TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Артур Бенджамін: Магія чисел Фібоначчі
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Математика логічна, функціональна і просто.. неймовірна. Математик Артур Бенджамін досліджує приховані властивості послідовності Фібоначчі - цього дивного та чудесного набору чисел. (І нагадує вам, що математика може також дарувати натхнення!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Чому ми вивчаємо математику?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
По суті - з трьох причин:
00:18
calculation,
2
6200
1628
обчислення,
00:19
application,
3
7828
1900
функціональне застосування
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
і, останнє, на жаль, найменш значиме
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
з тієї точки зору, яку ми розглядаємо,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
натхнення.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Математика - це наука шаблонів,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
ми вивчаємо її, щоб думати логічно,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
критично та креативно,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
але забагато математики, яку ми вивчаємо у школі,
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
не має ефективної мотивації,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
і коли студенти запитують,
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Для чого ми це вчимо?",
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
вони часто чують, що їм це буде потрібно
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
на наступному занятті чи майбутньому тесті.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Але чи не було б це чудово,
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
якби ми вивчали математику
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
просто тому, що це весело чи прекрасно
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
або тому, що вона зацікавлює нас?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Я знаю, що багато людей не мали
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
можливості бачити, як це може статися,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
тому дозвольте мені надати вам приклад
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
з моєї улюбленої числової послідовності
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
чисел Фібоначчі. (Оплески)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
О так! Бачу тут присутні фани Фібоначчі.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Чудово.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Ці числа можна визначити
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
по-різному.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
З точки зору обчислення,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
їх легко зрозуміти
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
як один плюс один, що дає два.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Тоді один плюс два дає в результаті три,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
два плюс три - п'ять, три плюс п'ять - вісім,
01:29
and so on.
34
77787
1525
і так далі.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Насправді, людину, яку ми називаємо Фібоначчі,
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
звали Леонардо Пізанський,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
і ці числа з'являються у його праці "Книга абака" (рахування),
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
яка навчила західний світ
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
методів арифметики, що їх ми використовуємо сьогодні.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
З погляду застосування
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
числа Фібоначчі з'являються у природі
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
дивовижно часто.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Кількість пелюстків квітки
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
є, як правило, числом Фібоначчі,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
або кількість спіралей соняшника
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
чи ананаса
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
є також числом Фібоначчі.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Існує чимало інших застосувань чисел Фібоначчі,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
але найцікавіші, як на мене,
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
це неймовірні числові моделі, що їх вони відображають.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Дозвольте вам показати одну з моїх улюблених.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Припустимо, ви любите підносити числа до квадрату,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
і чесно кажучи, хто не любить? (Сміх)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Подивімось на квадрати
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
перших кількох чисел Фібоначчі.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Отже, один у квадраті становить один,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
два в квадраті - чотири, три в квадраті - дев'ять,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
п'ять в квадраті - 25 і так далі.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Ми знаємо,
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
що коли додати послідовні числа Фібоначчі,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
ми отримаємо наступне число Фібоначчі. Правильно?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Так вони утворюються.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Однак ви не будете очікувати нічого особливого,
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
додаючи квадрати цих чисел.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Але перевірмо.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Один плюс один дає нам два,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
один плюс чотири дає п'ять.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
І чотири плюс дев'ять - тринадцять,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
дев'ять плюс двадцять п'ять - тридцять чотири,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
і так, послідовність продовжується.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Фактично, є ще одна.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Припустимо, ви хочете глянути на
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
суму квадратів перших кількох чисел Фібоначчі.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Подивімось, що ми отримаємо.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Отож, один плюс один плюс чотири становить шість.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Додавши дев'ять, отримуємо 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Додаємо 25, отримуємо 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Додаємо 64, отримуємо 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Тепер подивимось на ці числа.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Це не числа Фібоначчі,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
але якщо придивитись ближче,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
можна побачити числа Фібоначчі,
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
приховані всередині них.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Ви бачите їх? Я вам покажу.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Шість - це двічі по три, п'ятнадцять - це тричі по п'ять,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
сорок - це п'ять разів по вісім,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
два, три, п'ять, вісім, кому ми маємо завдячувати?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Сміх)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Фібоначчі! Звичайно.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Страшенно весело знаходити ці схеми,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
та ще більше задоволення приносить розуміння того,
03:42
why they are true.
92
210924
1958
чому вони справджуються.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Поглянемо на це останнє рівняння.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Чому квадрати одиниці, одиниці, двох, трьох, п'яти, і восьми
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
дорівнюють вісім разів по тринадцять?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Я вам покажу, намалювавши просту картинку.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Ми почнемо з квадратика один-на-один
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
і біля нього розмістимо ще один такого ж розміру.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Разом вони формують прямокутник розміром один на два.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Під ним я розміщу квадрат два-на-два
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
і біля нього ще один розміром три-на-три,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
під ними квадрат п'ять-на-п'ять,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
і потім ще один вісім-на-вісім,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
тим самим створивши величезний прямокутник, правильно?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Зараз дозвольте поставити просте запитання:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
яка площа цього прямокутника?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
З одного боку,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
це сума площ
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
квадратів, які знаходяться всередині, чи не так?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Так, як ми його і створили.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Це один у квадраті плюс один у квадраті
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
плюс два у квадраті плюс три у квадраті
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
плюс п'ять у квадраті плюс вісім у квадраті. Так?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Це площа.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
З іншого боку, оскільки це прямокутник,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
площа є рівною добутку висоти на основу,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
висота дорівнює, зрозуміло, вісім
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
і основа - п'ять плюс вісім,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
що є наступним числом Фібоначчі, 13. Правильно?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Отже, площа дорівнює також вісім помножити на тринадцять.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Так як ми правильно розрахували площу
05:00
two different ways,
122
288880
1687
двома способами,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
вони мусять бути рівні,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
а тому квадрати одиниці, одиниці, двох, трьох, п'яти та восьми
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
дорівнюють добутку восьми та тринадцяти.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Тепер, якщо ми продовжимо цей процес,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
ми створимо прямокутник розміром 13 на 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 на 34, і так далі.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Тепер це перевіримо.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Якщо ви поділите 13 на 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
то отримаєте 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
І якщо ви поділите більше число на менше,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
то ці відношення будуть все ближчими
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
приблизно до 1,618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
число, знайоме багатьом як Золотий перетин,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
число, яке зачаровувало математиків,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
науковців та митців протягом століть.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Я показую вам це все тому, що
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
як і багато іншого у математиці,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
це її цікава сторона,
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
яка, боюсь, не отримує достатньо уваги
05:51
in our schools.
142
339146
1567
у наших школах.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Ми витрачаємо багато часу, вивчаючи обчислення,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
але не забуваймо про застосування,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
зокрема, мабуть, найважливіше застосування,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
яке вчить, як думати.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Якби я міг підсумувати все одним реченням,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
воно б виглядало так:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Математика - це не просто інструмент для знаходження x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
вона також для розуміння - чому.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Щиро Вам дякую.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Оплески)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com