TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: Die Magie der Fibonacci-Folge
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Mathe ist logisch, funktional und einfach … fantastisch. Mathemagier Arthur Benjamin erkundet die verborgenen Eigenschaften dieser bizarren und wunderschönen Zahlenfolge, der Fibonacci-Folge. (Und es erinnert einen daran, dass auch Mathematik inspirierend sein kann!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
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00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Warum lernen wir eigentlich Mathematik?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Eigentlich aus drei Gründen:
00:18
calculation,
2
6200
1628
Berechnungen,
00:19
application,
3
7828
1900
Anwendung
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
und zuletzt, und leider am wenigsten
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
– hinsichtlich der von uns investierten Zeit –
00:26
inspiration.
6
14520
1922
Inspiration.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Mathematik ist die Wissenschaft
von Mustern,
von Mustern,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
und wir erlernen sie, um zu lernen, logisch,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
kritisch und kreativ zu denken,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
aber ein Großteil der Mathematik,
die wir in der Schule lernen,
die wir in der Schule lernen,
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
ist nicht effektiv motiviert,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
und wenn unsere Schüler fragen:
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Warum lernen wir das?",
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
dann bekommen sie oft zu hören,
dass sie es
dass sie es
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
in einer weiterführenden Klasse
oder einem Test brauchen werden.
oder einem Test brauchen werden.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Aber wäre es nicht großartig,
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
wenn wir Mathematik hin und wieder
einfach machen würden,
einfach machen würden,
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
weil es Spaß macht oder schön ist
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
oder weil es den Verstand stimuliert?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Ich weiß, dass viele Menschen
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
nicht die Gelegenheit hatten,
das selbst zu erleben,
das selbst zu erleben,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
also lassen Sie mich Ihnen
ein kurzes Beispiel geben
ein kurzes Beispiel geben
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
mit meiner bevorzugten Zahlenfolge,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
den Fibonacci-Zahlen. (Applaus)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Ja! Es gibt schon Fibonacci-Fans hier.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Das ist großartig.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Nun diese Zahlen können
auf ganz unterschiedliche Weise
auf ganz unterschiedliche Weise
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
gewürdigt werden.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Vom Standpunkt der Berechnung
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
sind sie so einfach zu verstehen
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
wie eins und eins, gibt zwei.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Dann macht 1 und 2 drei
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 plus 3 ist 5, 3 plus 5 ist 8,
01:29
and so on.
34
77787
1525
usw.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Die Person, die wir Fibonacci nennen,
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
hieß tatsächlich Leonardo von Pisa
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
und diese Zahlen tauchen
in seinem Buch "Liber Abaci" auf,
in seinem Buch "Liber Abaci" auf,
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
das der westlichen Welt
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
die arithmetischen Methoden beibrachte,
die wir heutzutage nutzen.
die wir heutzutage nutzen.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Hinsichtlich der Anwendungen
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
finden wir Fibonacci-Zahlen in der Natur
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
erstaunlich oft.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Die Anzahl der Blütenblätter
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
ist eine typische Fibonacci-Zahl,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
oder die Anzahl von Spiralen
auf einer Sonnenblume,
auf einer Sonnenblume,
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
oder einer Ananas
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
sind häufig ebenfalls Fibonacci-Zahlen.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Tatsächlich gibt es viel mehr
Anwendungsbereiche der Fibonacci-Folge,
Anwendungsbereiche der Fibonacci-Folge,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
aber am meisten inspirieren mich an ihnen
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
die schönen Zahlenmuster,
die sie aufweisen.
die sie aufweisen.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Lassen Sie mich Ihnen
einen meiner Favoriten zeigen.
einen meiner Favoriten zeigen.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Angenommen Sie mögen Quadratzahlen,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
und ehrlich, wer mag sie nicht? (Lachen)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Betrachten wir die Quadratzahlen
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
der ersten paar Fibonacci-Zahlen.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Eins zum Quadrat ist also eins,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2 zum Quadrat ist 4,
3 zum Quadrat ist 9,
3 zum Quadrat ist 9,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5 zum Quadrat ist 25, und so weiter.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Es ist also keine Überraschung,
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
dass wenn man aufeinanderfolgende
Fibonacci-Zahlen addiert,
Fibonacci-Zahlen addiert,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
die nächste Fibonacci-Zahl erhält.
Stimmt's?
