TED2010
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness
ブノワ・マンデルブロ： フラクタルと荒さの科学
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TED2010において、伝説的な数学者ブノワ・マンデルブロが1984年のTEDで初めて話題にあげたテーマである、荒さの複雑さと人知を超えた複雑さの中に秩序を見つける、フラクタルの数学について語ります。
Benoit Mandelbrot - Mathematician
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works. Full bio
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works. Full bio
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00:15
Thank you very much.
0
0
2000
どうもありがとう
00:17
Please excuse me for sitting; I'm very old.
1
2000
3000
座らせてください 高齢なのでね
00:20
(Laughter)
2
5000
2000
（笑）
00:22
Well, the topic I'm going to discuss
3
7000
2000
これから話す話題は
00:24
is one which is, in a certain sense, very peculiar
4
9000
3000
ある意味でちょっと珍しいことです
00:27
because it's very old.
5
12000
2000
とても古いのでね
00:29
Roughness is part of human life
6
14000
3000
荒さは 人間の活動の一部です
00:32
forever and forever,
7
17000
2000
これからもずっと
00:34
and ancient authors have written about it.
8
19000
3000
古代の学者がそのことについて書いています
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It was very much uncontrollable,
9
22000
2000
荒さはまったく制御できないものだと
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and in a certain sense,
10
24000
2000
ある意味では
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it seemed to be the extreme of complexity,
11
26000
3000
荒さは非常に複雑なように見えます
00:44
just a mess, a mess and a mess.
12
29000
2000
単にぐちゃぐちゃで きたなくて散らかっているように
00:46
There are many different kinds of mess.
13
31000
2000
いろいろな種類の乱雑な状態があります
00:48
Now, in fact,
14
33000
2000
実は
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by a complete fluke,
15
35000
2000
完全な偶然によって
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I got involved many years ago
16
37000
3000
何年も前に私は
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in a study of this form of complexity,
17
40000
3000
この複雑さの世界に飛び込みました
00:58
and to my utter amazement,
18
43000
2000
とても驚いたことに
01:00
I found traces --
19
45000
2000
私は手がかりを見つけたのです
01:02
very strong traces, I must say --
20
47000
2000
とても確かな手がかり
01:04
of order in that roughness.
21
49000
3000
荒さの秩序と言うほかにありません
01:07
And so today, I would like to present to you
22
52000
2000
今日は お見せしたいと思います
01:09
a few examples
23
54000
2000
このことが何を示しているか
01:11
of what this represents.
24
56000
2000
いくつかの例を
01:13
I prefer the word roughness
25
58000
2000
私は荒さという言葉が好きです
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to the word irregularity
26
60000
2000
不規則さという言葉よりも
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because irregularity --
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62000
2000
なぜなら不規則さは
01:19
to someone who had Latin
28
64000
2000
若かったころの私のように
01:21
in my long-past youth --
29
66000
2000
ラテン語を勉強したことのある人にとって
01:23
means the contrary of regularity.
30
68000
2000
規則正しいことの反対の意味を持っています
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But it is not so.
31
70000
2000
でもそうではありません
01:27
Regularity is the contrary of roughness
32
72000
3000
規則正しさは荒さの反対語です
01:30
because the basic aspect of the world
33
75000
2000
なぜなら世界の基本となっていることは
01:32
is very rough.
34
77000
2000
とても荒いからです
01:34
So let me show you a few objects.
35
79000
3000
では いくつか絵をお見せしましょう
01:37
Some of them are artificial.
36
82000
2000
これらのうち いくつかは人工的に作られています
01:39
Others of them are very real, in a certain sense.
37
84000
3000
他のものはある意味で とても現実的です
01:42
Now this is the real. It's a cauliflower.
38
87000
3000
これは本物です 野菜のカリフラワー
01:45
Now why do I show a cauliflower,
39
90000
3000
では なぜ一般的で古くからある野菜
01:48
a very ordinary and ancient vegetable?
40
93000
3000
このカリフラワーを見せたのか
01:51
Because old and ancient as it may be,
41
96000
3000
その理由は 古いかもしれませんが
01:54
it's very complicated and it's very simple,
42
99000
3000
この野菜はとても複雑で とても単純だからです
01:57
both at the same time.
43
102000
2000
両方とも
01:59
If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,
44
104000
3000
カリフラワーの重さを計るとき もちろんとても簡単に計れます
02:02
and when you eat it, the weight matters --
45
107000
3000
また食べるときには 重さは重要ですね
02:05
but suppose you try to
46
110000
3000
では このようなことを考えてみてください
02:08
measure its surface.
47
113000
2000
その表面を測ろうとしましょう
02:10
Well, it's very interesting.
48
115000
2000
とてもおもしろいですよ
02:12
If you cut, with a sharp knife,
49
117000
3000
よく研いだナイフで
02:15
one of the florets of a cauliflower
50
120000
2000
カリフラワーのつぼみを
02:17
and look at it separately,
51
122000
2000
切り落としてみると
02:19
you think of a whole cauliflower, but smaller.
