得 understanding理解.
376
959827
2459
那就是我們獲得理解的方法。
16:15
And this is all over mathematics數學
and this is all over computer電腦 science科學,
377
963206
3753
這在數學界很普遍，
在電腦科學界也很普遍，
16:18
and there's a really deep深 connection連接
between之間 empathy同情 and these sciences科學.
378
966983
5535
這兩種科學與同理心
也有很深的淵源。
16:25
So my conclusion結論 is the following以下:
379
973288
2804
所以我的結論就是：
16:29
understanding理解 something really deeply深
380
977931
2222
要非常深入的理解事物，
16:32
has to do with the ability能力
to change更改 your perspective透視.
381
980177
2661
跟你是否能改變觀點大有關係。
16:35
So my advice忠告 to you is:
try to change更改 your perspective透視.
382
983894
3589
所以我給大家的建議是：
試著改變你的觀點。
16:39
You can study研究 mathematics數學.
383
987507
1549
你能研究數學。
16:41
It's a wonderful精彩 way to train培養 your brain腦.
384
989080
2433
這是非常棒的方法來訓練大腦。
16:44
Changing更改 your perspective透視
makes品牌 your mind心神 more flexible靈活.
385
992663
3808
改變你的觀點讓你的心智更靈活。
16:48
It makes品牌 you open打開 to new新 things,
386
996495
1834
它能讓你接受新東西，
16:50
and it makes品牌 you
able能夠 to understand理解 things.
387
998353
2825
讓你能理解事物。
16:53
And to use yet然而 another另一個 metaphor隱喻:
388
1001202
2017
再用一個隱喻來形容：
16:55
have a mind心神 like water水.
389
1003243
1481
讓你的心像水一樣。
16:56
That's nice不錯.
390
1004748
1151
真好。
16:57
Thank you.
391
1005923
1157
謝謝。
16:59
(Applause掌聲)
392
1007104
4171
（掌聲）
Translated by Regina Chu
Reviewed by Kuan-Yi Li

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ABOUT THE SPEAKER
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.

Why you should listen

Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.

Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.

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