TEDxOslo
Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world
ロジャー・アントンセン: 世界を理解する奥義としての数学
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ロジャー・アントンセンと一緒に、最も想像力を使う芸術様式である数学を通して、世界の仕組みや謎を解き明かしましょう。見方をちょっと変えることで、パターンや数や式が姿を現し、それが共感や理解に繋がるのだと彼は言います。
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientist
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations. Full bio
Roger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations. Full bio
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00:13
Hi.
0
1174
1159
私がお話ししたいのは
理解について —
理解について —
00:14
I want to talk about understanding,
and the nature of understanding,
and the nature of understanding,
1
2357
3819
理解というものの性質
00:18
and what the essence of understanding is,
2
6200
3393
理解の本質は何か
ということです
ということです
00:21
because understanding is something
we aim for, everyone.
we aim for, everyone.
3
9617
3037
というのも 理解は誰もが
求めるものだからです
求めるものだからです
私たちは物事を
理解したいと思います
理解したいと思います
00:24
We want to understand things.
4
12678
2411
私の考えでは
00:27
My claim is that understanding has to do
5
15763
2348
理解というのは ものの見方を
変える能力に関係しています
変える能力に関係しています
00:30
with the ability to change
your perspective.
your perspective.
6
18135
2578
00:32
If you don't have that,
you don't have understanding.
you don't have understanding.
7
20737
2892
それなくしては
理解することもありません
理解することもありません
00:36
So that is my claim.
8
24106
1542
それが私の主張です
00:37
And I want to focus on mathematics.
9
25672
1899
ここでは数学に
話を絞りましょう
話を絞りましょう
多くの人の考える数学とは
加算 減算
加算 減算
00:40
Many of us think of mathematics
as addition, subtraction,
as addition, subtraction,
10
28050
3496
00:43
multiplication, division,
11
31570
1948
乗算 除算
分数 パーセント 幾何 代数･･･
そういったものです
そういったものです
00:45
fractions, percent, geometry,
algebra -- all that stuff.
algebra -- all that stuff.
12
33542
3810
しかし私は数学のもっと本質的な部分にも
触れたいと思います
触れたいと思います
00:50
But actually, I want to talk
about the essence of mathematics as well.
about the essence of mathematics as well.
13
38034
3674
00:53
And my claim is that mathematics
has to do with patterns.
has to do with patterns.
14
41732
3287
私に言わせると 数学とは
パターンに関するものです
パターンに関するものです
後ろのスクリーンに
きれいなパターンが映っています
きれいなパターンが映っています
00:57
Behind me, you see a beautiful pattern,
15
45043
2491
00:59
and this pattern actually emerges
just from drawing circles
just from drawing circles
16
47558
3931
このパターンは
円をある特定の仕方で
描くことで現れます
描くことで現れます
01:03
in a very particular way.
17
51513
1630
01:05
So my day-to-day definition
of mathematics that I use every day
of mathematics that I use every day
18
53778
4589
私が日常的に使っている
数学の定義が
数学の定義が
どんなものかというと
01:10
is the following:
19
58391
1205
それは第一に パターンを発見することに
関わるものです
関わるものです
01:12
First of all, it's about finding patterns.
20
60030
2828
01:16
And by "pattern," I mean a connection,
a structure, some regularity,
a structure, some regularity,
21
64001
5495
ここで「パターン」が意味するのは
関連 構造 規則性
関連 構造 規則性
我々が目にするものを支配している
ルールといったものです
ルールといったものです
01:21
some rules that govern what we see.
22
69520
1993
第２に 数学とは
01:24
Second of all,
23
72170
1155
01:25
I think it is about representing
these patterns with a language.
these patterns with a language.
24
73349
3640
そのようなパターンを
言語で表現する行為です
言語で表現する行為です
01:29
We make up language if we don't have it,
25
77361
2444
適当な言語がなければ
作り出します
作り出します
01:31
and in mathematics, this is essential.
26
79829
2369
これは数学にとって
本質的なことです
本質的なことです
数学ではまた仮定を設け
01:35
It's also about making assumptions
27
83013
1800
01:36
and playing around with these assumptions
and just seeing what happens.
and just seeing what happens.
28
84837
3613
それをいろいろ変えて
何が起きるか調べます
何が起きるか調べます
01:40
We're going to do that very soon.
29
88474
2082
あとで実際に
やってご覧に入れます
やってご覧に入れます
最後に 数学とは
イカしたことをやるものです
イカしたことをやるものです
01:42
And finally, it's about doing cool stuff.
30
90986
2855
01:46
Mathematics enables us
to do so many things.
to do so many things.
31
94460
3315
数学は私たちに
様々なことをできるようにしてくれます
様々なことをできるようにしてくれます
01:50
So let's have a look at these patterns.
32
98632
2216
こちらのパターンを
見てみましょう
見てみましょう
01:52
If you want to tie a tie knot,
33
100872
2222
ネクタイを結ぶというとき
そこにはパターンがあります
01:55
there are patterns.
34
103118
1310
ネクタイの結び方には
名前が付いています
名前が付いています
01:56
Tie knots have names.
35
104452
1471
そしてネクタイの結び方は
数学で扱うことができます
数学で扱うことができます
01:58
And you can also do
the mathematics of tie knots.
the mathematics of tie knots.
36
106453
2347
02:00
This is a left-out, right-in,
center-out and tie.
center-out and tie.
37
108824
2578
左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です
真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT)
02:04
This is a left-in, right-out,
left-in, center-out and tie.
left-in, center-out and tie.
38
112073
3543
これはネクタイの結び方の
パターンを表すために作られた言語なんです
パターンを表すために作られた言語なんです
02:08
This is a language we made up
for the patterns of tie knots,
for the patterns of tie knots,
39
116005
4110
右のは「ハーフウィンザー」としても
知られています
知られています
02:12
and a half-Windsor is all that.