52
124000
3000
それは 小さいカリフラワーに見えますね
02:22
And then you cut again,
53
127000
2000
さらに切っていきます
02:24
again, again, again, again, again, again, again, again,
54
129000
3000
また切って 切って 切って どんどん切りましょう
02:27
and you still get small cauliflowers.
55
132000
2000
でもそこには また小さいカリフラワーがあります
02:29
So the experience of humanity
56
134000
2000
人間の経験では
02:31
has always been that there are some shapes
57
136000
3000
こういう珍しい特徴を持つ形は
02:34
which have this peculiar property,
58
139000
2000
いつも存在しています
02:36
that each part is like the whole,
59
141000
3000
それぞれの部分は 全体の形と似ていますが
02:39
but smaller.
60
144000
2000
もっと小さいもの
02:41
Now, what did humanity do with that?
61
146000
3000
では 人間はこの特徴に関して何をしたでしょうか
02:44
Very, very little.
62
149000
3000
本当に少しのことだけです
02:47
(Laughter)
63
152000
3000
（笑）
02:50
So what I did actually is to
64
155000
3000
私が実際にやったことは
02:53
study this problem,
65
158000
3000
この問題を研究すること
02:56
and I found something quite surprising.
66
161000
3000
そして大変驚くべきいくつかの発見をしました
02:59
That one can measure roughness
67
164000
3000
私たちは 荒さを測ることができます
03:02
by a number, a number,
68
167000
3000
数によって
03:05
2.3, 1.2 and sometimes much more.
69
170000
3000
2.3 1.2 時々もっと大きい数字になります
03:08
One day, a friend of mine,
70
173000
2000
あるとき 私の友人のひとりが
03:10
to bug me,
71
175000
2000
私を困らせるために
03:12
brought a picture and said,
72
177000
2000
ある絵を持ってきて このように言いました
03:14
"What is the roughness of this curve?"
73
179000
2000
『この曲線の荒さはいくつだい』
03:16
I said, "Well, just short of 1.5."
74
181000
3000
『そうだね 1.5よりちょっと小さいくらいかな』と答えました
03:19
It was 1.48.
75
184000
2000
それは1.48でした
03:21
Now, it didn't take me any time.
76
186000
2000
いくらも時間はかかりません
03:23
I've been looking at these things for so long.
77
188000
2000
このようなことを研究してきましたのでね
03:25
So these numbers are the numbers
78
190000
2000
これらの数字は
03:27
which denote the roughness of these surfaces.
79
192000
3000
このような表面の荒さを示す数値です
03:30
I hasten to say that these surfaces
80
195000
2000
これらの表面は 完全に
03:32
are completely artificial.
81
197000
2000
人工的だということを言わねばなりません
03:34
They were done on a computer,
82
199000
2000
これらはコンピューターによってつくられました
03:36
and the only input is a number,
83
201000
2000
入力したものは 数字だけです
03:38
and that number is roughness.
84
203000
3000
そしてこの数字こそが荒さなのです
03:41
So on the left,
85
206000
2000
左の写真には
03:43
I took the roughness copied from many landscapes.
86
208000
3000
たくさんの風景写真から得た荒さを使いました
03:46
To the right, I took a higher roughness.
87
211000
3000
右の写真には もっと高い荒さを使いました
03:49
So the eye, after a while,
88
214000
2000
しばらくすると 目は
03:51
can distinguish these two very well.
89
216000
3000
この2つをとてもよく見分けることが できるようになります
03:54
Humanity had to learn about measuring roughness.
90
219000
2000
人は荒さを測ることを学ばなければならなかったのです
03:56
This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.
91
221000
3000
これはとても荒い これはなめらか これは完全になめらか というように
03:59
Very few things are very smooth.
92
224000
3000
わずかなものだけが 本当になめらかです
04:03
So then if you try to ask questions:
93
228000
3000
それでは 質問をしてみましょう
04:06
"What's the surface of a cauliflower?"
94
231000
2000
カリフラワーの表面積は何ですか
04:08
Well, you measure and measure and measure.
95
233000
3000
何度も何度も何度も 計測するでしょう
04:11
Each time you're closer, it gets bigger,
96
236000
3000
より精密に行うと 答えは毎回より大きくなります
04:14
down to very, very small distances.
97
239000
2000
とっても小さい間隔で測ったらね
04:16
What's the length of the coastline
98
241000
2000
では この湖の海岸線の長さは
04:18
of these lakes?
99
243000
2000
いくつですか
04:20
The closer you measure, the longer it is.
100
245000
3000
より精密に計測すると それは長くなってしまいます
04:23
The concept of length of coastline,
101
248000
2000
海岸線の長さの定義は
04:25
which seems to be so natural
102
250000
2000
それがとても自然なように見えるのは
04:27
because it's given in many cases,
103
252000
2000
たくさんの事例があるからであって
04:29
is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.
104
254000
3000
実は 完全に間違った考えなのです そのようなものは無いのです
04:32
You must do it differently.
