TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
A mágikus Fibonacci számok
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
A matek logikus, hasznos és ... bámulatos. Arthur Benjamin matemágus felfedi nekünk e csodálatos számsorozat, a Fibonacci számok misztikus rejtélyét. (És emlékeztet minket, hogy a matematika még inspiráló is lehet!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Nos, miért tanulunk matematikát?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Alapvetően három oka van:
00:18
calculation,
2
6200
1628
számolás,
00:19
application,
3
7828
1900
alkalmazás,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
és végül, és sajnos utolsó sorban
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
az erre szentelt idő tekintetében,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
inspiráció.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
A matematika a minták tudománya,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
és azért tanuljuk, hogy megtanuljunk logikusan,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
kritikusan és kreatívan gondolkozni,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
de túlnyomó része az iskolában tanult
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
matematikának nem eléggé motiváló,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
és amikor a diák megkérdezi:
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Miért tanuljuk ezt?"
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
akkor gyakran azt a választ kapja, hogy a következő
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
matek órára tudni kell, vagy a vizsgán tudni kell.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
De nem lenne nagyszerű,
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
ha minden egyes pillanatban azért tanulnánk,
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
mert egyszerűen élvezetes lenne, és szép,
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
vagy mert izgalmas?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Tudom, sok embernek nem adatott meg
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
a lehetőség, hogy lássák, ez működhet,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
szóval engedjék meg, hogy megmutassam egy példával,
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
kedvenc számsorozatommal,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
a Fibonacci számokkal. (Taps)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Igeen. Máris vannak itt Fibonacci rajongók.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Nagyszerű.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Ezek a számok többféle szempontból is
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
figyelemre méltóak.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Számolási szempontból
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
olyan könnyen megérthetők,
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
mint hogy egy meg egy az kettő.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Aztán egy meg kettő az három,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
kettő meg három az öt, három meg öt az nyolc,
01:29
and so on.
34
77787
1525
és így tovább.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Egyébként, akit Fibonacci-ként ismerünk,
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
valójában Pisai Leonardónak hívták,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
és ezek a számok a "Liber Abaci" című könyvében tűntek fel,
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
mely megtanította a nyugati társadalmakat arra
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
a számtantudományra, amit mai napig alkalmazunk.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Az alkalmazás tekintetében a Fibonacci
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
számok meglepően sokszor előfordulnak
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
a természetben.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Egy virág szirmainak száma
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
tipikus Fibonacci szám,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
vagy a spirálok száma a napraforgón
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
vagy az ananászon
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
ugyancsak hajlamos Fibonacci szám lenni.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Valójában rengeteg megjelenési formája van a Fibonacci számoknak,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
de számomra a legelgondoltatóbbak
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
a gyönyörű, szabályos minták, amiket ezek a számok kiadnak.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Had mutassam meg az egyik kedvencemet.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Felteszem szeretnek négyzetre emelni,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
most őszintén, ki nem szeret? (Nevetés)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Nézzük az első pár Fibonacci szám
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
négyzetét.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Egy négyzete az egy,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
Kettő négyzete az négy, három négyzete kilenc,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
öt négyzete 25, és így tovább.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Abban nincs semmi meglepő, hogy ha összeadjuk
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
az egymás melletti Fibonacci számokat,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
akkor a következő Fibonacci számot kapjuk, igaz?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Hisz így kell képezni a sort.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
De nem számítanának semmi érdekesre,
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
ha az egymás melletti négyzeteiket adjuk össze.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
De nézzék csak.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Egy meg egy kettöt ad,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
és egy meg négy ötöt.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Négy meg kilenc az 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
kilenc meg 25 az 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
és igen, a szabály folytatódik.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Valójában, itt egy másik.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Gondolom most meg akarják nézni az első pár
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
Fibonacci szám négyzetösszegeit.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Lássuk, mit kapunk.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Egy meg egy meg négy az hat.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Adjuk hozzá a kilencet, az 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Adjuk hozzá a 25-öt, az 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Adjuk hozzá a 64-et, 104-et kapunk.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Most nézzük ezeket a számokat.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Ezek nem Fibonacci számok,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
de ha közelebbről megnézzük öket,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
akkor felfedezhetjük bennük
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
a Fibonacci számokat elrejtve.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Látják? Megmutatom.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Hat az kétszer három, 15 az háromszor öt.