40
120522
1690
これは靴紐の
結び方に関する
結び方に関する
02:15
This is a mathematics book
about tying shoelaces
about tying shoelaces
41
123529
2787
学部レベルの
数学の本です
数学の本です
02:18
at the university level,
42
126340
1390
靴紐の通し方にも
パターンがあり
パターンがあり
02:19
because there are patterns in shoelaces.
43
127754
1978
非常に多くの異なる
やり方があります
やり方があります
02:21
You can do it in so many different ways.
44
129756
2111
02:23
We can analyze it.
45
131891
1244
それを分析し
そのための言語を
作ることができます
作ることができます
02:25
We can make up languages for it.
46
133159
1766
02:28
And representations
are all over mathematics.
are all over mathematics.
47
136218
2939
「表現」というのは
数学の至る所に出てきます
数学の至る所に出てきます
02:31
This is Leibniz's notation from 1675.
48
139181
3676
これは1675年に書かれた
ライプニッツの記法です
ライプニッツの記法です
彼は自然界のパターンを
記述するための言語を作りました
記述するための言語を作りました
02:35
He invented a language
for patterns in nature.
for patterns in nature.
49
143335
3670
02:39
When we throw something up in the air,
50
147363
1868
何かを上に放り投げると
02:41
it falls down.
51
149255
1190
落ちてきます
なぜか？
02:42
Why?
52
150469
1151
よく分かりませんが
そのパターンは数学で表現できるんです
そのパターンは数学で表現できるんです
02:43
We're not sure, but we can represent
this with mathematics in a pattern.
this with mathematics in a pattern.
53
151644
4070
02:48
This is also a pattern.
54
156285
1603
これも一種のパターンです
02:49
This is also an invented language.
55
157912
2700
あることのために
作り出された言語です
作り出された言語です
02:52
Can you guess for what?
56
160636
1544
何か分かりますか？
実はタップダンスの
系統的な表記法なんです
系統的な表記法なんです
02:55
It is actually a notation system
for dancing, for tap dancing.
for dancing, for tap dancing.
57
163481
3376
02:59
That enables him as a choreographer
to do cool stuff, to do new things,
to do cool stuff, to do new things,
58
167532
5256
これによって彼は振付師として
新しいイカしたことができるようになります
新しいイカしたことができるようになります
03:04
because he has represented it.
59
172812
1953
表現法を手にしたからです
何かを表現するというのが どれほど
すごいことか 考えてほしいんです
すごいことか 考えてほしいんです
03:07
I want you to think about how amazing
representing something actually is.
representing something actually is.
60
175232
4802
03:12
Here it says the word "mathematics."
61
180620
2743
これは「数学」という語を
表しています
表しています
03:15
But actually, they're just dots, right?
62
183905
2400
単なる点々でしか
ありませんよね？
ありませんよね？
03:18
So how in the world can these dots
represent the word?
represent the word?
63
186329
2991
どうしてこんな点で
語を表せるのでしょう？
語を表せるのでしょう？
03:21
Well, they do.
64
189344
1340
でも実際できて
「数学」という語を
表しているんです
表しているんです
03:23
They represent the word "mathematics,"
65
191343
1898
03:25
and these symbols also represent that word
66
193265
2560
この記号もまた「数学」を
表していますが
表していますが
これは音として
聞くこともできます
聞くこともできます
03:27
and this we can listen to.
67
195849
1658
03:29
It sounds like this.
68
197531
1357
こんな音です
03:30
(Beeps)
69
198912
1984
(モールス音)
03:32
Somehow these sounds represent
the word and the concept.
the word and the concept.
70
200920
3290
この音は
言葉や概念を表現します
言葉や概念を表現します
03:36
How does this happen?
71
204234
1656
どうやってなのでしょう？
03:37
There's something amazing
going on about representing stuff.
going on about representing stuff.
72
205914
3488
ものを表現するとき
すごいことが起きているんです
すごいことが起きているんです
03:41
So I want to talk about
that magic that happens
that magic that happens
73
209966
5617
何かを表現するときに起きる
この魔法について
この魔法について
03:47
when we actually represent something.
74
215607
1971
お話ししたいと思います
03:49
Here you see just lines
with different widths.
with different widths.
75
217602
3016
ここには太さの違う
線があるだけですが
線があるだけですが
03:52
They stand for numbers
for a particular book.
for a particular book.
76
220642
2625
これはある特定の本を指す
数字を表しています
数字を表しています
03:55
And I can actually recommend
this book, it's a very nice book.
this book, it's a very nice book.
77
223291
2993
ちなみにその本はお薦めです
とても良い本ですよ
とても良い本ですよ
03:58
(Laughter)
78
226308
1022
(笑)
03:59
Just trust me.
79
227354
1281
本当に
04:01
OK, so let's just do an experiment,
80
229475
2323
ちょっと実験をしましょう
直線を使って
すこし遊んでみます
すこし遊んでみます
04:03
just to play around
with some straight lines.
with some straight lines.
81
231822
2168
１本の直線があります
04:06
This is a straight line.
82
234014
1167
04:07
Let's make another one.
83
235205
1154
もう１本線を引きます
04:08
So every time we move,
we move one down and one across,
we move one down and one across,
84
236383
2809
毎回一端を下に
他端を横にずらして
他端を横にずらして
04:11
and we draw a new straight line, right?
85
239216
2574
線を引いていきます
これを繰り返していって
04:13
We do this over and over and over,
86
241814
2025
04:16
and we look for patterns.
87
244351
1358
パターンを探します
04:17
So this pattern emerges,
88
245733
2122
するとこのような
なかなか綺麗な
パターンが現れます
パターンが現れます
04:20
and it's a rather nice pattern.
89
248220
2042
04:22
It looks like a curve, right?
90
250286
1735
曲線のように
見えるでしょう？
見えるでしょう？
04:24
Just from drawing simple, straight lines.
91
252045
2572
単に直線を
描いているだけなのに
描いているだけなのに
04:27
Now I can change my perspective
a little bit. I can rotate it.
a little bit. I can rotate it.
92
255271
3284
見方を少し変えてみましょう
回転させます
回転させます
この曲線を見てください
04:30
Have a look at the curve.
