TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
ארתור בנג'מין: הקסם של מספרי פיבונאצ'י
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
המתמטיקה היא לוגית, תיפקודית ופשוט... נהדרת. אשף המתמטיקה ארתור בנג'מין חושף תכונות נסתרות של אותו מערך מספרים מוזר ונפלא, "סדרת פיבונאצ'י" (ומזכיר לנו שהמתמטיקה יכולה גם לעורר השראה!)..
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
מדוע אנו לומדים מתמטיקה?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
עקרונית, משלוש סיבות:
00:18
calculation,
2
6200
1628
לחישובים,
00:19
application,
3
7828
1900
ליישומים,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
ואחרון, ולמרבה הצער,
לא חביב,
לא חביב,
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
מבחינת הזמן שאנו מקדישים לו,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
לשם השראה.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
המתמטיקה היא מדע התבניות,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
ואנו חוקרים אותה
כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי,
כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
ביקורתי ויצירתי,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
אבל יותר מדי מהמתמטיקה
שאנו לומדים בביה"ס
שאנו לומדים בביה"ס
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
אינה נלמדת מתוך תמריץ יעיל,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
וכשתלמידינו שואלים,
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"מדוע אנו לומדים את זה?"
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
הם לעתים קרובות שומעים,
שהם יזדקקו לזה
שהם יזדקקו לזה
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
בשיעורי המתמטיקה הבאים
או באיזו בחינה בעתיד.
או באיזו בחינה בעתיד.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
האם לא היה נפלא
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
אילו מידי פעם בפעם
הייו עוסקים במתמטיקה
הייו עוסקים במתמטיקה
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
פשוט משום שהיא כייפית
או יפה,
או יפה,
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
או משום שהיא
מלהיבה את המוח?
מלהיבה את המוח?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
אני יודע שאנשים רבים
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
לא זכו להזדמנות לראות
איך זה ייתכן,
איך זה ייתכן,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
אז הבה ואתן לכם
דוגמה זריזה
דוגמה זריזה
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
בעזרת אוסף המספרים
האהוב עלי,
האהוב עלי,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
מספרי פיבונאצ'י.
[מחיאות כפיים]
[מחיאות כפיים]
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
כן! כבר יש לי כאן
אוהדים של פיבונאצ'י.
אוהדים של פיבונאצ'י.
01:12
That's great.
26
60520
1316
מעולה!
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
את המספרים האלה
אפשר להעריך
אפשר להעריך
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
בדרכים רבות.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
מההיבט החישובי,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
הם קלים להבנה
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
כמו 1 ועוד 1 שזה 2,
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
,1+2=3
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
,2+3=5
,3+5=8
,3+5=8
01:29
and so on.
34
77787
1525
וכן הלאה.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
למען האמת,
האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י
האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
שמו היה למעשה לאונרדו מפיזה,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
והמספרים האלה מופיעים בספרו
"ליבר אבאצ'י",
"ליבר אבאצ'י",
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
שלימד את העולם המערבי
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
את השיטות החשבוניות
בהן אנו משתמשים כיום.
בהן אנו משתמשים כיום.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
מבחינה יישומית,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
מספרי פיבונאצ'י מופיעים בטבע
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
לעתים תכופות עד להפתיע.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
מספר עלי הכותרת בפרח
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
הם מספר פיבונאצ'י אופייני,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
או מספר הספירלות בחמניה
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
או באננס
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
נוטים גם הם להיות
מספרי פיבונאצ'י.
מספרי פיבונאצ'י.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
למעשה, יש עוד יישומים רבים
למספרי פיבונאצ'י,
למספרי פיבונאצ'י,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
אבל מה שבעיני הכי
מעורר השראה בהם
מעורר השראה בהם
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
הוא התבניות המספריות
היפהפיות שהם מפגינים.
היפהפיות שהם מפגינים.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
הבה ואראה לכם
אחת מהאהובות עלי.
אחת מהאהובות עלי.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
נניח שאתם אוהבים
להכפיל מספרים בריבוע,
להכפיל מספרים בריבוע,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
ולמען האמת, מי לא?
[צחוק]
[צחוק]
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
הבה נראה את החזקות השניות
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
אחד בריבוע הוא אחד,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
שתיים בריבוע שווה ארבע,
שלוש בריבוע שווה תשע,
שלוש בריבוע שווה תשע,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
חמש בריבוע שווה 25, וכן הלאה.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
אז לא מפתיע
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
שכאשר מחברים
מספרי פיבונאצ'י רציפים,
מספרי פיבונאצ'י רציפים,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
מקבלים את מספרי פיבונאצ'י
הבאים בסדרה, נכון?
הבאים בסדרה, נכון?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
כך הם נוצרים.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
אבל לא הייתם מצפים
שיקרה משהו מיוחד
שיקרה משהו מיוחד
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
כשתחברו את הריבועים.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
אבל תראו מה זה:
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1+1=2
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
1+4=5
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
4+9=13
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9+25=34
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
כן, הדפוס הזה נמשך.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
בעצם, הנה עוד אחד.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
נניח שרוצים לבדוק
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
את חיבור הריבועים
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.
