TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Άρθουρ Μπέντζαμιν: Η μαγεία της ακολουθίας Φιμπονάτσι
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Τα μαθηματικά είναι λογικά, λειτουργικά και απλώς ... υπέροχα. Ο μαθημάγος Άρθουρ Μπέντζαμιν εξερευνά κρυφές ιδιότητες αυτού του περίεργου και υπέροχου συνόλου αριθμών, της ακολουθίας Φιμπονάτσι (Και σας υπενθυμίζει ότι τα μαθηματικά μπορούν, επίσης, να είναι πηγή έμπνευσης!).
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Γιατί λοιπόν μαθαίνουμε μαθηματικά;
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Ουσιαστικά, για τρεις λόγους:
00:18
calculation,
2
6200
1628
υπολογισμό,
00:19
application,
3
7828
1900
εφαρμογή
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
και τέλος, και δυστυχώς λιγότερο
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
συγκριτικά με το χρόνο που του δίνουμε,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
έμπνευση.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των μοτίβων
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
και τα μελετάμε για να μάθουμε πώς
να σκεφτόμαστε λογικά,
να σκεφτόμαστε λογικά,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
κριτικά και δημιουργικά,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
αλλά πολλά από τα μαθηματικά
που μάθαμε στο σχολείο
που μάθαμε στο σχολείο
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
δεν έχουν αποτελεσματικά κίνητρα
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
και όταν οι μαθητές μας ρωτούν,
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
«Γιατί το μαθαίνουμε αυτό;»
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
στη συνέχεια ακούνε συχνά
ότι θα τα χρειαστούν
ότι θα τα χρειαστούν
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
σε κάποιο επόμενο μάθημα μαθηματικών
ή σ' ένα μελλοντικό διαγώνισμα.
ή σ' ένα μελλοντικό διαγώνισμα.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Αλλά δεν θα ήταν υπέροχο
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
αν πού και πού κάναμε μαθηματικά
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
απλά και μόνο επειδή
ήταν διασκεδαστικό ή όμορφο
ήταν διασκεδαστικό ή όμορφο
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
ή επειδή διέγειρε το μυαλό;
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Τώρα, ξέρω ότι πολλοί άνθρωποι δεν είχαν
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
την ευκαιρία να δουν
πώς μπορεί να συμβεί αυτό,
πώς μπορεί να συμβεί αυτό,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
οπότε επιτρέψτε μου να σας δώσω
ένα γρήγορο παράδειγμα
ένα γρήγορο παράδειγμα
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
με την αγαπημένη μου συλλογή αριθμών,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
την ακολουθία Φιμπονάτσι.
(Χειροκρότημα)
(Χειροκρότημα)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Ναι! Έχω ήδη θαυμαστές του Φιμπονάτσι εδώ.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Αυτό είναι υπέροχο.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Τώρα, αυτοί οι αριθμοί
μπορούν να ερμηνευτούν
μπορούν να ερμηνευτούν
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
με πολλούς διαφορετικούς τρόπους.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Από τη σκοπιά του υπολογισμού,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
είναι τόσο εύκολοι στην κατανόηση
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
όσο το ένα συν ένα, που κάνουν δύο.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Μετά ένα συν δύο κάνουν τρία,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
δύο συν τρία κάνουν πέντε,
τρία συν πέντε κάνουν οκτώ,
τρία συν πέντε κάνουν οκτώ,
01:29
and so on.
34
77787
1525
και ούτω καθεξής.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Μάλιστα, το πρόσωπο
που λέμε Φιμπονάτσι
που λέμε Φιμπονάτσι
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
στην πραγματικότητα ονομαζόταν
Λεονάρντο της Πίζας
Λεονάρντο της Πίζας
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
και αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται
στο βιβλίο του «Το βιβλίο του Άβακος»,
στο βιβλίο του «Το βιβλίο του Άβακος»,
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
που δίδαξε στον Δυτικό κόσμο
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
τις μεθόδους της αριθμητικής
που χρησιμοποιούμε σήμερα.
που χρησιμοποιούμε σήμερα.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Όσον αφορά τις εφαρμογές,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
η ακολουθία Φιμπονάτσι
εμφανίζεται στη φύση
εμφανίζεται στη φύση
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
εκπληκτικά συχνά.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Ο αριθμός των πετάλων σε ένα λουλούδι
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
συνήθως είναι μία ακολουθία Φιμπονάτσι
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
ή ο αριθμός των σπειρών
σε ένα ηλιοτρόπιο
σε ένα ηλιοτρόπιο
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
ή έναν ανανά
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
τείνει να είναι και αυτός
μία ακολουθία Φιμπονάτσι.
