TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: Фибоначийн тооны ид шид
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Математик бол логиктой, үйлдэлтэй ... ер нь янзтай гоё. Фибоначийн цуваа гэгдэх тэдгээр хачин боловч гайхалтай тоонуудын нууцлаг шинж чанарыг Математикч Артур Бенжамин судалжээ. ( Математикийн шинжлэх ухаан ч гэсэн урам зориг төрүүлэхүйц сонирхолтой байж болно шүү дээ!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
За тэгэхээр бид яах гэж математикийн шинжлэх ухааныг судалдаг вэ?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Гол төлөв доорх 3 шалтгааны улмаас:
00:18
calculation,
2
6200
1628
тооцоолох,
00:19
application,
3
7828
1900
амьдралд хэрэгжүүлэх,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
харамсалтай нь хамгийн бага ач холбогдол өгч
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
хамгийн их орхигдуулдаг шалтгаан нь
00:26
inspiration.
6
14520
1922
урам зориг авах юм.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Математик бол хэв загварын шинжлэх ухаан бөгөөд
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
бид үүнийг логиктой, шүүмжтэй, бүтээлчээр
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
сэтгэж сурах гэж судалдаг.
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
Гэвч сургууль дээр бидэнд заадаг математик
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
нэг л сонирхол төрүүлдэггүй
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
бөгөөд оюутнууд "Бид нар яагаад
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
үүнийг сурч байгаа юм бэ?" гэсэн асуултандаа
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
ихэвчлэн л шалгалт өгөхөд эсвэл
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
дараачийн хичээлд хэрэг болно гэсэн хариулт сонсдог.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Харин, хэрвээ бид нар математикийг
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
зүгээр л зугаатэй юмуу гоё болохоор нь
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
эсвэл зүгээр л их таалагдсан болохоор нь л
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
судалдаг байсан бол сайхан биш гэж үү?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Ингэж төсөөлж харах боломж тэр бүр
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
хүн бүрт олддоггүй тул
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
нэгэн бяцхан жишээ болгож
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
өөрийн дуртай тоо болох
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
Фибоначийн тоог авч үзье.
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Өө, Фибоначийн фэнүүд сууж байгаа юм байна шүү дээ.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Сайн байна.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Тэгэхээр Фибоначийн тооны үнэ цэнийг
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
олон янзаар илэрхийлж болно.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Тооцооллын үүднээс авч үзвэл,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
энэ тоог ойлгоход хялбар л даа.
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
нэг дээр хоёрыг нэмээд гурав
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
хоёр дээр гурвыг нэмээд тав, гурав дээр тавыг нэмээд найм
01:29
and so on.
34
77787
1525
гэх мэтчилэн.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Үнэндээ, бидний Фибоначи гэж дууддаг
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
хүнийг Пизагийн Леонардо гэдэг байсан ба
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
түүний бичсэн, өнөөгийн бидний хэрэглэдэг арифметикийн
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
аргуудыг Барууны ертөнцөд таниулсан "Либер Абачи"
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
номд эдгээр тоонууд гардаг.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Хэрэглээтэй холбож үзвэл,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
Фибоначийн тоо нь байгалд
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
гайхмаар олон таардаг.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Цэцгийн дэлбээний тоо нь
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
ерөнхийдөө Фибоначийн тоо байдаг,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
мөн наранцэцэг болон
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
хан боргоцой дээрх эргүүлэгний тоо ч
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
гэсэн Фибоначийн тоо байдаг.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Үнэн хэрэгтээ, Фибоначийн тооны хэрэглээ үүнээс ч их бий.
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
Эдгээр тоонуудын дүрслэн харуулдаг гоёмсог
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
хэлбэр, хээнүүд нь тэдгээрийн хамгийн гайхалтай сонин шинж юм.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Өөрийн дуртай жишээнүүдийн нэгийг үзүүлье л дээ.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Таныг тоо квадратад дэвшүүлэх дуртай гэж үзье,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
хэн дургүй байхав дээ? (инээд)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Эхний хэдэн Фибоначийн тоог квадратад
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
дэвшүүлээд харъя.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Тэгэхээр, нэгийн квадрат нэг,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
хоёрын квадрат дөрөв, гурвын квадрат ес,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
тавын квадрат 25, гэх мэтчилэн.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Дараалсан Фибоначийн тоонуудыг нэмэхэд
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
дараачийн Фибоначийн тоо гардаг гэдэг нь
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
бүгдэд илэрхий. Тийм биз?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Угаасаа ингэж үүсгэдэг.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Харин нөгөө гарсан квадратуудаа хооронд нь
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
нэмэхэд ямар нэгэн онцгой зүйл болно гэж та бодоогүй байж болох юм.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Харин одоо бүгдээрээ харъя.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
нэг дээр дөрвийг нэмээд тав.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Дөрөв дээр есийг нэмээд 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
ес дээр 25-ийг нэмээд 34
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
гэх мэтчилэн энэ загвар цааш үргэлжилнэ.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Өөр нэг жишээ авъя.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Эхний хэдэн Фибоначийн тоонуудын
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
квадратуудын нийлбэрийг харахыг та хүсэж л дээ.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
За тэгэхээр юу болохыг харцгаая.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Нэг дээр нэгийг нэмээд дөрвийг нэмэхэд зургаа.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Түүн дээрээ есийг нэмье, 15 болно.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
25-ийг нэмэхэд 40 болно.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
64-ийг нэмье, 104 гарна.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Одоо энэ тоонуудаа харцгаая.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Энэ тоонууд Фибоначийн тоонууд биш ч гэсэн
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
сайж ажиглах юм бол
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
тэдний дотор Фибоначийн тоонууд нуугдаж байгааг
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
олж харах болно.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Та харж чадаж байна уу? За би харуулъя.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Зургаа гэдэг нь 3 хоёр дахин, 15 нь тав 3 дахин
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 маань наймын тоо тав дахин гэсэн үг,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
хоёр, гурав, тав, найм, тэгэхээр бид хэнд талархах ёстой билээ?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(инээд)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Фибоначи! Мэдээж шүү дээ.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Тэгэхээр, эдгээр загваруудыг олж нээхэд зугаатай байсантай адил,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
яагаад ингэж үнэн гарч байгааг ойлгох юм бол
03:42
why they are true.