של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
הבה ונראה מה נקבל.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
1 + 1 + 4 = 6.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
תוסיפו לזה 9, ונקבל 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
תוסיפו 25, ונקבל 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
תוסיפו 64, ונקבל 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
כעת הביטו במספרים האלה.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
אלה אינם מספרי פיבונאצ'י,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
אך אם תבחנו אותם היטב,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
תגלו שמספרי פיבונאצ'י
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
טמונים בתוכם.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
רואים אותם?
הבה ואראה לכם אותם.
הבה ואראה לכם אותם.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 שווה 2X3,
15 שווה 3X5,
15 שווה 3X5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 שווה 5X8,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
"שתיים, שלוש, חמש, שמונה
מי אוהב את זה כמוני?"
מי אוהב את זה כמוני?"
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
[צחוק]
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
פיבונאצ'י! כמובן.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
ככל שזה כיף לגלות
את התבניות האלה,
את התבניות האלה,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
הרי שעוד יותר מספק להבין
03:42
why they are true.
92
210924
1958
מדוע הן אמיתיות.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
נביט במשוואה האחרונה הזו.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
מדוע הריבועים של 1, 1,
2, 3, 5 ו-8
2, 3, 5 ו-8
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
מסתכמים ב8X13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
אדגים לכם בעזרת
ציור פשוט.
ציור פשוט.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
נתחיל עם ריבוע של 1 על 1
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
ולידו נציב ריבוע נוסף
של 1 על 1.
של 1 על 1.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
ביחד הם מהווים מלבן
של 1 על 2.
של 1 על 2.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
מתחתיו אציב ריבוע
של 2 על 2,
של 2 על 2,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
ולידו - ריבוע של 3 על 3,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
מלמטה, ריבוע של 5 על 5,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
ועוד ריבוע של 8 על 8,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
וקיבלנו מלבן ענקי אחד, נכון?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
כעת אשאל אתכם
שאלה פשוטה:
שאלה פשוטה:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
מהו שטח המלבן?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
מצד אחד,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
זהו סכום השטחים
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
של הריבועים שבתוכו, נכון?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
בדיוק כפי ששרטטנו אותם.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
1 בריבוע ועוד 1 בריבוע
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
ועוד 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
ועוד 5 בריבוע
ועוד 8 בריבוע, נכון?
ועוד 8 בריבוע, נכון?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
זהו השטח.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
מצד שני, היות שזה מלבן,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
השטח שווה לבסיס כפול הגובה,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
והגובה הוא בבירור 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
והבסיס הוא 5 + 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
וזהו מספר פיבונאצ'י הבא:
13, נכון?
13, נכון?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
אז השטח הוא גם 13X8.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
היות שחישבנו נכון את השטח
05:00
two different ways,
122
288880
1687
בשתי דרכים שונות,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
מן הסתם זה צריך להיות
אותו המספר,
אותו המספר,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
וזו הסיבה שהריבועים של
1, 1, 2, 3, 5 ו-8,
1, 1, 2, 3, 5 ו-8,
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
מסתכמים ב-13X8.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
כעת, אם נמשיך בתהליך זה,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
נייצר מלבנים בצורת 13 על 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 על 34, וכו'.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
כעת הביטו בזה.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
אם מחלקים 13 ב-8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
מקבלים 1.625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
ואם מחלקים את המספר הגדול
במספר הקטן יותר,
במספר הקטן יותר,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
היחסים האלה נעשים
קרובים יותר ויותר
קרובים יותר ויותר
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
ל-1.618 בערך,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
המוכר לרבים כ"חיתוך הזהב",
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
מספר שריתק את דמיון המתמטיקאים,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
המדענים והאמנים במשך
מאות בשנים.
מאות בשנים.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
והסיבה שאני מראה לכם
את כל זה היא,
את כל זה היא,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
שכמו בתחומי מתמטיקה רבים,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
יש לכך צד יפה
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
שחוששני שאינו זוכה
לתשומת-לב מספקת
לתשומת-לב מספקת
05:51
in our schools.
142
339146
1567
בבתי הספר שלנו.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
אנו מקדישים המון זמן
ללימוד החישוב,
ללימוד החישוב,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
אבל הבה לא נשכח
את היישום,
את היישום,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
כולל, אולי, היישום החשוב מכל,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
ללמוד לחשוב.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
אם אוכל לסכם זאת
במשפט אחד,
במשפט אחד,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
הרי זה:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
המתמטיקה היא לא רק
לפתור כדי למצוא את "איקס"
לפתור כדי למצוא את "איקס"
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
אלא גם להבין את "וואי" (למה).
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
תודה רבה לכם.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
[מחיאות כפיים]
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com