TED2010
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness
Benoit Mandelbrot: Fractais e a arte da rugosidade
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No TED2010, Benoit Mandelbrot, a lenda da matemática, desenvolve um tema originalmente discutido no TED em 1984: a extrema complexidade da rugosidade, e a forma como a matemática dos fractais pode encontrar ordem em padrões que parecem indecifravelmente complicados.
Benoit Mandelbrot - Mathematician
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works. Full bio
Benoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works. Full bio
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00:15
Thank you very much.
0
0
2000
Muito obrigado.
00:17
Please excuse me for sitting; I'm very old.
1
2000
3000
Desculpem-me, por favor, por me sentar; eu estou muito velho.
00:20
(Laughter)
2
5000
2000
(Risos)
00:22
Well, the topic I'm going to discuss
3
7000
2000
Bem, o tema sobre o qual vou discutir
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is one which is, in a certain sense, very peculiar
4
9000
3000
é um que, em certa medida, é muito peculiar
00:27
because it's very old.
5
12000
2000
porque é muito antigo.
00:29
Roughness is part of human life
6
14000
3000
A rugosidade é parte da vida humana
00:32
forever and forever,
7
17000
2000
desde sempre.
00:34
and ancient authors have written about it.
8
19000
3000
E autores antigos escreveram sobre ela.
00:37
It was very much uncontrollable,
9
22000
2000
Era incontrolável.
00:39
and in a certain sense,
10
24000
2000
E, de certa forma,
00:41
it seemed to be the extreme of complexity,
11
26000
3000
parecia ser de extrema complexidade,
00:44
just a mess, a mess and a mess.
12
29000
2000
uma confusão, confusão e mais confusão.
00:46
There are many different kinds of mess.
13
31000
2000
Existem diferentes tipos de confusão.
00:48
Now, in fact,
14
33000
2000
Na verdade,
00:50
by a complete fluke,
15
35000
2000
por uma completa casualidade,
00:52
I got involved many years ago
16
37000
3000
eu acabei envolvido há muitos anos atrás
00:55
in a study of this form of complexity,
17
40000
3000
no estudo dessa forma de complexidade.
00:58
and to my utter amazement,
18
43000
2000
E para meu grande prazer,
01:00
I found traces --
19
45000
2000
encontrei vestígios,
01:02
very strong traces, I must say --
20
47000
2000
vestígios muito fortes, devo dizer,
01:04
of order in that roughness.
21
49000
3000
de ordem na rugosidade.
01:07
And so today, I would like to present to you
22
52000
2000
Assim, hoje eu gostaria de vos apresentar
01:09
a few examples
23
54000
2000
alguns exemplos
01:11
of what this represents.
24
56000
2000
do que isso representa.
01:13
I prefer the word roughness
25
58000
2000
Eu prefiro a palavra "rugosidade"
01:15
to the word irregularity
26
60000
2000
em comparação com a palavra "irregularidade"
01:17
because irregularity --
27
62000
2000
porque irregularidade,
01:19
to someone who had Latin
28
64000
2000
para alguém que aprendeu Latim
01:21
in my long-past youth --
29
66000
2000
na minha distante juventude,
01:23
means the contrary of regularity.
30
68000
2000
significa o contrário de regularidade.
01:25
But it is not so.
31
70000
2000
Mas não é bem assim.
01:27
Regularity is the contrary of roughness
32
72000
3000
Regularidade é o contrário de rugosidade
01:30
because the basic aspect of the world
33
75000
2000
porque o aspecto básico do mundo
01:32
is very rough.
34
77000
2000
é muito rugoso.
01:34
So let me show you a few objects.
35
79000
3000
Portanto permitam-me mostrar-vos alguns objectos.
01:37
Some of them are artificial.
36
82000
2000
Alguns deles são artificiais.
01:39
Others of them are very real, in a certain sense.
37
84000
3000
Outros são muito reais, de certo modo.
01:42
Now this is the real. It's a cauliflower.
38
87000
3000
Este por exemplo é real. É uma couve-flor.
01:45
Now why do I show a cauliflower,
39
90000
3000
Agora, porque vos mostro eu uma couve-flor,
01:48
a very ordinary and ancient vegetable?
40
93000
3000
um legume normal e antigo?
01:51
Because old and ancient as it may be,
41
96000
3000
Porque ainda que seja antigo,
01:54
it's very complicated and it's very simple,
42
99000
3000
é muito complicado e muito simples,
01:57
both at the same time.
43
102000
2000
e ambos ao mesmo tempo.
01:59
If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,
44
104000
3000
Se o tentarem pesar, com certeza que é muito fácil o fazer.
02:02
and when you eat it, the weight matters --
45
107000
3000
E quando o comem, o peso importa.
02:05
but suppose you try to
46
110000
3000
Mas suponhamos que vocês tentam
02:08
measure its surface.
47
113000
2000
medir a sua superfície.
02:10
Well, it's very interesting.
48
115000
2000
Bem, é muito interessante.
02:12
If you cut, with a sharp knife,
49
117000
3000
Se cortarem, com uma faca afiada,
02:15
one of the florets of a cauliflower
50
120000
2000
um dos pedaços da couve-flor
02:17
and look at it separately,
51
122000
2000
e olharem para ele separadamente,
02:19
you think of a whole cauliflower, but smaller.