93
258944
1382
04:32
What does it look like?
94
260350
1379
何に見えますか？
04:33
Is it a part of a circle?
95
261753
1982
円の一部でしょうか？
04:35
It's actually not a part of a circle.
96
263759
1902
円の一部ではありません
04:37
So I have to continue my investigation
and look for the true pattern.
and look for the true pattern.
97
265685
4159
真のパターンを見出すために
検討を続けましょう
検討を続けましょう
04:41
Perhaps if I copy it and make some art?
98
269868
3211
コピーしたら何か
アートみたいになるでしょうか？
アートみたいになるでしょうか？
そうでもありません
04:45
Well, no.
99
273674
1156
線を伸ばして
04:46
Perhaps I should extend
the lines like this,
the lines like this,
100
274854
2149
04:49
and look for the pattern there.
101
277027
1770
パターンを探します
線をもっと
増やしてみましょうか
増やしてみましょうか
04:50
Let's make more lines.
102
278821
1295
04:52
We do this.
103
280140
1230
こんな風に
04:53
And then let's zoom out
and change our perspective again.
and change our perspective again.
104
281394
3768
ズームアウトして
また見方を変えてみます
また見方を変えてみます
04:57
Then we can actually see that
what started out as just straight lines
what started out as just straight lines
105
285801
3511
はじめは ただの
直線の集まりだったものが
直線の集まりだったものが
放物線と呼ばれる曲線に
なっているのが分かります
なっているのが分かります
05:01
is actually a curve called a parabola.
106
289336
2089
05:03
This is represented by a simple equation,
107
291855
3217
これはシンプルな方程式で
表現される
表現される
美しいパターンです
05:07
and it's a beautiful pattern.
108
295096
1818
これが私たちの
やっていることです
やっていることです
05:09
So this is the stuff that we do.
109
297521
1775
05:11
We find patterns, and we represent them.
110
299320
2610
パターンを見出し
それを表現するということ
それを表現するということ
05:13
And I think this is a nice
day-to-day definition.
day-to-day definition.
111
301954
2624
これは数学の当座の定義として
良いと思います
良いと思います
05:16
But today I want to go
a little bit deeper,
a little bit deeper,
112
304602
2331
しかし今日は
もう少し掘り下げて
もう少し掘り下げて
05:18
and think about
what the nature of this is.
what the nature of this is.
113
306957
3944
その性質について
考察したいと思います
考察したいと思います
何がそれを
可能にしているのか？
可能にしているのか？
05:22
What makes it possible?
114
310925
1428
05:24
There's one thing
that's a little bit deeper,
that's a little bit deeper,
115
312377
2154
そして掘り下げたところに
あるものは
あるものは
05:26
and that has to do with the ability
to change your perspective.
to change your perspective.
116
314555
3503
見方を変える能力に
関係しています
関係しています
私の主張は
05:30
And I claim that when
you change your perspective,
you change your perspective,
117
318082
2523
見方を変えて
異なる視点で見るとき
異なる視点で見るとき
05:32
and if you take another point of view,
118
320629
2806
05:35
you learn something new
about what you are watching
about what you are watching
119
323459
3910
その見聞きしている
ものについて
ものについて
何か新しいことを
学ぶということです
学ぶということです
05:39
or looking at or hearing.
120
327393
1451
これは私たちが絶えずやっている
とても重要なことだと思います
とても重要なことだと思います
05:41
And I think this is a really important
thing that we do all the time.
thing that we do all the time.
121
329472
3790
05:45
So let's just look at
this simple equation,
this simple equation,
122
333834
3980
この単純な方程式を
見てください
見てください
05:49
x + x = 2 • x.
123
337838
2549
x + x = 2 * x
05:52
This is a very nice pattern,
and it's true,
and it's true,
124
340411
2072
これは素敵なパターンであり
正しいものです
正しいものです
05:54
because 5 + 5 = 2 • 5, etc.
125
342507
2829
5 + 5 = 2 * 5 といった
そういうパターンを繰り返し目にして
このように表現したのです
このように表現したのです
05:57
We've seen this over and over,
and we represent it like this.
and we represent it like this.
126
345360
3101
06:00
But think about it: this is an equation.
127
348485
2184
考えてほしいのは
これが方程式だということで
これが方程式だということで
06:03
It says that something
is equal to something else,
is equal to something else,
128
351025
2562
何かと何かが等しいことを
表しています
表しています
１つのものの２つの異なる
見方だということです
見方だということです
06:05
and that's two different perspectives.
129
353611
2287
06:07
One perspective is, it's a sum.
130
355922
1899
１つの見方は「和」です
何かを加え合わせるということ
06:09
It's something you plus together.
131
357845
1846
06:11
On the other hand, it's a multiplication,
132
359715
2372
もう１つの見方は「積」です
06:14
and those are two different perspectives.
133
362111
2443
２つの異なった見方です
06:17
And I would go as far as to say
that every equation is like this,
that every equation is like this,
134
365140
3748
すべての方程式は
そういうものと言えましょう
そういうものと言えましょう
06:20
every mathematical equation
where you use that equality sign
where you use that equality sign
135
368912
4116
イコールの記号を使う
数学の方程式はすべて
数学の方程式はすべて
06:25
is actually a metaphor.
136
373052
1419
メタファーであり
２つのものの間の
アナロジーです
アナロジーです
06:26
It's an analogy between two things.
137
374919
2006
06:28
You're just viewing something
and taking two different points of view,
and taking two different points of view,
138
376949
3495
何かについて
２つの異なる見方をし
２つの異なる見方をし
06:32
and you're expressing that in a language.
139
380468
2393
それを言語で
表しているんです
表しているんです
この方程式を見てください
06:34
Have a look at this equation.
140
382885
1564
これは最も美しい
方程式の１つです
方程式の１つです
06:36
This is one of the most
beautiful equations.
beautiful equations.
141
384473
2255
06:38
It simply says that, well,
142
386752
2368
それは単に
２つのものが —
２つのものが —
どちらも -1だと言っています
06:41
two things, they're both -1.