μία ακολουθία Φιμπονάτσι.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Πράγματι, υπάρχουν πολλές περισσότερες
εφαρμογές των ακολουθιών Φιμπονάτσι,
εφαρμογές των ακολουθιών Φιμπονάτσι,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
αλλά αυτό που με εμπνέει
περισσότερο σε αυτήν
περισσότερο σε αυτήν
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
είναι τα υπέροχα αριθμητικά
μοτίβα που εμφανίζονται.
μοτίβα που εμφανίζονται.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Επιτρέψτε μου να σας δείξω ένα από τα αγαπημένα μου.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Ας υποθέσουμε ότι σας αρέσει
να υψώνετε αριθμούς στο τετράγωνο,
να υψώνετε αριθμούς στο τετράγωνο,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
και ειλικρινά, σε ποιον δεν αρέσει;
(Γέλια)
(Γέλια)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Ας δούμε τα τετράγωνα
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
των πρώτων αριθμών της ακολουθίας Φιμπονάτσι.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Έτσι, ένα στο τετράγωνο κάνει ένα,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
δύο στο τετράγωνο κάνει τέσσερα,
τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα,
τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
πέντε στο τετράγωνο κάνει 25,
και ούτω καθεξής.
και ούτω καθεξής.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Τώρα, δεν αποτελεί έκπληξη
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
ότι όταν προσθέσετε
συνεχόμενους αριθμούς Φιμπονάτσι,
συνεχόμενους αριθμούς Φιμπονάτσι,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
θα έχετε τον επόμενο αριθμό Φιμπονάτσι.
Σωστά;
Σωστά;
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Έτσι δημιουργήθηκαν.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Αλλά δεν θα περιμένατε κάτι ιδιαίτερο
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
να συμβεί όταν προσθέσετε
τα τετράγωνα μαζί.
τα τετράγωνα μαζί.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Αλλά για κοιτάξτε αυτό.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Ένα συν ένα μας δίνει δύο
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
και ένα συν τέσσερα μας δίνει πέντε.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Και τέσσερα συν εννέα κάνει 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
εννέα συν 25 κάνει 34
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
και ναι, το μοτίβο συνεχίζεται.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Στην πραγματικότητα, δείτε άλλο ένα.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εξετάσετε
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
την πρόσθεση των τετραγώνων
των πρώτων αριθμών Φιμπονάτσι.
των πρώτων αριθμών Φιμπονάτσι.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Ας δούμε τι έχουμε εκεί.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Έτσι, ένα συν ένα συν τέσσερα κάνει έξι.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Προσθέσετε εννέα σε αυτό
και έχουμε 15.
και έχουμε 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Προσθέστε 25, έχουμε 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Προσθέστε 64, έχουμε 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Τώρα κοιτάξτε αυτούς τους αριθμούς.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Αυτοί δεν είναι αριθμοί Φιμπονάτσι,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
αλλά αν τους κοιτάξετε προσεκτικά,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
θα δείτε τους αριθμούς Φιμπονάτσι
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
που κρύβονται μέσα τους.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Το βλέπετε; Θα σας το δείξω.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Το έξι είναι δύο φορές το τρία,
το 15 είναι τρεις φορές το πέντε,
το 15 είναι τρεις φορές το πέντε,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
το 40 είναι πέντε φορές το οκτώ,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
δύο, τρία, πέντε, οκτώ,
ποιον εκτιμούμε;
ποιον εκτιμούμε;
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Γέλια)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Τον Φιμπονάτσι! Φυσικά.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Τώρα, όσο διασκεδαστική κι αν είναι
η ανακάλυψη αυτών των μοτίβων,
η ανακάλυψη αυτών των μοτίβων,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
είναι ακόμη πιο ικανοποιητική η κατανόηση
03:42
why they are true.
92
210924
1958
του γιατί είναι αληθή.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Ας δούμε αυτή την τελευταία εξίσωση.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Γιατί πρέπει τα τετράγωνα του ένα,
ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ
ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
είναι συνολικά οκτώ επί 13;
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Θα σας δείξω σχεδιάζοντας μια απλή εικόνα.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Θα αρχίσουμε με ένα τετράγωνο ένα επί ένα
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
και δίπλα σε αυτό βάζουμε
ακόμη ένα τετράγωνο ένα επί ένα.