105
257000
3000
違う方法で計測しなければならないのです
04:35
What good is that, to know these things?
106
260000
2000
このようなことを知って どうしますか
04:37
Well, surprisingly enough,
107
262000
2000
とても驚くことに
04:39
it's good in many ways.
108
264000
2000
たくさんのことができるのです
04:41
To begin with, artificial landscapes,
109
266000
2000
まず初めに 人工的な風景は
04:43
which I invented sort of,
110
268000
2000
いくらか私が生み出したものですが
04:45
are used in cinema all the time.
111
270000
3000
映画の中でずっと使われています
04:48
We see mountains in the distance.
112
273000
2000
遠くに山が見えますね
04:50
They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.
113
275000
3000
山かもしれませんが たくさんの方程式かもしれません
04:53
Now it's very easy to do.
114
278000
2000
簡単にできます
04:55
It used to be very time-consuming, but now it's nothing.
115
280000
3000
以前は時間を食ったものですが いまはどうってことありません
04:58
Now look at that. That's a real lung.
116
283000
3000
それではこれを見てみましょう 本物の肺です
05:01
Now a lung is something very strange.
117
286000
2000
肺はとても奇妙な器官です
05:03
If you take this thing,
118
288000
2000
肺はとても軽いと
05:05
you know very well it weighs very little.
119
290000
3000
私たちがよく分かっています
05:08
The volume of a lung is very small,
120
293000
2000
肺の体積はとても小さいのです
05:10
but what about the area of the lung?
121
295000
3000
では 肺の表面積はどうでしょうか
05:13
Anatomists were arguing very much about that.
122
298000
3000
解剖学者はこのことをいつも議論しています
05:16
Some say that a normal male's lung
123
301000
3000
通常の男性の肺は バスケットボールのコートと
05:19
has an area of the inside
124
304000
2000
同程度の面積を持っている
05:21
of a basketball [court].
125
306000
2000
と言う人はいますが
05:23
And the others say, no, five basketball [courts].
126
308000
3000
『いや バスケットボールコート5つ分』だと言う人もいます
05:27
Enormous disagreements.
127
312000
2000
たいへんな違いですね
05:29
Why so? Because, in fact, the area of the lung
128
314000
3000
どうしてそうなるのでしょう なぜなら 肺の表面積は
05:32
is something very ill-defined.
129
317000
2000
はっきりと定義されていないからなのです
05:35
The bronchi branch, branch, branch
130
320000
3000
枝状に分かれた気管支が さらに分かれ また分かれています
05:38
and they stop branching,
131
323000
3000
分岐が終わるということは
05:41
not because of any matter of principle,
132
326000
3000
何かの法則によるのではなく
05:44
but because of physical considerations:
133
329000
3000
物理的な理由 つまり
05:47
the mucus, which is in the lung.
134
332000
3000
肺の中にある粘液がそれを決めるのです
05:50
So what happens is that in a way
135
335000
2000
何が起こっているかというと
05:52
you have a much bigger lung,
136
337000
2000
人間は十分に大きい肺を持っているということです
05:54
but it branches and branches
137
339000
2000
もしも肺が細かく枝分かれしていたら
05:56
down to distances about the same for a whale, for a man
138
341000
3000
クジラの肺も人間の肺も 加えて小さいネズミも
05:59
and for a little rodent.
139
344000
2000
同じ長さをを持つことになります
06:02
Now, what good is it to have that?
140
347000
3000
そのような肺を持つことで 何が優れているのでしょう
06:05
Well, surprisingly enough, amazingly enough,
141
350000
2000
驚くことに 非常に驚いたことに
06:07
the anatomists had a very poor idea
142
352000
3000
解剖学者はほんの最近まで 肺の構造について
06:10
of the structure of the lung until very recently.
143
355000
3000
つたない考えしか 持っていなかったのです
06:13
And I think that my mathematics,
144
358000
2000
私の数学的な方法は
06:15
surprisingly enough,
145
360000
2000
驚いたことに
06:17
has been of great help
146
362000
2000
とても大きな役割を果たしました
06:19
to the surgeons
147
364000
2000
外科医は
06:21
studying lung illnesses
148
366000
2000
肺の疾患や
06:23
and also kidney illnesses,
149
368000
2000
腎臓疾患を研究していますが
06:25
all these branching systems,
150
370000
2000
このような枝分かれの形状をしているために
06:27
for which there was no geometry.
151
372000
3000
構造的に理解できないからです
06:30
So I found myself, in other words,
152
375000
2000
言い換えると
06:32
constructing a geometry,
153
377000
2000
幾何学を作り出した つまり
06:34
a geometry of things which had no geometry.
154
379000
3000
幾何構造を持たない対象のための 幾何学を発明したのです
06:37
And a surprising aspect of it
155
382000
2000
その驚くべき一面は
06:39
is that very often, the rules of this geometry
156
384000
3000
この幾何学の法則は
06:42
are extremely short.
157
387000
2000
とても短いことです
06:44
You have formulas that long.