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 az ötször nyolc,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
kettő, három, öt, nyolc,
na most kire gondolsz?
na most kire gondolsz?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Nevetès)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! Hát persze.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Amennyire jó móka felfedezni ezeket az ismétlődő mintákat,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
még annál is jobb megérteni,
03:42
why they are true.
92
210924
1958
hogy ezek miért igazak.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Nézzük az utolsó egyenletet.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Miért szükségszerű, hogy az egy, egy, kettő, három, öt és kilenc négyzetösszege
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
pontosan 8x13 ?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Megmutatom egy egyszerű rajzocskával.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Kezdjük egy 1x1-es négyzettel
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
majd tegyünk mégegy 1x1-es négyzetet mellé.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Együtt egy 1x2-es téglalapot alkotnak.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Teszek alájuk egy 2x2-es négyzetet,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
majd melléjük egy 3x3-as négyzetet,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
majd mindezek alá egy 5x5-ös négyzetet,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
majd ezután egy 8x8-as négyzet jön,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
létrehozva egy nagy téglalapot, igaz?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Had tegyek fel egy egyszerű kérdést:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
Mekkora a területe ennek a nagy téglalapnak?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Nos, egyfelől
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
az összege a kis részterületeknek,
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
azaz a négyzetek összege, igaz?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Ezekből raktuk össze.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Egy a négyzeten plusz egy a négyzeten
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
plusz kettő a négyzeten plusz három a négyzeten
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
plusz öt a négyzeten plusz nyolc a négyzeten, igaz?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Ez a területe.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Másfelől, mivel ez egy téglalap,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
a területe egyenlő a két oldal szorzatával,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
és az egyik oldal nyilván 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
a másik oldal pedig 5 plusz 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
ami 13, azaz a következő Fibonacci szám. Igaz?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Tehát a területet felírhatjuk úgy is, hogy 8x13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Mivel kétféle módon felírtuk
05:00
two different ways,
122
288880
1687
ugyanazt a területet,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
így ezek szükségképpen egyenlőek,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
ezért van az, hogy az 1, 1, 2, 3, 5 és 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
négyzetösszege egyenő 8x13-mal.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Most ha folytatjuk az eljárást,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
kapunk egy 13x21-es nagy téglalapot,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
majd egy 21x34-es téglalapot, és így tovább.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Most ezt nézzék csak!
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Ha elosztjuk 8-cal a 13-at,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
1.625-öt kapunk.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
És ha elosztjuk a nagyobb számot a kisebbel,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
a hányados egyre közelít
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
az 1.618-hoz,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
ami nem más, mint az aranymetszés,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
a szám, mely elbűvölte a matematikusokat,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
tudósokat, művészeket századokon át.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Most, ezt az egészet azért mutatom meg önöknek,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
mert mint annyi másnak a matematikában,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
ennek is rengeteg szépsége van,
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
és félek nem kap elég figyelmet
05:51
in our schools.
142
339146
1567
az iskolai oktatásban.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Rengeteg időt töltünk számolással,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
de ne feledkezzünk meg az alkalmazásáról se,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
ideértve talán a legfontosabb alkalmazását,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
a gondolkodni tanítást.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Egy mondatban úgy tudnám
06:05
it would be this:
148
353789
1461
összefoglalni mindezt:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
A matematika nem csak az, hogy mennyi az x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
hanem azt is megmondja, miért annyi.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Köszönöm szépen.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Taps)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com