52
124000
3000
ele parece-se com uma couve-flor inteira, mas menor.
02:22
And then you cut again,
53
127000
2000
E depois cortam novamente,
02:24
again, again, again, again, again, again, again, again,
54
129000
3000
e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente.
02:27
and you still get small cauliflowers.
55
132000
2000
E continuam a obter pequenas couves-flor.
02:29
So the experience of humanity
56
134000
2000
Portanto, a experiência da Humanidade
02:31
has always been that there are some shapes
57
136000
3000
foi sempre ter a noção de que haviam certas formas
02:34
which have this peculiar property,
58
139000
2000
com esta propriedade peculiar,
02:36
that each part is like the whole,
59
141000
3000
em que cada parte é como o todo,
02:39
but smaller.
60
144000
2000
mas menor.
02:41
Now, what did humanity do with that?
61
146000
3000
E então, o que fez a Humanidade com isso?
02:44
Very, very little.
62
149000
3000
Muito, muito pouco.
02:47
(Laughter)
63
152000
3000
(Risos)
02:50
So what I did actually is to
64
155000
3000
Portanto, o que eu fiz na realidade foi
02:53
study this problem,
65
158000
3000
estudar este problema,
02:56
and I found something quite surprising.
66
161000
3000
e encontrei algo bastante surpreendente.
02:59
That one can measure roughness
67
164000
3000
É possível medir a rugosidade
03:02
by a number, a number,
68
167000
3000
através de um número, um número,
03:05
2.3, 1.2 and sometimes much more.
69
170000
3000
2,3, 1,2 e algumas vezes muito mais.
03:08
One day, a friend of mine,
70
173000
2000
Um dia, um amigo meu,
03:10
to bug me,
71
175000
2000
para me provocar,
03:12
brought a picture and said,
72
177000
2000
trouxe-me uma figura, e disse,
03:14
"What is the roughness of this curve?"
73
179000
2000
"Qual é a rugosidade desta curva?"
03:16
I said, "Well, just short of 1.5."
74
181000
3000
Eu disse, "Bem, um pouco abaixo de 1,5."
03:19
It was 1.48.
75
184000
2000
Era 1,48.
03:21
Now, it didn't take me any time.
76
186000
2000
Bem, não demorei nada a responder.
03:23
I've been looking at these things for so long.
77
188000
2000
Eu tenho andado a olhar para estas coisas há tanto tempo.
03:25
So these numbers are the numbers
78
190000
2000
Então, esses números são números
03:27
which denote the roughness of these surfaces.
79
192000
3000
que representam a rugosidade dessas superfícies.
03:30
I hasten to say that these surfaces
80
195000
2000
Eu digo-vos já que estas superfícies
03:32
are completely artificial.
81
197000
2000
são completamente artificiais.
03:34
They were done on a computer,
82
199000
2000
Foram feitas através de um computador.
03:36
and the only input is a number,
83
201000
2000
E o único parâmetro de entrada é um número.
03:38
and that number is roughness.
84
203000
3000
E esse número é a rugosidade.
03:41
So on the left,
85
206000
2000
E então no lado esquerdo,
03:43
I took the roughness copied from many landscapes.
86
208000
3000
eu usei a rugosidade retirada de muitas paisagens.
03:46
To the right, I took a higher roughness.
87
211000
3000
À direita, eu usei uma rugosidade maior.
03:49
So the eye, after a while,
88
214000
2000
Os olhos, após algum tempo,
03:51
can distinguish these two very well.
89
216000
3000
conseguem muito bem distinguir ambas.
03:54
Humanity had to learn about measuring roughness.
90
219000
2000
A Humanidade teve que aprender como medir rugosidades.
03:56
This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.
91
221000
3000
Isto é muito rugoso, e isto é mais macio, e isto é perfeitamente macio.
03:59
Very few things are very smooth.
92
224000
3000
Pouquíssimas coisas são muito macias.
04:03
So then if you try to ask questions:
93
228000
3000
Portanto, se tentarem responder a questões do tipo:
04:06
"What's the surface of a cauliflower?"
94
231000
2000
qual é a superfície de uma couve-flor?
04:08
Well, you measure and measure and measure.
95
233000
3000
Bem, medem e medem e medem.
04:11
Each time you're closer, it gets bigger,
96
236000
3000
Quanto mais se aproximam, maior ela se torna,
04:14
down to very, very small distances.
97
239000
2000
até distâncias muito, muito pequenas.
04:16
What's the length of the coastline
98
241000
2000
Qual é o comprimento da linha de costa
04:18
of these lakes?
99
243000
2000
destes lagos?
04:20
The closer you measure, the longer it is.
100
245000
3000
Quanto mais perto se mede, maior é o comprimento.
04:23
The concept of length of coastline,
101
248000
2000
O conceito de comprimento de uma costa,
04:25
which seems to be so natural
102
250000
2000
que parece ser algo tão natural
04:27
because it's given in many cases,
103
252000
2000
uma vez que é dado em muitos casos,
04:29
is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.
104
254000
3000
é, na verdade, completamente falacioso; não existe tal coisa.
04:32
You must do it differently.