143
389902
1893
左側のも 右側のも
同じ -1であると
同じ -1であると
06:44
This thing on the left-hand side is -1,
and the other one is.
and the other one is.
144
392279
3046
これは数学の
本質的なことの１つで
本質的なことの１つで
06:47
And that, I think, is one
of the essential parts
of the essential parts
145
395693
2326
06:50
of mathematics -- you take
different points of view.
different points of view.
146
398043
2463
異なる見方をする
ということです
ということです
もっといろいろ
試してみましょう
試してみましょう
06:52
So let's just play around.
147
400530
1335
06:53
Let's take a number.
148
401889
1267
数字を１つ選びます
4/3です
4/3です
06:55
We know four-thirds.
We know what four-thirds is.
We know what four-thirds is.
149
403180
2878
みんな4/3が何かは分かります
06:58
It's 1.333, but we have to have
those three dots,
those three dots,
150
406082
3002
それは1.333･･･ですが
点々を付ける必要があります
点々を付ける必要があります
そうしないと正確に
4/3にはなりません
4/3にはなりません
07:01
otherwise it's not exactly four-thirds.
151
409489
2373
07:03
But this is only in base 10.
152
411886
1896
しかしこれは
10進法の場合の話です
10進法の場合の話です
10種類の数字を使う記数法では
ということです
ということです
07:05
You know, the number system,
we use 10 digits.
we use 10 digits.
153
413806
2263
07:08
If we change that around
and only use two digits,
and only use two digits,
154
416093
2318
もし２種類の数字しか
使わないことにしたら
使わないことにしたら
07:10
that's called the binary system.
155
418435
1810
２進法になって
4/3は 1.010･･･と表されます
07:12
It's written like this.
156
420269
1703
07:13
So we're now talking about the number.
157
421996
1962
我々は今 4/3という数について
07:15
The number is four-thirds.
158
423982
1546
考えているわけですが
それは基数を変えることで
このように書けます
このように書けます
07:17
We can write it like this,
159
425964
1343
07:19
and we can change the base,
change the number of digits,
change the number of digits,
160
427331
3005
数字の種数を変えることで
表記は変わるのです
07:22
and we can write it differently.
161
430360
1788
07:24
So these are all representations
of the same number.
of the same number.
162
432172
4167
これはすべて
同じ数の異なる表現です
同じ数の異なる表現です
単に 1.3 とか 1.6と
書くこともできます
書くこともできます
07:28
We can even write it simply,
like 1.3 or 1.6.
like 1.3 or 1.6.
163
436363
3548
07:31
It all depends on
how many digits you have.
how many digits you have.
164
439935
2200
数字の種類がいくつあるかで
変わるんです
変わるんです
07:34
Or perhaps we just simplify
and write it like this.
and write it like this.
165
442521
3382
もっと単純化して
こんな風に書くこともできます
こんな風に書くこともできます
07:37
I like this one, because this says
four divided by three.
four divided by three.
166
445927
3215
4÷3というのが表せて
良いと思います
良いと思います
07:41
And this number expresses
a relation between two numbers.
a relation between two numbers.
167
449166
3037
またこの数は２つの数の
関係を表しています
関係を表しています
07:44
You have four on the one hand
and three on the other.
and three on the other.
168
452227
2964
一方に4があり
他方に3があります
他方に3があります
07:47
And you can visualize this in many ways.
169
455215
2078
これは様々なやり方で
視覚化できます
視覚化できます
07:49
What I'm doing now is viewing that number
from different perspectives.
from different perspectives.
170
457317
4047
私が今やっているのは
１つの数を様々な見方で見るということです
１つの数を様々な見方で見るということです
07:53
I'm playing around.
171
461388
1151
１つのものに対し
07:54
I'm playing around with
how we view something,
how we view something,
172
462563
2544
どんな見方ができるか
試していて
試していて
それをとても意識的に
やっています
やっています
07:57
and I'm doing it very deliberately.
173
465131
1712
格子を使うこともできます
07:58
We can take a grid.
174
466867
1183
08:00
If it's four across and three up,
this line equals five, always.
this line equals five, always.
175
468074
4678
横4 縦3だと
対角線の長さは 必ず5になります
対角線の長さは 必ず5になります
そう決まっているんです
08:04
It has to be like this.
This is a beautiful pattern.
This is a beautiful pattern.
176
472776
2688
4と3と5 からできる
美しいパターンです
美しいパターンです
08:07
Four and three and five.
177
475488
1254
この長方形は
横と縦の比が 4 x 3 で
横と縦の比が 4 x 3 で
08:09
And this rectangle, which is 4 x 3,
178
477177
2711
08:11
you've seen a lot of times.
179
479912
1591
良く目にするものです
一般的なコンピューターの
画面のサイズです
画面のサイズです
08:13
This is your average computer screen.
180
481527
1813
08:15
800 x 600 or 1,600 x 1,200
181
483364
3379
800 x 600 とか
1600 x 1200は
1600 x 1200は
テレビやコンピューターの画面に
使われています
使われています
08:18
is a television or a computer screen.
182
486767
2488
08:21
So these are all nice representations,
183
489864
2032
みんな素敵な表現法ですが
08:23
but I want to go a little bit further
and just play more with this number.
and just play more with this number.
184
491920
3922
もう少し続けて
この数で遊んでみたいと思います
この数で遊んでみたいと思います
08:27
Here you see two circles.
I'm going to rotate them like this.
I'm going to rotate them like this.
185
495866
3248
ここに２つの円があります
それぞれを回転させます
08:31
Observe the upper-left one.
186
499138
1788
左の方が少し
速く回っています
速く回っています
08:32
It goes a little bit faster, right?
187
500950
1773
分かりますか
08:35
You can see this.
188
503137
1158
08:36
It actually goes exactly
four-thirds as fast.
four-thirds as fast.