158
389000
2000
あなたがたは長い式があるとき
06:46
And you crank it several times.
159
391000
2000
何度も展開してみるでしょう
06:48
Sometimes repeatedly: again, again, again,
160
393000
2000
ときには何度も何度も繰り返して
06:50
the same repetition.
161
395000
2000
同じ繰り返しをね
06:52
And at the end, you get things like that.
162
397000
2000
最終的にこのようなものを得るでしょう
06:54
This cloud is completely,
163
399000
2000
この雲は完全に
06:56
100 percent artificial.
164
401000
3000
100%人工的に作られました
06:59
Well, 99.9.
165
404000
2000
99.9%かな
07:01
And the only part which is natural
166
406000
2000
この中でたった一つ自然なことは
07:03
is a number, the roughness of the cloud,
167
408000
2000
雲の荒さを表す数字です
07:05
which is taken from nature.
168
410000
2000
自然界からもらった数字です
07:07
Something so complicated like a cloud,
169
412000
2000
雲のような複雑なものは
07:09
so unstable, so varying,
170
414000
2000
安定していなくて 変わりやすいですが
07:11
should have a simple rule behind it.
171
416000
3000
その裏側には単純な規則を持っているのです
07:14
Now this simple rule
172
419000
3000
この単純な規則は
07:17
is not an explanation of clouds.
173
422000
3000
雲を説明するためではありません
07:20
The seer of clouds had to
174
425000
2000
天気予報士は
07:22
take account of it.
175
427000
2000
その規則に注意しなければなりません
07:24
I don't know how much advanced
176
429000
3000
これらの絵がどれだけ進歩したのかわかりませんが
07:27
these pictures are. They're old.
177
432000
2000
古いものなのです
07:29
I was very much involved in it,
178
434000
2000
私はこのことにとても深く携わっていましたが
07:31
but then turned my attention to other phenomena.
179
436000
3000
他の現象にも注目するようになりました
07:34
Now, here is another thing
180
439000
2000
さて これは
07:36
which is rather interesting.
181
441000
3000
さらに面白いことです
07:39
One of the shattering events
182
444000
2000
数学を破壊したある事件は
07:41
in the history of mathematics,
183
446000
2000
数学の歴史の中で
07:43
which is not appreciated by many people,
184
448000
3000
多くの人には歓迎されませんでしたが
07:46
occurred about 130 years ago,
185
451000
2000
およそ130年前か
07:48
145 years ago.
186
453000
2000
145年前に起こりました
07:50
Mathematicians began to create
187
455000
2000
数学者たちが
07:52
shapes that didn't exist.
188
457000
2000
自然に存在し得ない形を 創造し始めたのです
07:54
Mathematicians got into self-praise
189
459000
3000
数学者は自画自賛しはじめました
07:57
to an extent which was absolutely amazing,
190
462000
2000
ある程度はすごいことだったのです
07:59
that man can invent things
191
464000
2000
人間が生み出すことができるということが
08:01
that nature did not know.
192
466000
2000
自然さえ知らないことをね
08:03
In particular, it could invent
193
468000
2000
とくに このようなものをつくり出しました
08:05
things like a curve which fills the plane.
194
470000
3000
平面を埋め尽くす曲線です
08:08
A curve's a curve, a plane's a plane,
195
473000
2000
曲線は曲線 平面は平面
08:10
and the two won't mix.
196
475000
2000
この2つは決して混じり合いません
08:12
Well, they do mix.
197
477000
2000
彼らはそれを組み合わせたのです
08:14
A man named Peano
198
479000
2000
ジュゼッペ・ペアノという人物が
08:16
did define such curves,
199
481000
2000
このような曲線を定義しました
08:18
and it became an object of extraordinary interest.
200
483000
3000
そして非常に興味深い図形となったのです
08:21
It was very important, but mostly interesting
201
486000
3000
それはとても重要で 面白いのは
08:24
because a kind of break,
202
489000
2000
数学の境界だったからです
08:26
a separation between
203
491000
2000
それは
08:28
the mathematics coming from reality, on the one hand,
204
493000
3000
現実から生み出したきた今までの数学と
08:31
and new mathematics coming from pure man's mind.
205
496000
3000
純粋に人間の思考が生み出した 新しい数学との
08:34
Well, I was very sorry to point out
206
499000
3000
このことを指摘することが残念なのですが
08:37
that the pure man's mind
207
502000
2000
純粋な人間の思考は
08:39
has, in fact,
208
504000
2000
実は
08:41
seen at long last
209
506000
2000
結局のところ
08:43
what had been seen for a long time.
210
508000
2000
長い間 見たことのあるものに基づいているのです
08:45
And so here I introduce something,
211
510000
2000
そしてこれは私が導入したもので
08:47
the set of rivers of a plane-filling curve.
212
512000
3000
平面充填曲線（ペアノ曲線）の流れの集合です
08:50
And well,
213
515000
2000
これも
08:52
it's a story unto itself.