105
257000
3000
É preciso proceder de forma diferente.
04:35
What good is that, to know these things?
106
260000
2000
Qual a vantagem de conhecer estas coisas?
04:37
Well, surprisingly enough,
107
262000
2000
Bem, surpreendentemente,
04:39
it's good in many ways.
108
264000
2000
é importante de variadas formas.
04:41
To begin with, artificial landscapes,
109
266000
2000
Para começar, paisagens artificiais,
04:43
which I invented sort of,
110
268000
2000
conceito que, de certa forma, inventei,
04:45
are used in cinema all the time.
111
270000
3000
são usadas no cinema variadas vezes.
04:48
We see mountains in the distance.
112
273000
2000
Nós vemos montanhas à distância.
04:50
They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.
113
275000
3000
Podem ser mesmo montanhas, mas podem ser simplesmente fórmulas matemáticas.
04:53
Now it's very easy to do.
114
278000
2000
Agora é muito fácil fazê-las.
04:55
It used to be very time-consuming, but now it's nothing.
115
280000
3000
Antes costumava consumir imenso tempo, mas agora não custa nada.
04:58
Now look at that. That's a real lung.
116
283000
3000
Agora olhem para aquilo. Aquilo é um pulmão real.
05:01
Now a lung is something very strange.
117
286000
2000
Um pulmão é algo muito estranho.
05:03
If you take this thing,
118
288000
2000
Se segurarem um,
05:05
you know very well it weighs very little.
119
290000
3000
vocês verão o quão leve é.
05:08
The volume of a lung is very small,
120
293000
2000
O volume de um pulmão é muito pequeno.
05:10
but what about the area of the lung?
121
295000
3000
E a área de um pulmão?
05:13
Anatomists were arguing very much about that.
122
298000
3000
Os anatomistas discutiam muito sobre isso.
05:16
Some say that a normal male's lung
123
301000
3000
Alguns dizem que um pulmão masculino
05:19
has an area of the inside
124
304000
2000
tem a mesma área que o interior
05:21
of a basketball [court].
125
306000
2000
que uma bola de basquete.
05:23
And the others say, no, five basketball [courts].
126
308000
3000
E outros dizem, não, 5 bolas de basquete.
05:27
Enormous disagreements.
127
312000
2000
Grandes discordâncias.
05:29
Why so? Because, in fact, the area of the lung
128
314000
3000
E porquê? Porque, na verdade, a área de um pulmão
05:32
is something very ill-defined.
129
317000
2000
é algo mal definido.
05:35
The bronchi branch, branch, branch
130
320000
3000
Os brônquios dividem-se, dividem-se, dividem-se.
05:38
and they stop branching,
131
323000
3000
E então deixam de se dividir,
05:41
not because of any matter of principle,
132
326000
3000
não devido a alguma questão de princípio,
05:44
but because of physical considerations:
133
329000
3000
mas devido a questões físicas,
05:47
the mucus, which is in the lung.
134
332000
3000
o muco, que está no pulmão.
05:50
So what happens is that in a way
135
335000
2000
O que acontece é que essa é a forma
05:52
you have a much bigger lung,
136
337000
2000
de se conseguir um pulmão maior,
05:54
but it branches and branches
137
339000
2000
mas se ele se divide e divide,
05:56
down to distances about the same for a whale, for a man
138
341000
3000
até distâncias que são as mesmas para uma baleia, para um homem
05:59
and for a little rodent.
139
344000
2000
ou para um pequeno roedor.
06:02
Now, what good is it to have that?
140
347000
3000
Agora, qual será a vantagem de ocorrer isso?
06:05
Well, surprisingly enough, amazingly enough,
141
350000
2000
Bem, surpreendentemente, curiosamente,
06:07
the anatomists had a very poor idea
142
352000
3000
os anatomistas tinham uma ideia muito pouco clara
06:10
of the structure of the lung until very recently.
143
355000
3000
da estrutura do pulmão até muito recentemente.
06:13
And I think that my mathematics,
144
358000
2000
E eu penso que a minha matemática,
06:15
surprisingly enough,
145
360000
2000
surpreendentemente,
06:17
has been of great help
146
362000
2000
foi de grande ajuda
06:19
to the surgeons
147
364000
2000
aos cirurgiões
06:21
studying lung illnesses
148
366000
2000
que estudam as doenças do pulmão
06:23
and also kidney illnesses,
149
368000
2000
e também as doenças do rim,
06:25
all these branching systems,
150
370000
2000
todos esses sistemas que se ramificam,
06:27
for which there was no geometry.
151
372000
3000
para os quais não havia nenhuma geometria própria.
06:30
So I found myself, in other words,
152
375000
2000
E eu acabei por me encontrar, por outras palavras,
06:32
constructing a geometry,
153
377000
2000
a construir essa geometria,
06:34
a geometry of things which had no geometry.
154
379000
3000
uma geometria de coisas que não tinham geometria.
06:37
And a surprising aspect of it
155
382000
2000
E um aspecto surpreendente disto
06:39
is that very often, the rules of this geometry
156
384000
3000
é que, muito frequentemente, as regras desta geometria
06:42
are extremely short.
157
387000
2000
são extremamente curtas.
06:44
You have formulas that long.