189
504319
3374
正確に4/3倍
速く回っています
速く回っています
08:39
That means that when it goes
around four times,
around four times,
190
507717
2400
つまり左のが
４回転する間に
４回転する間に
08:42
the other one goes around three times.
191
510141
1879
右のは３回転する
ということです
ということです
08:44
Now let's make two lines, and draw
this dot where the lines meet.
this dot where the lines meet.
192
512044
3501
このように２本の線を引いて
交わったところに点を描くと
交わったところに点を描くと
その点が踊り出します
08:47
We get this dot dancing around.
193
515569
1702
(笑)
08:49
(Laughter)
194
517295
1037
この点は4/3という数に
由来しているのです
由来しているのです
08:50
And this dot comes from that number.
195
518356
1769
点の軌跡はどうなるか
08:52
Right? Now we should trace it.
196
520926
1867
08:55
Let's trace it and see what happens.
197
523239
2178
軌跡を描いて何が起きているのか
見てみましょう
見てみましょう
08:57
This is what mathematics is all about.
198
525441
1928
数学とはそういうものです
08:59
It's about seeing what happens.
199
527393
1635
何が起きるか見るということ
09:01
And this emerges from four-thirds.
200
529052
2944
これが4/3という数から
生じるのです
生じるのです
09:04
I like to say that this
is the image of four-thirds.
is the image of four-thirds.
201
532020
3360
これは4/3の姿だと
言って良いでしょう
言って良いでしょう
この方がずっと･･･ (歓声)
09:07
It's much nicer -- (Cheers)
202
535404
1296
09:08
Thank you!
203
536724
1158
どうも
09:09
(Applause)
204
537906
3784
(拍手)
これは新しいものじゃ
ありません
ありません
09:16
This is not new.
205
544556
1151
09:17
This has been known
for a long time, but --
for a long time, but --
206
545731
2034
ずいぶん昔から
知られていました
知られていました
09:19
(Laughter)
207
547789
1609
(笑)
09:21
But this is four-thirds.
208
549422
1684
でもこれが4/3なんです
09:23
Let's do another experiment.
209
551130
1559
別の実験をしてみましょう
09:24
Let's now take a sound, this sound: (Beep)
210
552713
4109
今度は音を使います
この音です (電子音)
この音です (電子音)
09:28
This is a perfect A, 440Hz.
211
556846
2989
これはラの音で
440Hzです
440Hzです
09:31
Let's multiply it by two.
212
559859
1686
周波数を２倍に
してみましょう
してみましょう
こんな音になります (電子音)
09:33
We get this sound. (Beep)
213
561569
1359
09:34
When we play them together,
it sounds like this.
it sounds like this.
214
562952
2255
この２つを一緒に鳴らすと
こうなります
こうなります
１オクターブです
09:37
This is an octave, right?
215
565231
1213
音を使って遊べます
09:38
We can do this game. We can play
a sound, play the same A.
a sound, play the same A.
216
566468
2765
同じラの音を
今度は 3/2倍してみましょう
今度は 3/2倍してみましょう
09:41
We can multiply it by three-halves.
217
569257
1701
09:42
(Beep)
218
570982
1618
(電子音)
09:44
This is what we call a perfect fifth.
219
572624
1944
これは完全五度と
呼ばれています
呼ばれています
09:46
(Beep)
220
574592
1046
(電子音)
09:47
They sound really nice together.
221
575662
2106
一緒にすると
とても綺麗に聞こえます
とても綺麗に聞こえます
09:49
Let's multiply this sound
by four-thirds. (Beep)
by four-thirds. (Beep)
222
577792
4123
今度は 4/3倍してみましょう (電子音)
どうなるか？
09:53
What happens?
223
581939
1926
こんな音です (電子音)
09:55
You get this sound. (Beep)
224
583889
1431
これは完全四度です
09:57
This is the perfect fourth.
225
585344
1286
元の音がラなら
新しい音はレです
新しい音はレです
09:58
If the first one is an A, this is a D.
226
586654
2245
一緒にすると
こうなります (電子音)
こうなります (電子音)
10:00
They sound like this together. (Beeps)
227
588923
2030
10:02
This is the sound of four-thirds.
228
590977
2410
これは 4/3の音なんです
ここで何をやっているかというと
見方を変えているんです
見方を変えているんです
10:05
What I'm doing now,
I'm changing my perspective.
I'm changing my perspective.
229
593411
2554
10:07
I'm just viewing a number
from another perspective.
from another perspective.
230
595989
2780
１つの数に対し
別の見方をしてみました
別の見方をしてみました
10:10
I can even do this with rhythms, right?
231
598793
1965
これをリズムで
やることもできます
やることもできます
10:12
I can take a rhythm and play
three beats at one time (Drumbeats)
three beats at one time (Drumbeats)
232
600782
3672
リズムを取って
一定時間内に
一定時間内に
３回音を鳴らします (ドラムビート)
10:16
in a period of time,
233
604478
1551
10:18
and I can play another sound
four times in that same space.
four times in that same space.
234
606053
4342
同じ時間内に 別の音を４回
鳴らすこともできます
鳴らすこともできます
(メトロノーム音)
10:22
(Clanking sounds)
235
610419
1042
10:23
Sounds kind of boring,
but listen to them together.
but listen to them together.
236
611485
2381
これじゃ退屈ですが
一緒にしてみると —
一緒にしてみると —
10:25
(Drumbeats and clanking sounds)
237
613890
2786
(２音同時)
10:28
(Laughter)
238
616700
1290
(笑)
10:30
Hey! So.
239
618014
1421
ヘーイ！
10:31
(Laughter)
240
619459
1888
(笑)
小刻みなハイハットを
加えることもできます
加えることもできます
10:33
I can even make a little hi-hat.
241
621371
2159
10:35
(Drumbeats and cymbals)
242
623554
1841
(３音同時)
10:37
Can you hear this?
243
625419
1151
聞こえますか？
10:38
So, this is the sound of four-thirds.
244
626594
2113
これはリズムとしての
10:40
Again, this is as a rhythm.