214
517000
2000
それ自体に同じ説明が成り立ちます
08:54
So it was in 1875 to 1925,
215
519000
3000
1875年から1925年は
08:57
an extraordinary period
216
522000
2000
とても驚くべき時代でした
08:59
in which mathematics prepared itself to break out from the world.
217
524000
3000
世界中から突然に 数学が数学自体を作り始めたのです
09:02
And the objects which were used
218
527000
2000
そして 例えば
09:04
as examples, when I was
219
529000
2000
私がまだ
09:06
a child and a student, as examples
220
531000
2000
子どもで学生だったとき
09:08
of the break between mathematics
221
533000
3000
数学と 現実世界との間には
09:11
and visible reality --
222
536000
2000
このような研究対象が
09:13
those objects,
223
538000
2000
ありました
09:15
I turned them completely around.
224
540000
2000
私はこれらの周りを徹底的に研究したのです
09:17
I used them for describing
225
542000
2000
私はこれを説明するために
09:19
some of the aspects of the complexity of nature.
226
544000
3000
まったくもって複雑な自然の原理を用いました
09:22
Well, a man named Hausdorff in 1919
227
547000
3000
1919年にフェリックス・ハウスドルフという人物が
09:25
introduced a number which was just a mathematical joke,
228
550000
3000
単なる数学的な冗談としてある数字を 導入しました
09:28
and I found that this number
229
553000
2000
そして私はこの数字が
09:30
was a good measurement of roughness.
230
555000
2000
荒さを良く表すものだと発見したのです
09:32
When I first told it to my friends in mathematics
231
557000
2000
数学者の友人らにそのことを話したとき
09:34
they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."
232
559000
3000
『ばかなことを言うな。ただの数字だろう』と言われました
09:37
Well actually, I was not silly.
233
562000
3000
実際 私はばかげてなどいませんでした
09:40
The great painter Hokusai knew it very well.
234
565000
3000
画家の北斎はそのことをとても良く知っていました
09:43
The things on the ground are algae.
235
568000
2000
地面にあるのは藻です
09:45
He did not know the mathematics; it didn't yet exist.
236
570000
3000
彼は数学は知らなかったでしょう 存在さえしていませんでした
09:48
And he was Japanese who had no contact with the West.
237
573000
3000
それに彼は日本人で 西洋とのつながりは持っていませんでした
09:51
But painting for a long time had a fractal side.
238
576000
3000
しかし 浮世絵は長いことフラクタルと 同じ性質を持っていました
09:54
I could speak of that for a long time.
239
579000
2000
私はそのことをいくらでも話すことができます
09:56
The Eiffel Tower has a fractal aspect.
240
581000
3000
エッフェル塔もフラクタルの性質を持っています
09:59
I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,
241
584000
3000
エッフェル塔についての ギュスターブ・エッフェルの本を読んだことがありますが
10:02
and indeed it was astonishing how much he understood.
242
587000
3000
彼がとても良く理解していたことに 本当に驚きました
10:05
This is a mess, mess, mess, Brownian loop.
243
590000
3000
これはとてもぐちゃぐちゃな ブラウン運動がつくる軌跡です
10:08
One day I decided --
244
593000
2000
あるとき
10:10
halfway through my career,
245
595000
2000
私の学者としての半ばで
10:12
I was held by so many things in my work --
246
597000
3000
たくさんの仕事を持ちすぎていたので
10:15
I decided to test myself.
247
600000
3000
私自身を試してみることにしました
10:18
Could I just look at something
248
603000
2000
私はただ見ることができるだろうか
10:20
which everybody had been looking at for a long time
249
605000
3000
だれもが長いあいだ見ているものを
10:23
and find something dramatically new?
250
608000
3000
そして飛躍的に 新しいことを見つけることができるだろうかと
10:26
Well, so I looked at these
251
611000
3000
そして私はこれらを見ていたのです
10:29
things called Brownian motion -- just goes around.
252
614000
3000
ブラウン運動と呼ばれる軌跡 単にさまよっているようです
10:32
I played with it for a while,
253
617000
2000
しばらくの間 それにいたずらをしてみて
10:34
and I made it return to the origin.
254
619000
3000
元に戻したのです
10:37
Then I was telling my assistant,
255
622000
2000
そして助手に言いました
10:39
"I don't see anything. Can you paint it?"
256
624000
2000
『私は何も見えない 君 描けるかい』
10:41
So he painted it, which means
257
626000
2000
彼はそれを描きました つまり
10:43
he put inside everything. He said:
258
628000
2000
すべて塗りつぶしたのです 彼はこう言いました
10:45
"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!
259
630000
3000
『ええと こういう結果になりました』 そのとき私はこう言いました『ちょっと待った
10:48
I see; it's an island."
260
633000
3000
私には島が見える』
10:51
And amazing.
261
636000
2000
驚きました
10:53
So Brownian motion, which happens to have
262
638000
2000
ブラウン運動は
10:55
a roughness number of two, goes around.