158
389000
2000
Há fórmulas deste tamanho.
06:46
And you crank it several times.
159
391000
2000
E podem aplicá-las diversas vezes.
06:48
Sometimes repeatedly: again, again, again,
160
393000
2000
Às vezes repeditamente, de novo, de novo, de novo.
06:50
the same repetition.
161
395000
2000
A mesma repetição.
06:52
And at the end, you get things like that.
162
397000
2000
E no fim, obtêm coisas como esta.
06:54
This cloud is completely,
163
399000
2000
Esta nuvem é completamente,
06:56
100 percent artificial.
164
401000
3000
100 por cento artificial.
06:59
Well, 99.9.
165
404000
2000
Bem, 99,9 por cento.
07:01
And the only part which is natural
166
406000
2000
E a única parte que é natural
07:03
is a number, the roughness of the cloud,
167
408000
2000
é um número, a rugosidade da nuvem,
07:05
which is taken from nature.
168
410000
2000
que é retirado da natureza.
07:07
Something so complicated like a cloud,
169
412000
2000
Algo tão complicado como uma nuvem,
07:09
so unstable, so varying,
170
414000
2000
tão instável, tão variável,
07:11
should have a simple rule behind it.
171
416000
3000
deveria ter por detrás uma regra simples.
07:14
Now this simple rule
172
419000
3000
Essa regra simples
07:17
is not an explanation of clouds.
173
422000
3000
não é uma explicação sobre nuvens.
07:20
The seer of clouds had to
174
425000
2000
Os observadores de nuvens têm
07:22
take account of it.
175
427000
2000
que cuidar dessa parte.
07:24
I don't know how much advanced
176
429000
3000
Eu não sei o quão avançadas
07:27
these pictures are. They're old.
177
432000
2000
são estas imagens, elas são antigas.
07:29
I was very much involved in it,
178
434000
2000
Eu estava muito envolvido nisto,
07:31
but then turned my attention to other phenomena.
179
436000
3000
mas depois acabei por virar a minha atenção para outros fenómenos.
07:34
Now, here is another thing
180
439000
2000
Agora, aqui está outra coisa
07:36
which is rather interesting.
181
441000
3000
que é muito interessante.
07:39
One of the shattering events
182
444000
2000
Um dos eventos mais perturbadores
07:41
in the history of mathematics,
183
446000
2000
na história da matemática,
07:43
which is not appreciated by many people,
184
448000
3000
e que não é valorizado por muitas pessoas,
07:46
occurred about 130 years ago,
185
451000
2000
ocorreu há cerca de 130,
07:48
145 years ago.
186
453000
2000
145 anos atrás.
07:50
Mathematicians began to create
187
455000
2000
Os matemáticos começaram a criar
07:52
shapes that didn't exist.
188
457000
2000
formas que não existiam.
07:54
Mathematicians got into self-praise
189
459000
3000
Os matemáticos auto-elogiavam-se
07:57
to an extent which was absolutely amazing,
190
462000
2000
por ser absolutamente incrível
07:59
that man can invent things
191
464000
2000
que o ser humano pudesse inventar coisas
08:01
that nature did not know.
192
466000
2000
que a natureza não conhecia.
08:03
In particular, it could invent
193
468000
2000
Em particular, podia inventar coisas
08:05
things like a curve which fills the plane.
194
470000
3000
como uma curva capaz de preencher totalmente o plano.
08:08
A curve's a curve, a plane's a plane,
195
473000
2000
Uma curva é uma curva, um plano é um plano,
08:10
and the two won't mix.
196
475000
2000
e as duas coisas não se misturaravam.
08:12
Well, they do mix.
197
477000
2000
Bem, elas misturam-se.
08:14
A man named Peano
198
479000
2000
Um homem chamado Peano
08:16
did define such curves,
199
481000
2000
chegou a definir essas curvas,
08:18
and it became an object of extraordinary interest.
200
483000
3000
que se tornaram objecto de um interesse extraordinário.
08:21
It was very important, but mostly interesting
201
486000
3000
Era muito importante, mas acima de tudo interessante
08:24
because a kind of break,
202
489000
2000
porque era uma espécie de quebra,
08:26
a separation between
203
491000
2000
uma separação, entre
08:28
the mathematics coming from reality, on the one hand,
204
493000
3000
a matemática proveniente da realidade, por um lado,
08:31
and new mathematics coming from pure man's mind.
205
496000
3000
e a nova matemática proveniente totalmente da mente humana.
08:34
Well, I was very sorry to point out
206
499000
3000
Bem, eu senti muito em indicar
08:37
that the pure man's mind
207
502000
2000
que a mente humana
08:39
has, in fact,
208
504000
2000
viu, na verdade,
08:41
seen at long last
209
506000
2000
finalmente
08:43
what had been seen for a long time.
210
508000
2000
o que já era visível há muito tempo.
08:45
And so here I introduce something,
211
510000
2000
E então aqui eu introduzo algo,
08:47
the set of rivers of a plane-filling curve.
212
512000
3000
o conjunto de rios de uma curva que enche o plano.
08:50
And well,
213
515000
2000
E, bem,
08:52
it's a story unto itself.
214
517000
2000
esta é uma história em si mesma.
