TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
아서 벤자민 (Arthur Benjamin): 피보나치 수열의 마법
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수학은 논리적이고, 실용적이고, 그저... 멋집니다. 수학자 아서 벤자민은 우리에게 이상하고도 신통한 피보나치 수열의 숨겨진 성질을 소개합니다. (또 수학이 영감을 줄 수 있다는 걸요!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
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00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
우리가 수학을 배우는
이유는 무엇일까요?
이유는 무엇일까요?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
기본적으로
세가지 이유가 있습니다:
세가지 이유가 있습니다:
00:18
calculation,
2
6200
1628
계산,
00:19
application,
3
7828
1900
응용,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
마지막으로, 현재로서는 유감스럽게도
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
가장 비중이 낮은
00:26
inspiration.
6
14520
1922
영감입니다.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
수학은 규칙의 학문입니다.
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
이를 연구하는 이유는
논리적이고 정확하며 창의적으로
논리적이고 정확하며 창의적으로
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
생각하는 힘을 기르기 위해서인데
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
학교에서 배우는 수학은
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
동기 부여에 약하기 때문에
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
학생들이
"우리가 왜 이걸 배워야 해?"
"우리가 왜 이걸 배워야 해?"
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
라고 물으면,
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
그들이 듣는 답은 다음 수학 시간이나
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
시험에 나오기 때문이라는 게 전부입니다.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
그러나 때때로 수학을 그저
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
재미있거나 경이로워서
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
아니면 흥미를 유발해서 배우게 된다면
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
굉장하지 않을까요?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
자, 저는 많은 사람들에게
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
이런 일이 일어난 적이 없었다는 것을
잘 알고 있습니다.
잘 알고 있습니다.
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
그래서 제가 가장 좋아하는 수 배열인
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
피보나치 배열로
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
예를 들어보겠습니다. (박수)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
이미 피보나치 배열에 대해
아시는 분들이 많군요!
아시는 분들이 많군요!
01:12
That's great.
26
60520
1316
좋습니다.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
자, 이 수의 배열은 다양한 이유로
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
인기가 많습니다.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
계산의 관점에서 보면 이것은
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
다음과 같이 이해하기 쉬운데
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
1 더하기 1은 2,
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
1 더하기 2는 3,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 더하기 3은 5,
3 더하기 5는 8,
3 더하기 5는 8,
01:29
and so on.
34
77787
1525
과 같이 계속됩니다.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
사실 우리가 피보나치라고 부르는 사람은
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
레오나르도 데 피사였는데
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
이 숫자들은 그의 책,
"리베로 아바치" 에 등장합니다.
"리베로 아바치" 에 등장합니다.
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
이 책은 현대에 이르도록 쓰이는
숫자의 법칙을
숫자의 법칙을
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
서양에 소개했습니다.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
실생활의 측면에서 보면,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
피보나치 배열은 자연에서
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
놀라울 정도로 많이 발견되는데
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
예를 들어 꽃의 잎들의 수는
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
전형적인 피보나치 배열입니다.
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
해바라기씨의 나선의 수나
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
파인애플의 그것도
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
보통 피보나치 배열을 따릅니다.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
피보나치 배열을 따르는 경우는
훨씬 더 많습니다.
훨씬 더 많습니다.
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
하지만 저의 흥미를 가장 많이 돋구는 것은
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
아름다운 수들의 배열에 있습니다.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
제가 가장 좋아하는 예를
살펴 보겠습니다.
살펴 보겠습니다.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
여러분이 수의 제곱을
좋아하신다고 해보죠.
좋아하신다고 해보죠.
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
솔직히 제곱수를 싫어하는 사람이 있나요?
(웃음)
(웃음)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
피보나치 배열에서 가장 앞에 있는
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
몇개의 수들을 살펴봅시다.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
1의 제곱은 1,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2의 제곱은 4,
3의 제곱은 9,
3의 제곱은 9,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5의 제곱은 25 와 같이 계속됩니다.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
자, 피보나치 배열에서
연속되는 두 수를 더하면
연속되는 두 수를 더하면
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
다음 피보나치 수를
구할 수 있는 것은
구할 수 있는 것은
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
당연하게 느껴지시죠?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
피보나치 배열은
그렇게 만들어지니까요.
그렇게 만들어지니까요.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
하지만 그들의 제곱수를 더하면
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
기대할 게 없다고
생각하실 겁니다.
생각하실 겁니다.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
그런데 이걸 보세요.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1= 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
1 + 4 = 5,
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
4 + 9 = 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 + 25 = 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
그리고 이 규칙은 이어집니다.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
또 다른 예를 살펴봅시다.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
피보나치 배열의 앞에 있는
몇 개의 수들을 더하면
몇 개의 수들을 더하면
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
어떻게 되는지 보겠습니다.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
1 + 1 + 4 = 6,
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
이것에 9를 더하면 15,
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
또 25를 더하면 40,
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
또 64를 더하면 104가 됩니다.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
자, 이 숫자들을 잘 보세요.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
이들은 피보나치 수가 아닙니다만
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
자세히 보면 피보나치 수들이
숨어있는 것이 보이실 겁니다.