Stimmt's?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
So entstehen sie.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Aber man erwartet nicht,
dass etwas Besonderes passiert,
dass etwas Besonderes passiert,
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
wenn man die Quadratzahlen addiert.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Aber schauen Sie sich das an.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 und 1 gibt 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
und 1 plus 4 gibt 5.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Und 4 plus 9 macht 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 plus 25 gibt 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
und das Muster setzt sich fort.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Es gibt auch noch ein weiteres.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Angenommen man würde gerne
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
die Quadratzahlen der ersten
paar Fibonacci-Zahlen addieren.
paar Fibonacci-Zahlen addieren.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Schauen wir uns an, was wir erhalten.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Also ergibt 1 plus 1 plus 4 ist 6,
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
und plus 9 ergibt 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Addieren wir 25, erhalten wir 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Addieren wir 64, erhalten wir 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Schauen Sie nun diese Zahlen an.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Das sind keine Fibonacci-Zahlen,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
aber wenn man sie genau betrachtet,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
sehen sie die Fibonacci-Zahlen
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
in ihnen enthalten.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Sehen sie es? Ich zeige es Ihnen.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 ist zweimal 3, 15 ist dreimal 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 ist fünfmal 8,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8, wem verdanken wir das?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Gelächter)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! Natürlich.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
So viel Spaß es auch macht,
diese Muster zu entdecken,
diese Muster zu entdecken,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
ist es sogar noch befriedigender
zu verstehen,
zu verstehen,
03:42
why they are true.
92
210924
1958
warum sie wahr sind.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Schauen wir uns die letzte Gleichung an.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Warum sollten die Potenzen
von 1, 1, 2, 3, 5 und 8
von 1, 1, 2, 3, 5 und 8
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
sich zu 8 mal 13 addieren?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Ich zeige Ihnen das
mit einem einfachen Bild.
mit einem einfachen Bild.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Wir beginnen mit einem 1x1-Quadrat
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
und dann stellen wir ein
weiteres 1x1-Quadrat daneben.
weiteres 1x1-Quadrat daneben.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Zusammen bilden sie ein 1x2-Rechteck.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Darunter setzen wir ein 2x2-Quadrat,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
und daneben ein 3x3-Quadrat,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
darunter ein 5x5-Quadrat,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
und dann ein 8x8-Quadrat,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
erschaffen ein riesiges Rechteck.
Stimmt's?
Stimmt's?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Lassen Sie mich Ihnen
eine einfache Frage stellen:
eine einfache Frage stellen:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
Was ist die Fläche des Rechtecks?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Einerseits
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
ist sie die Summe der Flächen
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
der Quadrate im Inneren. Stimmt's?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
So wie wir sie gebildet haben.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Das ist 1² plus 1²
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
plus 2² plus 3²
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
plus 5² plus 8². Stimmt's?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Das ist die Fläche.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Da es ein Quadrat ist,
ist die Fläche einerseits
ist die Fläche einerseits
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
gleich Länge mal Breite,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
und die Breite ist eindeutig 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
und die Länge ist 5 plus 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
welches die nächste Fibonacci-Zahl 13 ist.
Stimmt's?
Stimmt's?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Die Fläche ist also auch 8 mal 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Da wir die Fläche
auf zwei verschiedene Arten
auf zwei verschiedene Arten
05:00
two different ways,
122
288880
1687
korrekt berechnet haben,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
müssen sie die gleiche Größe haben,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
und daher addieren sich die Quadrate
von 1, 2, 3, 5 und 8
von 1, 2, 3, 5 und 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
zu 8 mal 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Wenn man diesen Prozess fortsetzt,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
erhält man Rechtecke von 13 mal 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 mal 34, und so weiter.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Schauen Sie sich das an.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Wenn man 13 durch 8 teilt,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
erhält man 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
Wenn man die größere Zahl
durch die kleinere teilt,
durch die kleinere teilt,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
nähert sich das Verhältnis
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
an ungefähr 1,618 an,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
vielen Menschen
als Goldener Schnitt bekannt,
als Goldener Schnitt bekannt,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
eine Zahl, die viele Mathematiker,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
Wissenschaftler und Künstler
jahrhundertelang faszinierte.
jahrhundertelang faszinierte.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Ich zeige Ihnen das alles,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
denn wie bei vielem in der Mathematik
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
gibt es eine wunderschöne Seite,
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
die in unseren Schulen
05:51
in our schools.
142
339146
1567
nicht genug beachtet wird.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Wir verwenden viel Zeit damit,
etwas über Berechnungen zu lernen,
etwas über Berechnungen zu lernen,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
aber lassen Sie uns die Anwendung
nicht vergessen,
nicht vergessen,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
einschließlich der wichtigsten
Anwendungen von allen:
Anwendungen von allen:
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
Zu lernen wie man denkt.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Könnte ich das in einem Satz
zusammenfassen,
zusammenfassen,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
wäre es dieser:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Mathematik bedeutet nicht nur
nach X aufzulösen,
nach X aufzulösen,
06:10
it's also figuring out why.
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es geht auch darum,
herauszufinden warum.
herauszufinden warum.
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Thank you very much.
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Vielen Dank.
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(Applause)
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(Applaus)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com