08:54
So it was in 1875 to 1925,
215
519000
3000
Então, de 1875 a 1925,
08:57
an extraordinary period
216
522000
2000
foi um período extraordinário
08:59
in which mathematics prepared itself to break out from the world.
217
524000
3000
durante o qual a matemática se preparou para se libertar do mundo.
09:02
And the objects which were used
218
527000
2000
E os objectos que foram usados
09:04
as examples, when I was
219
529000
2000
como exemplos, quando eu era
09:06
a child and a student, as examples
220
531000
2000
uma criança e um estudante,
09:08
of the break between mathematics
221
533000
3000
da quebra entre a matemática
09:11
and visible reality --
222
536000
2000
e a realidade visível,
09:13
those objects,
223
538000
2000
aqueles objectos,
09:15
I turned them completely around.
224
540000
2000
transformei-os completamente.
09:17
I used them for describing
225
542000
2000
Utilizei-os para descrever
09:19
some of the aspects of the complexity of nature.
226
544000
3000
alguns dos aspectos da complexidade da natureza.
09:22
Well, a man named Hausdorff in 1919
227
547000
3000
Bem, um homem chamado Hausdorff, em 1919
09:25
introduced a number which was just a mathematical joke,
228
550000
3000
introduziu o conceito de um número que era como uma piada matemática.
09:28
and I found that this number
229
553000
2000
E eu descobri que esse número
09:30
was a good measurement of roughness.
230
555000
2000
constituía uma boa medida da rugosidade.
09:32
When I first told it to my friends in mathematics
231
557000
2000
Quando eu disse isso a primeira vez aos meus amigos matemáticos
09:34
they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."
232
559000
3000
eles disseram, "Não sejas tolo. Isso é uma tolice".
09:37
Well actually, I was not silly.
233
562000
3000
Bem, na verdade, eu não era tolo.
09:40
The great painter Hokusai knew it very well.
234
565000
3000
O grande pintor Hokusai sabia isso muito bem.
09:43
The things on the ground are algae.
235
568000
2000
As coisas no chão são algas.
09:45
He did not know the mathematics; it didn't yet exist.
236
570000
3000
Ele não conhecia a matemática, ela ainda nem sequer existia.
09:48
And he was Japanese who had no contact with the West.
237
573000
3000
E ele era um japonês sem contacto com o ocidente.
09:51
But painting for a long time had a fractal side.
238
576000
3000
Mas a pintura teve, durante muito tempo, um lado fractal.
09:54
I could speak of that for a long time.
239
579000
2000
Eu poderia falar sobre isso durante muito tempo.
09:56
The Eiffel Tower has a fractal aspect.
240
581000
3000
A torre Eiffel tem um aspecto fractal.
09:59
I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,
241
584000
3000
E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre a sua torre.
10:02
and indeed it was astonishing how much he understood.
242
587000
3000
E, de facto, é impressionante o quanto ele compreendia.
10:05
This is a mess, mess, mess, Brownian loop.
243
590000
3000
Isto é uma confusão, confusão, laços Brownianos.
10:08
One day I decided --
244
593000
2000
Um dia decidi,
10:10
halfway through my career,
245
595000
2000
a meio da minha carreira,
10:12
I was held by so many things in my work --
246
597000
3000
estava envolvido em tantas coisas no meu trabalho
10:15
I decided to test myself.
247
600000
3000
e decidi testar-me.
10:18
Could I just look at something
248
603000
2000
Será que eu poderia olhar para algo
10:20
which everybody had been looking at for a long time
249
605000
3000
que todos tinham estado a ver durante muito tempo
10:23
and find something dramatically new?
250
608000
3000
e encontrar algo dramaticamente novo?
10:26
Well, so I looked at these
251
611000
3000
Bem, então eu olhei para estas
10:29
things called Brownian motion -- just goes around.
252
614000
3000
coisas denominadas de "movimento Browniano", sempre em movimento.
10:32
I played with it for a while,
253
617000
2000
Brinquei com isto por algum tempo,
10:34
and I made it return to the origin.
254
619000
3000
e decidi regressar às origens.
10:37
Then I was telling my assistant,
255
622000
2000
Então disse ao meu assistente,
10:39
"I don't see anything. Can you paint it?"
256
624000
2000
"Não consigo ver nada. Podes pintá-lo?"
10:41
So he painted it, which means
257
626000
2000
Então ele pintou-o, ou seja
10:43
he put inside everything. He said:
258
628000
2000
todo o interior. Ele disse:
10:45
"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!
259
630000
3000
"Bem, isto foi o que surgiu ..." E eu disse, "Para! Para! Para!
10:48
I see; it's an island."
260
633000
3000
Eu vejo, é uma ilha."
10:51
And amazing.
261
636000
2000
Surpreendente.
10:53
So Brownian motion, which happens to have
262
638000
2000
Portanto, o movimento Browniano, que acaba por ter
10:55
a roughness number of two, goes around.
263
640000
3000
um número de rugosidade de 2, continua.
10:58
I measured it, 1.33.
264
643000
2000
Eu medi-o, 1,33.
11:00
Again, again, again.
265
645000
2000
De novo, de novo, de novo.