263
640000
3000
荒さ2の数値を持って動き回っていたのです
10:58
I measured it, 1.33.
264
643000
2000
私が測ると1.33でした
11:00
Again, again, again.
265
645000
2000
さらに何度も測りました
11:02
Long measurements, big Brownian motions,
266
647000
2000
長い計測の結果 大きなブラウン運動は
11:04
1.33.
267
649000
2000
1.33でした
11:06
Mathematical problem: how to prove it?
268
651000
3000
数学の問題が発生します どうやって証明するか
11:09
It took my friends 20 years.
269
654000
3000
私の友人らが20年かけて 成し遂げました
11:12
Three of them were having incomplete proofs.
270
657000
3000
そのうち3人は不完全な証明でしたが
11:15
They got together, and together they had the proof.
271
660000
3000
それを寄せ集めて 証明を得たのです
11:19
So they got the big [Fields] medal in mathematics,
272
664000
3000
彼らは数学の権威ある賞（フィールズ賞）を勝ち取り
11:22
one of the three medals that people have received
273
667000
2000
その中の1人は
11:24
for proving things which I've seen
274
669000
3000
ある証明をして賞を受け取りました
11:27
without being able to prove them.
275
672000
3000
私が証明できなかったことを
11:30
Now everybody asks me at one point or another,
276
675000
3000
いまではみんなが私にこう尋ねます
11:33
"How did it all start?
277
678000
2000
『どうやってそれを始めたんですか
11:35
What got you in that strange business?"
278
680000
3000
どうしてそんなおかしな問題に取り組んだのですか』
11:38
What got you to be,
279
683000
2000
何が私をそうさせたのかというと
11:40
at the same time, a mechanical engineer,
280
685000
2000
同時に 機械のエンジニアであり
11:42
a geographer
281
687000
2000
地理学者であり
11:44
and a mathematician and so on, a physicist?
282
689000
2000
数学者であり それから物理学者でもあるかな
11:46
Well actually I started, oddly enough,
283
691000
3000
実は 不思議なことに
11:49
studying stock market prices.
284
694000
2000
株式相場を研究し始めたからなのです
11:51
And so here
285
696000
2000
そしてここに
11:53
I had this theory,
286
698000
3000
学説を立てました
11:56
and I wrote books about it --
287
701000
2000
また それについて本を書きました
11:58
financial prices increments.
288
703000
2000
金融価格の増加について
12:00
To the left you see data over a long period.
289
705000
2000
左上には長期間のデータがあります
12:02
To the right, on top,
290
707000
2000
右手の一番上には
12:04
you see a theory which is very, very fashionable.
291
709000
3000
とっても流行りの理論が見えるでしょう
12:07
It was very easy, and you can write many books very fast about it.
292
712000
3000
とても簡単なので とても早くたくさんの本を書けますよ
12:10
(Laughter)
293
715000
2000
（笑）
12:12
There are thousands of books on that.
294
717000
3000
これに関する本はたくさんあります
12:15
Now compare that with real price increments.
295
720000
3000
では 実価格上昇と比べてみましょう
12:18
Where are real price increments?
296
723000
2000
どれが実価格上昇でしょうか
12:20
Well, these other lines
297
725000
2000
これら他のグラフ線は
12:22
include some real price increments
298
727000
2000
いくつかの実価格上昇のデータと
12:24
and some forgery which I did.
299
729000
2000
私がねつ造したデータを含んでいます
12:26
So the idea there was
300
731000
2000
そこにある考えを
12:28
that one must be able to -- how do you say? --
301
733000
2000
そのグラフは どう言うでしょう
12:30
model price variation.
302
735000
3000
価格変動をモデル化できるということです
12:33
And it went really well 50 years ago.
303
738000
3000
それは50年前にうまくできました
12:36
For 50 years, people were sort of pooh-poohing me
304
741000
3000
50年間 人々は私をばかにしていました
12:39
because they could do it much, much easier.
305
744000
2000
なぜなら 彼らはより簡単にやってのけたからです
12:41
But I tell you, at this point, people listened to me.
306
746000
3000
しかし話をしている現時点では みなさんは私の話を聞いています
12:44
(Laughter)
307
749000
2000
（笑）
12:46
These two curves are averages:
308
751000
2000
この2つの線は平均を表しています
12:48
Standard & Poor, the blue one;
309
753000
2000
青線はスタンダード&プアーズ
12:50
and the red one is Standard & Poor's
310
755000
2000
赤線はスタンダード&プアーズから
12:52
from which the five biggest discontinuities
311
757000
3000
寄与しない5つの不連続データを
12:55
are taken out.
312
760000
2000
取り除いたものです
12:57
Now discontinuities are a nuisance,
313
762000
2000
不連続はやっかいものです
12:59
so in many studies of prices,
314
764000
3000
多くの価格研究では
13:02
one puts them aside.
315
767000
2000
それは取り除かれます
13:04
"Well, acts of God.
316
769000
2000
『神の仕業だ
13:06
And you have the little nonsense which is left.
