TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: La màgia de la Successió de Fibonacci
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Les matemàtiques són lògiques, funcionals i... simplement genials.
El matemàtic Arthur Benjamin explora les propietats ocultes de l'estranya i meravellosa Successió de Fibonacci. (I ens recorda que les matemàtiques també poden ser estimulants!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Per què aprenem matemàtiques?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Essencialment, per tres raons:
00:18
calculation,
2
6200
1628
pel càlcul,
00:19
application,
3
7828
1900
per l'aplicació,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
i per últim, i, per desgràcia, menys important,
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
des del punt de vista del temps que hi dediquem,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
per la inspiració.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Les matemàtiques són la ciència dels patrons,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
i l'estudiem per aprendre a pensar amb lògica,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
crítica i creativament,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
però gran part de les matemàtiques
que aprenem a l'escola
que aprenem a l'escola
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
no ens motiven eficaçment,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
i quan els alumnes pregunten
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Per què fem això?"
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
solem explicar-los que ho necessitaran
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
per les properes classes, o per algun examen.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Però no seria genial
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
si alguna vegada féssim matemàtiques
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
tan sols perquè són divertides, o boniques,
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
o perquè ens estimulen la ment?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Ja sé que molta gent no ha tingut
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
la oportunitat de veure com això és possible,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
així que us en donaré un exemple ràpid
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
amb la meva col·lecció de nombres preferida:
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
la Successió de Fibonacci. (Aplaudiment)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Bé! Ja hi ha fans de Fibonacci, aquí!
01:12
That's great.
26
60520
1316
Fantàstic!
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Podem apreciar aquests nombres
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
de moltes maneres diferents.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Des del punt de vista del càlcul,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
són tan fàcils d'entendre
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
com un més un, que fan dos,
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
un més dos fan tres,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
dos més tren fan cinc, tres més cinc fan vuit,
01:29
and so on.
34
77787
1525
etcètera.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
La persona a qui anomenem Fibonacci
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
es deia Leonardo da Pisa,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
i aquests nombres apareixen al seu llibre "Liber Abaci",
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
que va descobrir al món occidental
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
els mètodes aritmètics que s'usen avui en dia.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Pel que fa a les aplicacions,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
els nombres de Fibonacci es troben a la natura
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
sorprenentment sovint.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
El nombre de pètals d'una flor
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
sol ser un nombre de Fibonacci,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
i també el nombre d'espirals d'un girasol,
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
o d'una pinya
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
acostumen a ser nombres de Fibonacci.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
De fet, hi ha moltes més
aplicacions dels nombres de Fibonacci,
aplicacions dels nombres de Fibonacci,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
però el que em sembla més
interessant d'aquests nombres
interessant d'aquests nombres
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
són els preciosos patrons que descriuen.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Us n'ensenyaré un dels meus preferits.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Suposo que gaudiu elevant nombres al quadrat,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
de fet, a qui no li agrada? (Riure)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Què passa si elevem al quadrat
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
els primers nombres de Fibonacci?
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
U elevat al quadrat és u,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
dos elevat al quadrat és quatre, tres és nou
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
cinc és vint-i-cinc, etcètera.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
No ens ve pas de nou
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
que si sumem dos nombres
consecutius de la successió
consecutius de la successió
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
el resultat és el nombre següent. Oi?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Així és com es creen.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Però no ens esperem que passi res especial
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
quan sumem els nombres elevats al quadrat.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Però pareu atenció:
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Un i un fan dos,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
i un més quatre fan cinc.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Quatre més nou fan tretze,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
nou més 25 fan 34
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
i sí, el patró segueix.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Aquí en teniu un altre:
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Diguem que volem sumar
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
els primers nombres de Fibonacci
elevats al quadrat.
elevats al quadrat.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
A veure què passa.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Un i un i quatre fan sis.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Si hi sumem nou, fan quinze.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Més 25, 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Més 64, 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Ara mireu bé aquests nombres.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
No són pas nombres de Fibonacci,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
però si us hi fixeu bé,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
hi veureu els nombres de Fibonacci
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
enterrats dins seu.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Ho veieu? Us ho ensenyo:
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Sis és dues vegades tres; 15 és tres cops cinc,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 és cinc vegades vuit,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
dos, tres, cinc, vuit; recordeu el que us he dit?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Riure)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! És clar.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Per molt divertit que sigui descobrir aquests patrons,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
és encara més satisfactori entendre
03:42
why they are true.
92
210924
1958
per què són veritat.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Mirem l'última equació:
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Per què els quadrats d'un, un,
dos, tres, cinc i vuit
dos, tres, cinc i vuit
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
sumen vuit vegades tretze?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Us ho ensenyaré amb un dibuix senzill:
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Començarem amb un quadrat d'un per un,
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
i n'hi posarem un altre al costat.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Junts, formen un rectangle d'un per dos.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
A sota, hi posem un quadrat de dos per dos,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
i, al costat, un de tres per tres,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
sota, un de cinc per cinc,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
i després un de vuit per vuit,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
i creem un rectacle enorme, veieu?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Ara us preguntaré una cosa ben simple:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
quina és l'àrea d'aquest rectangle?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Bé, d'una banda,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
és la suma de les àrees
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
dels quadrats que hi ha dins, oi?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Exactament com l'hem fet.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
És u al quadrat més u al quadrat
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
més dos al quadrat més tres al quadrat
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
més cinc al quadrat més vuit al quadrat. Oi?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Aquesta és l'àrea.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
D'altra banda, com que és un rectangle,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
l'àrea és igual a l'alçada multiplicada per la base,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
i l'alçada és clarament vuit,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
i la base és cinc més vuit,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
que és el següent nombre de Fibonacci, 13, oi?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Per tant, l'àrea també és vuit vegades tretze.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Com que hem calculat l'àrea correctament
05:00
two different ways,
122
288880
1687
de dues maneres diferents,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
el resultat ha de ser el mateix,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
i és per això que u, u, dos,
tres, cinc i vuit al quadrat
tres, cinc i vuit al quadrat
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
sumen vuit vegades tretze.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Si continuem el procés,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
generarem rectangles de 13x21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21x24, etcètera.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Ara escoleu bé això:
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Si dividim tretze entre vuit,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
fan 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
I si divideixes el nombre més gran
pel nombre més petit,
pel nombre més petit,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
les proporcions s'acosten cada cop més
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
a 1,618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
un nombre conegut també com a Secció Àuria,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
un nombre que ha fascinat matemàtics,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
científics i artistes durant segles.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Tot això, us ho ensenyo perquè,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
com passa molt en matemàtiques,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
això té un cantó molt bonic
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
però em temo que no s'hi dóna prou importància,
05:51
in our schools.
142
339146
1567
a les escoles.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Passem molt temps aprenent càlcul,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
però no ens oblidem de l'aplicació,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
incloent-hi, potser, l'aplicació
més important de totes:
més important de totes:
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
aprendre a pensar.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Si ho pogués resumir en una sola frase,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
seria aquesta:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Les matemàtiques no són només buscar la X,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
sinó també pensar per què.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Moltes gràcies.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Aplaudiment)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com