11:02
Long measurements, big Brownian motions,
266
647000
2000
Grandes medições, grandes movimentos Brownianos,
11:04
1.33.
267
649000
2000
1,33.
11:06
Mathematical problem: how to prove it?
268
651000
3000
O problema matemático: como o provar?
11:09
It took my friends 20 years.
269
654000
3000
Custou aos meus amigos 20 anos.
11:12
Three of them were having incomplete proofs.
270
657000
3000
Três deles chegaram a provas incompletas.
11:15
They got together, and together they had the proof.
271
660000
3000
Eles juntaram-se, e juntos chegaram a uma prova.
11:19
So they got the big [Fields] medal in mathematics,
272
664000
3000
Então receberam o grande prémio da matemática (Medalha Fields)
11:22
one of the three medals that people have received
273
667000
2000
uma das três medalhas recebidas
11:24
for proving things which I've seen
274
669000
3000
por serem provadas coisas que eu vi
11:27
without being able to prove them.
275
672000
3000
não sendo capaz de as provar.
11:30
Now everybody asks me at one point or another,
276
675000
3000
Agora todos me perguntam uma vez por outra,
11:33
"How did it all start?
277
678000
2000
"Como tudo isto começou?"
11:35
What got you in that strange business?"
278
680000
3000
"O que o levou a esta estranha actividade?"
11:38
What got you to be,
279
683000
2000
O que me fez ser,
11:40
at the same time, a mechanical engineer,
280
685000
2000
ao mesmo tempo, um engenherio mecânico,
11:42
a geographer
281
687000
2000
um geógrafo,
11:44
and a mathematician and so on, a physicist?
282
689000
2000
um matemático, etc., um físico?
11:46
Well actually I started, oddly enough,
283
691000
3000
Bem, na realidade eu comecei, estranhamente,
11:49
studying stock market prices.
284
694000
2000
a estudar preços no mercado de acções.
11:51
And so here
285
696000
2000
E então aqui
11:53
I had this theory,
286
698000
3000
desenvolvi esta teoria,
11:56
and I wrote books about it --
287
701000
2000
e escrevi livros sobre isso,
11:58
financial prices increments.
288
703000
2000
aumentos dos preços financeiros.
12:00
To the left you see data over a long period.
289
705000
2000
À esquerda vocês vêem dados relativos a um período longo.
12:02
To the right, on top,
290
707000
2000
À direita, no topo,
12:04
you see a theory which is very, very fashionable.
291
709000
3000
vocês vêem a teoria que é muito, muito elegante.
12:07
It was very easy, and you can write many books very fast about it.
292
712000
3000
Foi muito simples, e vocês podem escrever rapidamente muitos livros sobre isto.
12:10
(Laughter)
293
715000
2000
(Risos)
12:12
There are thousands of books on that.
294
717000
3000
Existem milhares de livros sobre isto.
12:15
Now compare that with real price increments.
295
720000
3000
Agora comparem isso com os incrementos de preço reais,
12:18
Where are real price increments?
296
723000
2000
e onde estão os incrementos de preço reais?
12:20
Well, these other lines
297
725000
2000
Bem, estas outras linhas
12:22
include some real price increments
298
727000
2000
incluem alguns incrementos de preço reais
12:24
and some forgery which I did.
299
729000
2000
e alguns dados falsificados que eu fiz.
12:26
So the idea there was
300
731000
2000
Portanto a ideia era
12:28
that one must be able to -- how do you say? --
301
733000
2000
que alguém tem que ser capaz de... como é que vocês dizem?
12:30
model price variation.
302
735000
3000
Modelar a variação dos preços.
12:33
And it went really well 50 years ago.
303
738000
3000
E isto correu mesmo bem há 50 anos atrás.
12:36
For 50 years, people were sort of pooh-poohing me
304
741000
3000
Durante 50 anos as pessoas chatearam-me
12:39
because they could do it much, much easier.
305
744000
2000
porque podiam fazer isto de forma muito mais simples.
12:41
But I tell you, at this point, people listened to me.
306
746000
3000
Mas eu digo-vos que, hoje em dia, as pessoas me ouvem.
12:44
(Laughter)
307
749000
2000
(Risos)
12:46
These two curves are averages:
308
751000
2000
Estas duas curvas são médias.
12:48
Standard & Poor, the blue one;
309
753000
2000
Standard & Poor, a azul.
12:50
and the red one is Standard & Poor's
310
755000
2000
E a vermelha, também da Standard & Poor,
12:52
from which the five biggest discontinuities
311
757000
3000
mas da qual as maiores 5 descontinuidades
12:55
are taken out.
312
760000
2000
são retiradas.
12:57
Now discontinuities are a nuisance,
313
762000
2000
Agora, as descontinuidades são um incómodo.
12:59
so in many studies of prices,
314
764000
3000
Portanto, em muitos estudos sobre preços,
13:02
one puts them aside.
315
767000
2000
elas são postas de parte.
13:04
"Well, acts of God.
316
769000
2000
"Bem, actos de Deus.
13:06
And you have the little nonsense which is left.
317
771000
3000
E vocês passam a ter os pequenos absurdos que sobram.
13:09
Acts of God." In this picture,
318
774000
3000
Actos de Deus." Nesta figura
13:12
five acts of God are as important as everything else.