245
628731
1850
4/3なんです
10:42
(Drumbeats and cowbell)
246
630605
1810
(４音同時)
10:44
And I can keep doing this
and play games with this number.
and play games with this number.
247
632439
2848
もっと続けて
この数で遊ぶことができます
この数で遊ぶことができます
10:47
Four-thirds is a really great number.
I love four-thirds!
I love four-thirds!
248
635311
2745
4/3は本当にすごい数なんです
大好きな数です
大好きな数です
10:50
(Laughter)
249
638080
1276
(笑)
10:51
Truly -- it's an undervalued number.
250
639380
2487
本当に
過小評価されていると思います
過小評価されていると思います
10:53
So if you take a sphere and look
at the volume of the sphere,
at the volume of the sphere,
251
641891
2859
球の体積を調べると
ある円柱の体積の
4/3になります
4/3になります
10:56
it's actually four-thirds
of some particular cylinder.
of some particular cylinder.
252
644774
2933
10:59
So four-thirds is in the sphere.
It's the volume of the sphere.
It's the volume of the sphere.
253
647731
3534
4/3が球の中にあるんです
体積として
体積として
11:03
OK, so why am I doing all this?
254
651824
2042
私はなぜこんな話を
しているのか？
しているのか？
11:05
Well, I want to talk about what it means
to understand something
to understand something
255
653890
3230
何かを理解するというのは
どういうことなのか
どういうことなのか
11:09
and what we mean
by understanding something.
by understanding something.
256
657144
2564
理解すると言ったとき
何を意味するのか
何を意味するのか
それがここで私の
狙いです
狙いです
11:11
That's my aim here.
257
659732
1423
11:13
And my claim is that
you understand something
you understand something
258
661179
2130
理解しているというのは
異なる見方ができること —
異なる見方ができること —
11:15
if you have the ability to view it
from different perspectives.
from different perspectives.
259
663333
2992
それが私の主張です
この文字を見てください
素敵なRの文字です
素敵なRの文字です
11:18
Let's look at this letter.
It's a beautiful R, right?
It's a beautiful R, right?
260
666349
2541
11:20
How do you know that?
261
668914
1178
なぜそうと分かるのでしょう？
11:22
Well, as a matter of fact,
you've seen a bunch of R's,
you've seen a bunch of R's,
262
670557
3188
これまでたくさんの
Rを見てきて
Rを見てきて
11:25
and you've generalized
263
673769
1645
それを一般化し抽象化し
11:27
and abstracted all of these
and found a pattern.
and found a pattern.
264
675438
2970
パターンを見つけたからです
11:30
So you know that this is an R.
265
678432
3362
それでこれはRだと
分かるのです
分かるのです
11:35
So what I'm aiming for here
is saying something
is saying something
266
683643
2807
私がやろうとしているのは
理解することと
見方を変えることは
見方を変えることは
11:38
about how understanding
and changing your perspective
and changing your perspective
267
686474
3381
繋がっているんだと
示すことです
示すことです
11:41
are linked.
268
689879
1332
11:43
And I'm a teacher and a lecturer,
269
691235
2169
私は教師であり 講師ですが
11:45
and I can actually use this
to teach something,
to teach something,
270
693428
2312
このことを教えるときに
使うことができます
使うことができます
11:47
because when I give someone else
another story, a metaphor, an analogy,
another story, a metaphor, an analogy,
271
695764
4840
別のストーリーやメタファーや
アナロジーを与えること —
アナロジーを与えること —
11:52
if I tell a story
from a different point of view,
from a different point of view,
272
700628
2399
別の視点から
話をすることで
話をすることで
理解は引き出せるからです
11:55
I enable understanding.
273
703051
1513
11:56
I make understanding possible,
274
704588
1866
理解のためには
見聞きするものすべてを
一般化しなければなりませんが
一般化しなければなりませんが
11:58
because you have to generalize
over everything you see and hear,
over everything you see and hear,
275
706478
3066
12:01
and if I give you another perspective,
that will become easier for you.
that will become easier for you.
276
709568
4599
別の見方を示すことで
それが容易になるんです
それが容易になるんです
12:06
Let's do a simple example again.
277
714191
1906
また簡単な例で
見てみましょう
見てみましょう
12:08
This is four and three.
This is four triangles.
This is four triangles.
278
716121
2641
４と３ —
４つの三角形があります
４つの三角形があります
12:10
So this is also four-thirds, in a way.
279
718786
2448
ある意味 4/3です
12:13
Let's just join them together.
280
721258
1722
これを組み合わせます
12:15
Now we're going to play a game;
we're going to fold it up
we're going to fold it up
281
723004
2709
ちょっと遊びましょう
これを折りたたんで
３次元の構造にします
３次元の構造にします
12:17
into a three-dimensional structure.
282
725737
1682
12:19
I love this.
283
727443
1164
これは私のお気に入り
12:20
This is a square pyramid.
284
728631
1416
正四角錐です
12:22
And let's just take two of them
and put them together.
and put them together.
285
730529
3150
これを２つ用意して
合体させましょう
合体させましょう
12:25
So this is what is called an octahedron.
286
733703
2689
これは正八面体と
呼ばれるものです
呼ばれるものです
12:28
It's one of the five platonic solids.
287
736416
2707
５つのプラトンの立体のうちの
１つです
１つです
12:31
Now we can quite literally
change our perspective,
change our perspective,
288
739147
2445
文字通り 見方を変える
ことができます
ことができます
12:33
because we can rotate it
around all of the axes
around all of the axes
289
741616
2695
それぞれの軸に対して
回転させて
回転させて
12:36
and view it from different perspectives.
290
744335
2012
別の見方で見るのです
12:38
And I can change the axis,
291
746371
2066
軸を変えると
12:40
and then I can view it
from another point of view,
from another point of view,
292
748461
2338
別の視点から
見ることができます
見ることができます
12:42
but it's the same thing,
but it looks a little different.
but it looks a little different.
293
750823
2703
同じ物ですが
少し違って見えます
少し違って見えます
12:45
I can do it even one more time.