317
771000
3000
それを取り除いたとき 少ししか意味をなさないものになる
13:09
Acts of God." In this picture,
318
774000
3000
神の仕業』 このグラフでは
13:12
five acts of God are as important as everything else.
319
777000
3000
5つの神の仕業がほかのすべてと同じくらい重要なのです
13:15
In other words,
320
780000
2000
言い換えると
13:17
it is not acts of God that we should put aside.
321
782000
2000
取り除いた行為は 神の仕業ではないのです
13:19
That is the meat, the problem.
322
784000
3000
それこそが要点であり 問題なのです
13:22
If you master these, you master price,
323
787000
3000
これらに精通すれば 価格を支配できるでしょう
13:25
and if you don't master these, you can master
324
790000
2000
もし精通できないのならば
13:27
the little noise as well as you can,
325
792000
2000
不要な情報だけを自由に操ることができます
13:29
but it's not important.
326
794000
2000
しかしそれは重要でないのです
13:31
Well, here are the curves for it.
327
796000
2000
これはそのためのグラフです
13:33
Now, I get to the final thing, which is the set
328
798000
2000
では最後の問題に取りかかりましょう
13:35
of which my name is attached.
329
800000
2000
私の名前が付けられた集合です
13:37
In a way, it's the story of my life.
330
802000
2000
ある意味では 私の人生そのものです
13:39
My adolescence was spent
331
804000
2000
私の青年期は
13:41
during the German occupation of France.
332
806000
2000
フランスに占領されたドイツで過ごしました
13:43
Since I thought that I might
333
808000
3000
1日か1週間のうちに 私が消えて
13:46
vanish within a day or a week,
334
811000
3000
いなくなってしまうのではないかと考えていたので
13:49
I had very big dreams.
335
814000
3000
とても大きな夢を持っていました
13:52
And after the war,
336
817000
2000
戦争の後
13:54
I saw an uncle again.
337
819000
2000
叔父に再び会いました
13:56
My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,
338
821000
2000
叔父はとても著名な数学者で 私にこう言いました
13:58
"Look, there's a problem
339
823000
2000
『ほら ここに問題がある
14:00
which I could not solve 25 years ago,
340
825000
2000
私が25年前に解けなかった問題だ
14:02
and which nobody can solve.
341
827000
2000
そして誰も解けない
14:04
This is a construction of a man named [Gaston] Julia
342
829000
2000
これはガストン・ジュリアと
14:06
and [Pierre] Fatou.
343
831000
2000
ピエール・ファトウの作図問題だ
14:08
If you could
344
833000
2000
もし君が
14:10
find something new, anything,
345
835000
2000
何か新しいことを発見できれば
14:12
you will get your career made."
346
837000
2000
君自身の仕事をつくることができるだろう』
14:14
Very simple.
347
839000
2000
とても単純な問題でした
14:16
So I looked,
348
841000
2000
その問題を見ましたが
14:18
and like the thousands of people that had tried before,
349
843000
2000
何人もの人が今までに挑戦してきたように
14:20
I found nothing.
350
845000
3000
何も見つけられませんでした
14:23
But then the computer came,
351
848000
2000
しばらくしてコンピュータが登場しました
14:25
and I decided to apply the computer,
352
850000
2000
私はコンピュータに応用することにしました
14:27
not to new problems in mathematics --
353
852000
3000
数学にとっては新しい問題ではありませんが
14:30
like this wiggle wiggle, that's a new problem --
354
855000
2000
これを揺り動かすと新しい問題になります
14:32
but to old problems.
355
857000
2000
古い問題に適用したのです
14:34
And I went from what's called
356
859000
2000
そして
14:36
real numbers, which are points on a line,
357
861000
2000
実線上の点の実数から
14:38
to imaginary, complex numbers,
358
863000
2000
虚数へと拡張しました
14:40
which are points on a plane,
359
865000
2000
それは平面上の点であり
14:42
which is what one should do there,
360
867000
2000
そこにあるべきものです
14:44
and this shape came out.
361
869000
2000
そしてこの形が現れました
14:46
This shape is of an extraordinary complication.
362
871000
3000
これはとても異常に複雑な形をしています
14:49
The equation is hidden there,
363
874000
2000
方程式はここに隠されています
14:51
z goes into z squared, plus c.
364
876000
3000
zから2乗足すcへの写像
14:54
It's so simple, so dry.
365
879000
2000
とても単純で飾り気のないものです
14:56
It's so uninteresting.
366
881000
2000
それほどおもしろくもありません
14:58
Now you turn the crank once, twice:
367
883000
3000
クランクを1回 2回
15:01
twice,
368
886000
3000
2回まわしてみましょう
15:04
marvels come out.
369
889000
2000
不思議な形が現れます
15:06
I mean this comes out.
370
891000
2000
これが現れたのです
15:08
I don't want to explain these things.
371
893000
2000
これらの図形のことはあまり説明したくありません
15:10
This comes out. This comes out.