319
777000
3000
cinco actos de Deus são tão importantes como todo o resto.
13:15
In other words,
320
780000
2000
Por outras palavras,
13:17
it is not acts of God that we should put aside.
321
782000
2000
não são os actos de Deus que temos que pôr de parte.
13:19
That is the meat, the problem.
322
784000
3000
Eles são o principal, o problema.
13:22
If you master these, you master price,
323
787000
3000
Se os dominarem, dominam os preços.
13:25
and if you don't master these, you can master
324
790000
2000
E se não os dominarem, podem dominar
13:27
the little noise as well as you can,
325
792000
2000
o ruído de fundo tão bem quanto queiram,
13:29
but it's not important.
326
794000
2000
que não vai ser importante.
13:31
Well, here are the curves for it.
327
796000
2000
Bem, aqui estão as curvas.
13:33
Now, I get to the final thing, which is the set
328
798000
2000
Agora, eu vou à parte final, que é sobre o conjunto
13:35
of which my name is attached.
329
800000
2000
ao qual o meu nome está associado.
13:37
In a way, it's the story of my life.
330
802000
2000
De certo modo, é a história da minha vida.
13:39
My adolescence was spent
331
804000
2000
A minha adolescência foi passada
13:41
during the German occupation of France.
332
806000
2000
durante a ocupação alemã da França.
13:43
Since I thought that I might
333
808000
3000
E porque pensei que poderia
13:46
vanish within a day or a week,
334
811000
3000
desaparecer dentro de um dia ou de uma semana,
13:49
I had very big dreams.
335
814000
3000
eu passei a ter grandes sonhos.
13:52
And after the war,
336
817000
2000
E depois da guerra,
13:54
I saw an uncle again.
337
819000
2000
eu vi o meu tio novamente.
13:56
My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,
338
821000
2000
O meu tio era um matemático muito proeminente e ele disse-me,
13:58
"Look, there's a problem
339
823000
2000
"Olha, existe um problema
14:00
which I could not solve 25 years ago,
340
825000
2000
que eu não consegui resolver há 25 anos atrás,
14:02
and which nobody can solve.
341
827000
2000
e que ninguém consegue resolver.
14:04
This is a construction of a man named [Gaston] Julia
342
829000
2000
Vem de uma construção feita por Gaston Julia
14:06
and [Pierre] Fatou.
343
831000
2000
e Pierre Fatou.
14:08
If you could
344
833000
2000
Se conseguisses
14:10
find something new, anything,
345
835000
2000
encontrar algo novo, qualquer coisa,
14:12
you will get your career made."
346
837000
2000
terás a tua carreira feita".
14:14
Very simple.
347
839000
2000
Muito simples.
14:16
So I looked,
348
841000
2000
Então eu olhei,
14:18
and like the thousands of people that had tried before,
349
843000
2000
e tal como as milhares de pessoas que haviam tentado anteriormente,
14:20
I found nothing.
350
845000
3000
não encontrei nada.
14:23
But then the computer came,
351
848000
2000
Mas então surgiu o computador.
14:25
and I decided to apply the computer,
352
850000
2000
E eu decidi aplicar o computador,
14:27
not to new problems in mathematics --
353
852000
3000
não a novos problemas na matemática,
14:30
like this wiggle wiggle, that's a new problem --
354
855000
2000
como este quebra-cabeça, este é um novo problema,
14:32
but to old problems.
355
857000
2000
mas sim a problemas antigos.
14:34
And I went from what's called
356
859000
2000
E então mudei daquilo a que chamamos
14:36
real numbers, which are points on a line,
357
861000
2000
números reais, que são pontos numa linha,
14:38
to imaginary, complex numbers,
358
863000
2000
para números imaginários, complexos,
14:40
which are points on a plane,
359
865000
2000
que são pontos sobre um plano,
14:42
which is what one should do there,
360
867000
2000
que é mais o caso aqui.
14:44
and this shape came out.
361
869000
2000
E esta forma surgiu.
14:46
This shape is of an extraordinary complication.
362
871000
3000
Esta forma é de uma extraordinária complexidade.
14:49
The equation is hidden there,
363
874000
2000
A equação está escondida aqui,
14:51
z goes into z squared, plus c.
364
876000
3000
z igual a z ao quadrado, mais c.
14:54
It's so simple, so dry.
365
879000
2000
Tão simples, tão directo.
14:56
It's so uninteresting.
366
881000
2000
Tão desinteressante.
14:58
Now you turn the crank once, twice:
367
883000
3000
Agora rodamos a manivela uma vez, duas,
15:01
twice,
368
886000
3000
duas,
15:04
marvels come out.
369
889000
2000
e a maravilha surge.
15:06
I mean this comes out.
370
891000
2000
Quero dizer, isto surge.
15:08
I don't want to explain these things.
371
893000
2000
Eu não quero explicar essas coisas.
15:10
This comes out. This comes out.
372
895000
2000
Isto surge. Isto surge.
15:12
Shapes which are of such complication,
373
897000
2000
Formas que são de uma tal complexidade,
15:14
such harmony and such beauty.
374
899000
3000
tal harmonia e tal beleza.
15:17
This comes out
375
902000
2000
Isto surge
15:19
repeatedly, again, again, again.