294
753550
1668
さらに別のやり方ができます
12:47
Every time I do this,
something else appears,
something else appears,
295
755242
3302
そうするたびに
違ったものが現れます
違ったものが現れます
見方を変えると
12:50
so I'm actually learning
more about the object
more about the object
296
758568
2179
その物について
さらに学ぶことができるのです
さらに学ぶことができるのです
12:52
when I change my perspective.
297
760771
1525
12:54
I can use this as a tool
for creating understanding.
for creating understanding.
298
762320
3394
このことは理解を生み出すために
使うことができます
使うことができます
12:58
I can take two of these
and put them together like this
and put them together like this
299
766548
3592
四角錐を２つ取って
このように組み合わせ
このように組み合わせ
13:02
and see what happens.
300
770164
1247
何が起きるか見てみましょう
13:03
And it looks a little bit
like the octahedron.
like the octahedron.
301
771865
3411
正八面体に少し似ています
13:07
Have a look at it if I spin
it around like this.
it around like this.
302
775300
2478
このように回転させると
13:09
What happens?
303
777802
1182
何が起きるでしょう？
13:11
Well, if you take two of these,
join them together and spin it around,
join them together and spin it around,
304
779008
3344
２つの四角錐を組み合わせて
回転させると
回転させると
13:14
there's your octahedron again,
305
782376
2401
再び正八面体が現れます
13:16
a beautiful structure.
306
784801
1631
美しい構造です
13:18
If you lay it out flat on the floor,
307
786456
2164
平らに押しつぶすと
正八面体はこうなります
13:20
this is the octahedron.
308
788644
1217
13:21
This is the graph structure
of an octahedron.
of an octahedron.
309
789885
2703
正八面体のグラフ構造です
13:25
And I can continue doing this.
310
793255
2373
こんなこともできます
13:27
You can draw three great circles
around the octahedron,
around the octahedron,
311
795652
3527
正八面体のまわりに
３つの大円を描いて
３つの大円を描いて
13:31
and you rotate around,
312
799203
1850
回転させます
13:33
so actually three great circles
is related to the octahedron.
is related to the octahedron.
313
801077
4461
３つの大円は
正八面体と関連しているんです
正八面体と関連しているんです
13:37
And if I take a bicycle pump
and just pump it up,
and just pump it up,
314
805562
3659
自転車の空気入れで
膨らませると —
膨らませると —
13:41
you can see that this is also
a little bit like the octahedron.
a little bit like the octahedron.
315
809245
3153
これもある意味
正八面体のようなものです
正八面体のようなものです
13:44
Do you see what I'm doing here?
316
812801
2296
私が何をやっているか
分かりますか？
分かりますか？
13:47
I am changing the perspective every time.
317
815121
2681
ものの見方を
いろいろと変えているんです
いろいろと変えているんです
13:50
So let's now take a step back --
318
818801
2650
一歩下がってみましょう
13:53
and that's actually
a metaphor, stepping back --
a metaphor, stepping back --
319
821475
3037
これはメタファーですけど
13:56
and have a look at what we're doing.
320
824536
2363
ここまでどんなことを
してきたのか
してきたのか
13:58
I'm playing around with metaphors.
321
826923
1664
メタファーをもてあそび
14:00
I'm playing around
with perspectives and analogies.
with perspectives and analogies.
322
828611
2472
見方やアナロジーをもてあそび
14:03
I'm telling one story in different ways.
323
831107
2032
１つの話をいろいろな
やり方で語る —
やり方で語る —
14:05
I'm telling stories.
324
833472
1210
ストーリーを語り
14:06
I'm making a narrative;
I'm making several narratives.
I'm making several narratives.
325
834706
3184
いくつもの物語を作り出す
これらのすべてが
理解を可能にするのです
理解を可能にするのです
14:09
And I think all of these things
make understanding possible.
make understanding possible.
326
837914
3522
14:13
I think this actually is the essence
of understanding something.
of understanding something.
327
841460
3379
これは理解の本質なんです
14:16
I truly believe this.
328
844863
1294
本当にそう思います
14:18
So this thing about changing
your perspective --
your perspective --
329
846181
2427
見方を変えるというのは
14:20
it's absolutely fundamental for humans.
330
848608
2733
人間にとって本質的なことなんです
14:23
Let's play around with the Earth.
331
851829
1621
地球で遊んでみましょう
14:25
Let's zoom into the ocean,
have a look at the ocean.
have a look at the ocean.
332
853474
2509
海にズームインします
海を見て —
海を見て —
これは何に対してでも
できます
できます
14:28
We can do this with anything.
333
856007
1942
14:29
We can take the ocean
and view it up close.
and view it up close.
334
857973
2460
海をよく見てみましょう
14:32
We can look at the waves.
335
860457
1934
波に目を向ける
14:34
We can go to the beach.
336
862415
1212
浜辺に行く
14:35
We can view the ocean
from another perspective.
from another perspective.
337
863651
2263
海を別な見方で
見ることができます
見ることができます
14:37
Every time we do this, we learn
a little bit more about the ocean.
a little bit more about the ocean.
338
865938
3190
そうする度に 海について
もっと知ることが出来ます
もっと知ることが出来ます
14:41
If we go to the shore,
we can kind of smell it, right?
we can kind of smell it, right?
339
869152
2589
海岸に行くと
潮の香りがします
潮の香りがします
14:43
We can hear the sound of the waves.
340
871765
1710
波の音が聞こえます
14:45
We can feel salt on our tongues.
341
873499
2046
塩の味がします
14:47
So all of these
are different perspectives.
are different perspectives.
342
875569
2890
これはみんな
異なる見方なんです
異なる見方なんです
14:50
And this is the best one.
343
878483
1264
そしてこれは一番のもの
14:51
We can go into the water.
344
879771
1643
水の中に入り
14:53
We can see the water from the inside.
345
881438
2009
水を中から見るということ
そしてこれは
14:55
And you know what?