ακόμη ένα τετράγωνο ένα επί ένα.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Μαζί, σχηματίζουν
ένα ορθογώνιο ένα επί δύο.
ένα ορθογώνιο ένα επί δύο.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Κάτω από αυτό, θα βάλω
ένα τετράγωνο δύο επί δύο
ένα τετράγωνο δύο επί δύο
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
και δίπλα του ένα τετράγωνο τρία επί τρία,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
κάτω από αυτό, ένα τετράγωνο πέντε επί πέντε
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
και στη συνέχεια
ένα τετράγωνο οχτώ επί οχτώ,
ένα τετράγωνο οχτώ επί οχτώ,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
δημιουργώντας ένα γιγαντιαίο ορθογώνιο, σωστά;
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Τώρα, επιτρέψτε μου να σας θέσω
ένα απλό ερώτημα:
ένα απλό ερώτημα:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου;
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Λοιπόν, από τη μία πλευρά,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
είναι το άθροισμα από τα εμβαδά
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
των τετραγώνων μέσα σ' αυτό, σωστά;
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Ακριβώς όπως το δημιουργήσαμε.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Είναι ένα στο τετράγωνο
συν ένα στο τετράγωνο
συν ένα στο τετράγωνο
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
συν δύο στο τετράγωνο
συν τρία στο τετράγωνο
συν τρία στο τετράγωνο
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
συν πέντε στο τετράγωνο
συν οκτώ στο τετράγωνο. Σωστά;
συν οκτώ στο τετράγωνο. Σωστά;
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Αυτό είναι το εμβαδόν.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Από την άλλη πλευρά,
επειδή είναι ένα ορθογώνιο,
επειδή είναι ένα ορθογώνιο,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
το εμβαδόν είναι ίσο
με το ύψος επί τη βάση
με το ύψος επί τη βάση
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
και το ύψος είναι σαφώς οκτώ
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
και η βάση είναι πέντε συν οκτώ,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
ο οποίος είναι ο επόμενος
αριθμός Φιμπονάτσι, το 13. Σωστά;
αριθμός Φιμπονάτσι, το 13. Σωστά;
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Έτσι, το εμβαδόν είναι
επίσης οκτώ φορές το 13.
επίσης οκτώ φορές το 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Αφού έχουμε υπολογίσει σωστά το εμβαδόν
05:00
two different ways,
122
288880
1687
με δύο διαφορετικούς τρόπους,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
και γι' αυτό το λόγο τα τετράγωνα
του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ
του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
είναι συνολικά οκτώ επί 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Τώρα, αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
θα παράγουμε ορθογώνια
της μορφής 13 επί 21,
της μορφής 13 επί 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 επί 34 και ούτω καθεξής.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Τώρα κοιτάξτε αυτό.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Εάν διαιρέσετε το 13 με το οκτώ,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
θα έχετε το 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
Και εάν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό
με το μικρότερο αριθμό,
με το μικρότερο αριθμό,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
τότε αυτά τα ποσοστά πάνε όλο και πιο κοντά
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
περίπου στο 1,618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
γνωστό σε πολλούς ως η Χρυσή Τομή,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
ένας αριθμός που έχει συναρπάσει
τους μαθηματικούς,
τους μαθηματικούς,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
τους επιστήμονες
και τους καλλιτέχνες για αιώνες.
και τους καλλιτέχνες για αιώνες.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Τώρα, σας τα δείχνω όλα αυτά επειδή,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
όπως και τόσα πολλά στα μαθηματικά,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
υπάρχει μια όμορφη πλευρά σε αυτό
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
που φοβάμαι ότι δεν της δίνουν
επαρκή προσοχή
επαρκή προσοχή
05:51
in our schools.
142
339146
1567
στα σχολεία μας.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Ξοδεύουμε πολύ χρόνο μαθαίνοντας
για τον υπολογισμό,
για τον υπολογισμό,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
αλλά ας μην ξεχνάμε την εφαρμογή,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
συμπεριλαμβανομένων, ενδεχομένως,
την πιο σημαντική εφαρμογή απ' όλες,
την πιο σημαντική εφαρμογή απ' όλες,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
να μαθαίνουμε πώς να σκεφτόμαστε.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Αν μπορούσα να το συνοψίσω σε μια φράση,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
θα ήταν η εξής:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς
η επίλυση ως προς το x,
η επίλυση ως προς το x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
είναι και η κατανόηση του γιατί.
(Λογοπαίγνιο)
(Λογοπαίγνιο)
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Σας ευχαριστώ πολύ.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Χειροκρότημα)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com