376
904000
2000
repetidamente, de novo, de novo, de novo.
15:21
And that was one of my major discoveries,
377
906000
2000
E essa foi uma das minhas maiores descobertas
15:23
to find that these islands were the same
378
908000
2000
que foi descobrir que estas ilhas eram as mesmas
15:25
as the whole big thing, more or less.
379
910000
2000
que a figura completa, inteira, por assim dizer.
15:27
And then you get these
380
912000
2000
E então surgem estas
15:29
extraordinary baroque decorations all over the place.
381
914000
3000
extraordinárias formas decorativas barrocas por toda a parte.
15:32
All that from this little formula,
382
917000
3000
Tudo vem desta pequena fórmula,
15:35
which has whatever, five symbols in it.
383
920000
3000
que possui cinco símbolos.
15:38
And then this one.
384
923000
2000
E depois este outro.
15:40
The color was added for two reasons.
385
925000
2000
As cores foram acrescentadas por duas razões.
15:42
First of all, because these shapes
386
927000
2000
Em primeiro lugar, porque estas formas
15:44
are so complicated
387
929000
3000
são tão complicadas,
15:47
that one couldn't make any sense of the numbers.
388
932000
3000
que não seria possível retirar nenhum sentido dos números.
15:50
And if you plot them, you must choose some system.
389
935000
3000
E se queremos desenhá-las, é preciso escolher um sistema.
15:53
And so my principle has been
390
938000
2000
E então o meu princípio foi
15:55
to always present the shapes
391
940000
3000
apresentar sempre as formas
15:58
with different colorings
392
943000
2000
com diferentes cores,
16:00
because some colorings emphasize that,
393
945000
2000
porque algumas cores dão ênfase a certas partes,
16:02
and others it is that or that.
394
947000
2000
e outras cores a outras partes.
16:04
It's so complicated.
395
949000
2000
É tão complicado.
16:06
(Laughter)
396
951000
2000
(Risos)
16:08
In 1990, I was in Cambridge, U.K.
397
953000
2000
Em 1990, eu estava em Cambridge, no Reino Unido,
16:10
to receive a prize from the university,
398
955000
3000
para receber um prémio da Universidade.
16:13
and three days later,
399
958000
2000
E três dias depois,
16:15
a pilot was flying over the landscape and found this thing.
400
960000
3000
um piloto estava a sobrevoar a paisagem e encontrou isto.
16:18
So where did this come from?
401
963000
2000
Então, de onde vem isto?
16:20
Obviously, from extraterrestrials.
402
965000
2000
Obviamente, de extraterrestres.
16:22
(Laughter)
403
967000
3000
(Risos)
16:25
Well, so the newspaper in Cambridge
404
970000
2000
Bem, então o jornal local em Cambridge
16:27
published an article about that "discovery"
405
972000
2000
publicou um artigo sobre essa "descoberta"
16:29
and received the next day
406
974000
2000
e recebeu no dia seguinte
16:31
5,000 letters from people saying,
407
976000
2000
5000 cartas de pessoas a dizer,
16:33
"But that's simply a Mandelbrot set very big."
408
978000
3000
"Mas isso é simplesmente um conjunto de Mandelbrot muito grande."
16:37
Well, let me finish.
409
982000
2000
Bem, deixem-me terminar.
16:39
This shape here just came
410
984000
2000
Esta forma aqui saiu simplesmente
16:41
out of an exercise in pure mathematics.
411
986000
2000
de um exercício de matemática pura.
16:43
Bottomless wonders spring from simple rules,
412
988000
3000
Maravilhas profundas surgem de simples regras,
16:46
which are repeated without end.
413
991000
3000
que são repetidas vezes sem fim.
16:49
Thank you very much.
414
994000
2000
Muito obrigado.
16:51
(Applause)
415
996000
11000
(Aplausos)
ABOUT THE SPEAKER
Benoit Mandelbrot - MathematicianBenoit Mandelbrot's work led the world to a deeper understanding of fractals, a broad and powerful tool in the study of roughness, both in nature and in humanity's works.
Why you should listen
Studying complex dynamics in the 1970s, Benoit Mandelbrot had a key insight about a particular set of mathematical objects: that these self-similar structures with infinitely repeating complexities were not just curiosities, as they'd been considered since the turn of the century, but were in fact a key to explaining non-smooth objects and complex data sets -- which make up, let's face it, quite a lot of the world. Mandelbrot coined the term "fractal" to describe these objects, and set about sharing his insight with the world.
The Mandelbrot set (expressed as z² + c) was named in Mandelbrot's honor by Adrien Douady and John H. Hubbard. Its boundary can be magnified infinitely and yet remain magnificently complicated, and its elegant shape made it a poster child for the popular understanding of fractals. Led by Mandelbrot's enthusiastic work, fractal math has brought new insight to the study of pretty much everything, from the behavior of stocks to the distribution of stars in the universe.
Benoit Mandelbrot appeared at the first TED in 1984, and returned in 2010 to give an overview of the study of fractals and the paradigm-flipping insights they've brought to many fields. He died in October 2010 at age 85. Read more about his life on NYBooks.com >>
Benoit Mandelbrot | Speaker | TED.com