346
883471
1178
数学やコンピューターサイエンスにとって
実に本質的なことなんです
実に本質的なことなんです
14:56
This is absolutely essential
in mathematics and computer science.
in mathematics and computer science.
347
884673
3081
構造を内側から
見ることができれば
見ることができれば
14:59
If you're able to view
a structure from the inside,
a structure from the inside,
348
887778
2955
15:02
then you really learn something about it.
349
890757
2570
そのものについて
本当に学ぶことができます
本当に学ぶことができます
15:05
That's somehow the essence of something.
350
893351
2021
そのものの何か
本質的なことです
本質的なことです
15:07
So when we do this,
and we've taken this journey
and we've taken this journey
351
895883
3643
この海への旅を
するにあたって
15:11
into the ocean,
352
899550
1173
私たちは想像力を使いました
15:12
we use our imagination.
353
900747
1890
15:14
And I think this is one level deeper,
354
902661
2653
これは１レベル深いものであり
15:17
and it's actually a requirement
for changing your perspective.
for changing your perspective.
355
905338
3734
見方を変えるために
必要なものです
必要なものです
ちょっとしたゲームがあります
15:21
We can do a little game.
356
909818
1167
15:23
You can imagine that you're sitting there.
357
911009
2041
ここに座っていながら
15:25
You can imagine that you're up here,
and that you're sitting here.
and that you're sitting here.
358
913074
3227
自分があそこにいると
想像するんです
想像するんです
15:28
You can view yourselves from the outside.
359
916325
2326
自分を外から眺めるわけです
15:30
That's really a strange thing.
360
918675
1938
すごく妙なことです
15:32
You're changing your perspective.
361
920637
1823
見方を変え
15:34
You're using your imagination,
362
922484
1859
想像力を使い
15:36
and you're viewing yourself
from the outside.
from the outside.
363
924367
2206
自分自身を
外から眺めるのです
外から眺めるのです
これには想像力が必要です
15:39
That requires imagination.
364
927073
2029
15:41
Mathematics and computer science
are the most imaginative art forms ever.
are the most imaginative art forms ever.
365
929126
4933
数学とコンピューターサイエンスというのは
想像力を最も駆使する芸術様式なんです
想像力を最も駆使する芸術様式なんです
15:46
And this thing about changing perspectives
366
934884
2182
見方を変えるというのは
皆さんに馴染みのある
ことのはずです
ことのはずです
15:49
should sound a little bit familiar to you,
367
937090
2508
15:51
because we do it every day.
368
939622
2212
私たちが日々
やっていることであり
やっていることであり
それは共感と呼ばれています
15:54
And then it's called empathy.
369
942604
1620
15:56
When I view the world
from your perspective,
from your perspective,
370
944954
2699
私が相手の見方で
世界を見るとき
世界を見るとき
私はその人への
共感を持っています
共感を持っています
16:00
I have empathy with you.
371
948939
1666
16:02
If I really, truly understand
372
950629
1848
相手から見た世界を
16:04
what the world looks
like from your perspective,
like from your perspective,
373
952501
3078
本当に理解したなら
私は共感していると言えます
16:07
I am empathetic.
374
955603
1471
16:09
That requires imagination.
375
957098
2180
それには想像力が必要です
16:11
And that is how we obtain understanding.
376
959827
2459
そうやって私たちは
理解を手にするのです
理解を手にするのです
数学やコンピューターサイエンスでは
至る所で使います
至る所で使います
16:15
And this is all over mathematics
and this is all over computer science,
and this is all over computer science,
377
963206
3753
16:18
and there's a really deep connection
between empathy and these sciences.
between empathy and these sciences.
378
966983
5535
共感とこれらの科学との間には
深い関わりがあるんです
深い関わりがあるんです
16:25
So my conclusion is the following:
379
973288
2804
そういうわけで私の結論は —
16:29
understanding something really deeply
380
977931
2222
理解というのは
見方を変える能力と
見方を変える能力と
16:32
has to do with the ability
to change your perspective.
to change your perspective.
381
980177
2661
とても深く結びついている
ということです
ということです
皆さんにアドバイスしたいのは
見方を変えてみるということです
見方を変えてみるということです
16:35
So my advice to you is:
try to change your perspective.
try to change your perspective.
382
983894
3589
16:39
You can study mathematics.
383
987507
1549
数学を学ぶのもいいです
16:41
It's a wonderful way to train your brain.
384
989080
2433
これは頭を鍛える
素晴らしい方法です
素晴らしい方法です
16:44
Changing your perspective
makes your mind more flexible.
makes your mind more flexible.
385
992663
3808
見方を変えることで
心が柔軟になります
心が柔軟になります
新しいものに対して
心が開かれ
心が開かれ
16:48
It makes you open to new things,
386
996495
1834
16:50
and it makes you
able to understand things.
able to understand things.
387
998353
2825
物事を理解しやすくなります
16:53
And to use yet another metaphor:
388
1001202
2017
またメタファーを使うなら
水のような心を持つことです
16:55
have a mind like water.
389
1003243
1481
16:56
That's nice.
390
1004748
1151
それは良いことです
16:57
Thank you.
391
1005923
1157
ありがとうございました
16:59
(Applause)
392
1007104
4171
(拍手)
ABOUT THE SPEAKER
Roger Antonsen - Logician, mathematician, computer scientistRoger Antonsen combines science, mathematics and computer science with entertainment, philosophy and visualizations.
Why you should listen
Roger Antonsen is a logician, mathematician, computer scientist, researcher, inventor, author, lecturer, science communicator and public speaker. He teaches logical methods as an associate professor at the Department of Informatics in the research group Logic and Intelligent Data (LogID) at the University of Oslo.
Antonsen is also engaged in various forms of science communication and outreach. His academic interests are logical calculi, proof theory, mathematical logic, complexity theory, automata, combinatorics, philosophy of mathematics, but he is interested in most topics related to mathematics, computer science and philosophy. His vision is to communicate science differently, to inspire creative thinking and to remove the common misconceptions about mathematics and computer science.
Roger Antonsen | Speaker | TED.com