372
895000
2000
この図形が現れ これも現れました
15:12
Shapes which are of such complication,
373
897000
2000
このように複雑で
15:14
such harmony and such beauty.
374
899000
3000
調和がとれていて美しい図形です
15:17
This comes out
375
902000
2000
これは
15:19
repeatedly, again, again, again.
376
904000
2000
何度も繰り返して現れます
15:21
And that was one of my major discoveries,
377
906000
2000
私の主要な発見のひとつは
15:23
to find that these islands were the same
378
908000
2000
これらの島は
15:25
as the whole big thing, more or less.
379
910000
2000
ひとかたまりの大きい図形と ほぼ同じことを見つけたことです
15:27
And then you get these
380
912000
2000
そしてこれらの
15:29
extraordinary baroque decorations all over the place.
381
914000
3000
とても風変わりな装飾が あらゆるところにあります
15:32
All that from this little formula,
382
917000
3000
これらのすべては この短い式から得られます
15:35
which has whatever, five symbols in it.
383
920000
3000
その式は5つの記号しかありません
15:38
And then this one.
384
923000
2000
これを見てください
15:40
The color was added for two reasons.
385
925000
2000
色付けは2つの理由で加えられました
15:42
First of all, because these shapes
386
927000
2000
一つ目は これらの形が
15:44
are so complicated
387
929000
3000
とても複雑なので
15:47
that one couldn't make any sense of the numbers.
388
932000
3000
数字の意味を理解できないからです
15:50
And if you plot them, you must choose some system.
389
935000
3000
図面を作ろうとするとき 形式を選ばなければなりません
15:53
And so my principle has been
390
938000
2000
私の方針は
15:55
to always present the shapes
391
940000
3000
図形を表すことにしています
15:58
with different colorings
392
943000
2000
常に異なる色で
16:00
because some colorings emphasize that,
393
945000
2000
色づけは形を強調させ
16:02
and others it is that or that.
394
947000
2000
印象付けられるからです
16:04
It's so complicated.
395
949000
2000
とても複雑ですね
16:06
(Laughter)
396
951000
2000
（笑）
16:08
In 1990, I was in Cambridge, U.K.
397
953000
2000
1990年 私はイギリス・ケンブリッジにいました
16:10
to receive a prize from the university,
398
955000
3000
大学からの賞を受け取るために
16:13
and three days later,
399
958000
2000
それから3年後
16:15
a pilot was flying over the landscape and found this thing.
400
960000
3000
パイロットがある地域の上空を飛んでいて これを見つけました
16:18
So where did this come from?
401
963000
2000
これはどこから来たのでしょう
16:20
Obviously, from extraterrestrials.
402
965000
2000
明らかに 地球外の生物からですね
16:22
(Laughter)
403
967000
3000
（笑）
16:25
Well, so the newspaper in Cambridge
404
970000
2000
ケンブリッジの新聞が
16:27
published an article about that "discovery"
405
972000
2000
その『発見』についての記事を書き
16:29
and received the next day
406
974000
2000
翌日
16:31
5,000 letters from people saying,
407
976000
2000
5千を超える手紙を受け取りました
16:33
"But that's simply a Mandelbrot set very big."
408
978000
3000
『あれは単に とても大きいマンデルブロ集合だ』
16:37
Well, let me finish.
409
982000
2000
それでは終わりにしましょう
16:39
This shape here just came
410
984000
2000
この図形は
16:41
out of an exercise in pure mathematics.
411
986000
2000
純粋数学の訓練から得ました
16:43
Bottomless wonders spring from simple rules,
412
988000
3000
無限の不思議は 単純な規則から生まれ
16:46
which are repeated without end.
413
991000
3000
終わりなく繰り返す
16:49
Thank you very much.
414
994000
2000
どうもありがとう
16:51
(Applause)
415
996000
11000
（拍手）
ABOUT THE SPEAKER
Benoit Mandelbrot - MathematicianBenoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works.
Why you should listen
Studying complex dynamics in the 1970s, Benoit Mandelbrot had a key insight about a particular set of mathematical objects: that these self-similar structures with infinitely repeating complexities were not just curiosities, as they'd been considered since the turn of the century, but were in fact a key to explaining non-smooth objects and complex data sets -- which make up, let's face it, quite a lot of the world. Mandelbrot coined the term "fractal" to describe these objects, and set about sharing his insight with the world.
The Mandelbrot set (expressed as z² + c) was named in Mandelbrot's honor by Adrien Douady and John H. Hubbard. Its boundary can be magnified infinitely and yet remain magnificently complicated, and its elegant shape made it a poster child for the popular understanding of fractals. Led by Mandelbrot's enthusiastic work, fractal math has brought new insight to the study of pretty much everything, from the behavior of stocks to the distribution of stars in the universe.
Benoit Mandelbrot appeared at the first TED in 1984, and returned in 2010 to give an overview of the study of fractals and the paradigm-flipping insights they've brought to many fields. He died in October 2010 at age 85. Read more about his life on NYBooks.com >>
Benoit Mandelbrot | Speaker | TED.com