92
210924
1958
бүүр ч илүү тааламжтай болно.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Хамгийн сүүлийн тэгшитгэлийг аваад үзье.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратуудыг нэмэхэд
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
13-ыг найм дахин авсантай адил болдог юм бол?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
За би нэг жирийн зураг зурж харуулъя.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Нэг-нэгийн квадратаар эхэлцгээе,
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
хажууд нь дахиад нэг нэг-нэгийн квадрат зуръя.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Нийлээд, нэг-хоёрын харьцаатай тэгш өнцөгт үүсгэж байна.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Доор нь, би хоёр-хоёрын квадрат тавъя,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
үүнийхээ хажууд гурав-гурвын квадрат,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
дахиад доор нь, тав-тавын квадрат,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
тэгээд найм-наймынхыг тавихад
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
нэг том тэгш өнцөгт үүсэж байнаа даа, тийм үү?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Одоо би нэг энгийн асуулт асууя:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
Тэгш өнцөгтийн талбай юу байдаг билээ?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Нэг талаас нь аваад үзвэл,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
энэ нь өөрт нь агуулагдаж байгаа
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
квадратуудын талбайнуудын нийлбэр болноо доо?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Яг бидний сая зурсан шиг.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Энэ нь нэгийг квадратад дэвшүүлээд нэмэх нь нэгийн квадрат
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
нэмэх нь хоёрын квадрат нэмэх нь гурвын квадрат
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
нэмэх нь тавын квадрат нэмэх нь наймын квадрат. Тийм биз?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Ингээд нөгөө талбай маань гараад ирж байна.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Нөгөө талаас нь аваад үзвэл, энэ нь тэгш өнцөгт тул,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
талбайг нь олохдоо өндрийг нь сууриар нь үржүүлдэг,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
өндөр нь харваас найм байна,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
суурь нь тав дээр нэмэх нь найм,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
гэдэг нь дараачийн Фибоначийн тоо болох 13 болж байна. Тийм үү?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Тэгэхээр талбай нь мөн наймыг үржих нь 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Бид талбайг хоёр өөр аргаар
05:00
two different ways,
122
288880
1687
зөв тооцоолсон болохоор,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
хариу нь ижил гарах ёстой.
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
Иймээс ч нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратыг
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
нэмэхэд наймыг 13 дахин авсантай адил болж байна.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Одоо бид энэ үйлдэлээ үргэлжлүүлээд
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
13-ийг 21-ээр, 21-ийг 34-өөр гэх мэтчилэн авсан хэлбэртэй
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
тэгш өнцөгтүүдийг үүсгэе.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Одоо хар даа.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Хэрвээ 13-ийг наймд хуваах юм бол
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
1.625 гарна.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
Ингээд цааш арай том тоог нь арай багад нь
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
хуваагаад байх юм бол энэ харьцаа нь
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
улам бүр 1.618 буюу
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
хүмүүсийн мэддэгээр Алтан Харьцаа гэгдэх олон зууны турш
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
математикчид, эрдэмтэд, уран бүтээлчидийг
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
гайхашруулж ирсэн харьцаа уруу дөхөж очино.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Миний энэ бүгдийг та бүхэн үзүүлж байгаагийн учир нь
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
сургуулиудад тэр бүрий онцолж авч үздэггүй ч
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
математикт гоё сайхан тал гэж
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
байдаг юм шүү гэдгийг
05:51
in our schools.
142
339146
1567
таниулах гэсэн юм.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Бид маш их цагийг тооцоолж сурахад зарцуулдаг.
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
Харин хэрэглээний, ялангуяа
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
хэрхэн сэтгэж сурах, тал дээрээ
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
марталгүй анхаарцгаая.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Энэ бүгдийг нэг өгүүлбэрээр хураангуйлах юм бол,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
иймэрхүү болох байх:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Математикийн шинжлэх ухаан нь зөвхөн "X"-ийг олох биш,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
бас "Яагаад" гэдэг учирыг нь олж мэдэх юм.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Маш их баярлалаа.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(алга ташилт)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com