숨어있는 것이 보이실 겁니다.
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
찾으셨나요? 보여드리겠습니다.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6은 2 X 3, 15는 3 X 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
그리고 40은 5 X 8입니다.
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8 - 뭔가 익숙해
보이지 않나요?
보이지 않나요?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(웃음)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
당연히 피보나치 배열이죠!
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
자, 이 규칙들을 발견하는 것 보다
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
왜 이 규칙이 성립하는지
아는 것이 더 재미있습니다.
아는 것이 더 재미있습니다.
03:42
why they are true.
92
210924
1958
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
방금 본 식을 봅시다.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
왜 제곱수들의 합,
그러니까 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱을 더하면
그러니까 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱을 더하면
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
왜 8과 13의 곱이 될까요?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
간단한 도표로 설명하겠습니다.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
한 변의 길이가 1인 정사각형 옆에
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
똑같은 정사각형을 놓고 붙이면,
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
1X2의 직사각형이 됩니다.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
그 밑에 한 변의 길이가
2인 정사각형을 넣고
2인 정사각형을 넣고
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
그 옆에 한 변의 길이가 3인 정사각형,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
아래에 한 변의 길이가 5인 정사각형,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
또 한 변의 길이가 8인 정사각형을 놓으면
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
하나의 큰 직사각형이 만들어지죠?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
자, 질문 하나를 드리겠습니다.
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
직사각형의 넓이는 얼마일까요?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
한편으로 생각하면 그 안에 있는
정사각형의 넓이의 합이겠죠?
정사각형의 넓이의 합이겠죠?
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
방금 만든 것 처럼요.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
1의 제곱 더하기
1의 제곱 더하기
1의 제곱 더하기
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
2의 제곱 더하기
3의 제곱 더하기
3의 제곱 더하기
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
5의 제곱 더하기
8의 제곱이겠죠?
8의 제곱이겠죠?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
이것이 넓이입니다.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
또 다르게 생각해 보면,
이것이 직사각형이기 때문에,
이것이 직사각형이기 때문에,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
넓이를 세로와 가로의 곱으로
구할 수 있는데,
구할 수 있는데,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
세로는 분명히 8이고,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
그리고 가로는 5 더하기 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
그러니까 피보나치 수열의
다음 수, 13이죠?
다음 수, 13이죠?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
그러니 직사각형의 넓이는
8 곱하기 13입니다.
8 곱하기 13입니다.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
우리는 넓이를 두가지 방법을
모두 정확히 계산했기 때문에
모두 정확히 계산했기 때문에
05:00
two different ways,
122
288880
1687
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
답이 같을 텐데
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
그렇기 때문에 1, 1, 2, 3, 5와 8의
제곱수들을 더했을 때 나오는 값이
제곱수들을 더했을 때 나오는 값이
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
8과 13의 곱과 일치하는 것입니다.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
자, 이 방법을 계속하면
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
변의 길이가 13과 21로
이루어진 직사각형,
이루어진 직사각형,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
변의 길이가 21과 34로 이루어진
직사각형 등이 나타나게 됩니다.
직사각형 등이 나타나게 됩니다.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
이걸 보세요.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
13을 8로 나누면
1.625를 얻게 됩니다.
1.625를 얻게 됩니다.
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
그리고 피보나치 배열의 연속되는 숫자 두 개중
큰 숫자를 작은 숫자로 나눌 수록
큰 숫자를 작은 숫자로 나눌 수록
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
이 비율은
1.618에 조금씩 더 가까워지는데
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
이 비율은 황금비로
잘 알려져 있습니다.
잘 알려져 있습니다.
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
이 황금비는 수백년동안
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
수학자, 과학자, 그리고
예술가들을 매혹해 왔습니다.
예술가들을 매혹해 왔습니다.
05:42
Now, I show all this to you because,
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자, 제가 이것을 보여드리는 이유는
05:45
like so much of mathematics,
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2025
나머지의 수학 법칙과 같이
아름다은 측면이 있는데
아름다은 측면이 있는데
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there's a beautiful side to it
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05:49
that I fear does not get enough attention
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2015
이 측면들이 우리의 학교들이
충분히 고려하고 있지 않기 때문입니다.
충분히 고려하고 있지 않기 때문입니다.
05:51
in our schools.
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We spend lots of time learning about calculation,
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우리는 계산에 대해 많이 배우는데
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but let's not forget about application,
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응용을 잊지 않도록 하죠.
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including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
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어쩌면 가장 중요한 적용의 요소인
06:01
learning how to think.
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생각하는 방법을
잊지 않도록 합시다.
잊지 않도록 합시다.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
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지금까지 제가 말씀드린 것을
한 마디로 정리한다면
한 마디로 정리한다면
06:05
it would be this:
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이것을 말씀드리고 싶습니다:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
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수학은 그저 x를 구하는 것이 아니고
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it's also figuring out why.
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왜 그럴까(why)를
구하는 것이라고요.
구하는 것이라고요.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
감사합니다.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(박수)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com