TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Артур Бенджамин: Магия чисел Фибоначчи
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Математика логична, функциональна и просто... невероятна. Математический маг Артур Бенджамин исследует скрытые свойства странного и чудесного набора чисел — последовательности Фибоначчи. (И он напоминает вам, что математика может вдохновлять!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Почему мы изучаем математику?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
По сути, есть три причины:
00:18
calculation,
2
6200
1628
расчёт,
00:19
application,
3
7828
1900
применение
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
и последняя (к сожалению,
наименее важная
наименее важная
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
с точки зрения времени,
которое мы ей уделяем) —
которое мы ей уделяем) —
00:26
inspiration.
6
14520
1922
это вдохновение.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Математика — это наука о моделях,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
и мы изучаем её,
чтобы научиться мыслить логично,
чтобы научиться мыслить логично,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
критично и творчески,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
но та математика,
которую мы изучаем в школе
которую мы изучаем в школе
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
чаще всего неэффективно мотивирована,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
и когда наши студенты спрашивают:
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
«Почему мы это изучаем?» —
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
то им часто приходится слышать,
что это необходимо
что это необходимо
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
в предстоящем математическом классе
или для будущих тестов.
или для будущих тестов.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Но было бы здорово,
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
если бы мы хоть иногда
занимались математикой
занимались математикой
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
просто потому, что это весело или красиво
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
или потому, что она волнует ум.
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Я знаю, что многие люди не имеют
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
возможности увидеть, как это происходит,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
поэтому позвольте мне показать вам
небольшой пример
небольшой пример
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
из моей любимой коллекции чисел,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
чисел Фибоначчи. (Аплодисменты)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Да! Тут уже есть фанаты Фибоначчи.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Это здорово.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Эти цифры могут быть истолкованы
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
различными способами.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
С точки зрения вычислений,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
их так же легко понять,
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
как 1 + 1 = 2.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Тогда 1 + 2 = 3,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,
01:29
and so on.
34
77787
1525
и так далее.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
На самом деле человек,
которого мы называем Фибоначчи,
которого мы называем Фибоначчи,
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
носил имя Леонардо из Пизы,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
и эти цифры появляются
в его книге Liber Abaci,
в его книге Liber Abaci,
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
которая научила западный мир
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
методам арифметических операций,
используемых сегодня.
используемых сегодня.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
С точки зрения применений,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
числа Фибоначчи появляются в природе
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
удивительно часто.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Количество лепестков на цветке —
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
это типичное число Фибоначчи.
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
Количество спиралей на подсолнухе
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
или ананасе
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
также тяготеет к числу Фибоначчи.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
В самом деле, есть много больше применений
чисел Фибоначчи,
чисел Фибоначчи,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
но наиболее вдохновляющими,
по моему мнению,
по моему мнению,
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
являются прекрасные цифровые образцы,
которые они демонстрируют.
которые они демонстрируют.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Позвольте мне показать вам
один из моих любимых.
один из моих любимых.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Предположим, что вы хотите возвести
число в квадрат,
число в квадрат,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Давайте посмотрим на квадраты
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
первых нескольких чисел Фибоначчи.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
1 в квадрате равно 1,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2 в квадрате — 4,
3 в квадрате — это 9,
3 в квадрате — это 9,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5 в квадрате — 25 и так далее.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Теперь известно,
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
что при сложении
последовательных чисел Фибоначчи
последовательных чисел Фибоначчи
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
вы получите
следующее число Фибоначчи. Верно?
следующее число Фибоначчи. Верно?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Вот как они созданы.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Но вы не ожидаете ничего особенного
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
от сложения их квадратов.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Но давайте проверим это.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1 = 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
и 1 + 4 = 5.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
И 4 + 9 = 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 + 25 = 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
и да, шаблон повторяется.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Фактически тут есть ещё один шаблон.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Предположим,
вы хотите проанализировать
вы хотите проанализировать
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
сложение квадратов
нескольких первых чисел Фибоначчи.
нескольких первых чисел Фибоначчи.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Давайте посмотрим, что мы получим.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Так что 1 + 1 + 4 = 6.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Добавляем к этому 9 и получаем 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Добавив 25, мы получаем 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Добавив 64, мы получаем 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Теперь посмотрите на эти цифры.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Они не являются числами Фибоначчи,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
но если вы посмотрите на них внимательно,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
вы увидите, что числа Фибоначчи
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
скрыты внутри них.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Вы это видите? Я покажу вам это.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 — это 5 × 8,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8 — кому мы
должны быть признательны?
должны быть признательны?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Смех)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Фибоначчи! Конечно.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Обнаружить эти шаблоны было забавно,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
но ещё большее удовлетворение — понять,
03:42
why they are true.
92
210924
1958
почему они являются подлинными.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Давайте посмотрим
на последнее уравнение.
на последнее уравнение.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
составляют 8 × 13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Я покажу вам это,
нарисовав простую картину.
нарисовав простую картину.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Мы начнем с квадрата единицы,
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
и рядом с этим ещё один квадрат единицы.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Вместе они образуют
прямоугольник один на два.
прямоугольник один на два.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Ниже я поставлю квадрат 2 на 2,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
потом квадрат 3 на 3,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
под ним квадрат 5 на 5,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
и затем квадрат 8 на 8,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
получается один гигантский
прямоугольник, правильно?
прямоугольник, правильно?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Теперь позвольте мне
задать вам простой вопрос:
задать вам простой вопрос:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
какова площадь прямоугольника?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
С одной стороны,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
это сумма площадей
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
квадратов внутри него, правильно?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Так же, как мы создали его.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Это площадь.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
С другой стороны,
поскольку это прямоугольник,
поскольку это прямоугольник,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
площадь равна его высоте,
умноженной на ширину.
умноженной на ширину.
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
Высота равна 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
а ширина — 5 + 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
чем и является следующее
число Фибоначчи 13. Верно?
число Фибоначчи 13. Верно?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Таким образом, площадь равна 8 × 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Так как мы правильно рассчитали площадь
05:00
two different ways,
122
288880
1687
двумя разными способами,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
числа должны быть одинаковыми,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
складываются в 8 × 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Если мы продолжим этот процесс,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
мы создадим прямоугольники
размером 13 на 21,
размером 13 на 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 на 34 и так далее.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Теперь проверьте это.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Если вы разделите 13 на 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
вы получите 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
И если вы разделите большее число
на меньшее число,
на меньшее число,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
то эти коэффициенты становятся
всё ближе и ближе
всё ближе и ближе
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
к числу 1.618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
известному многим людям
как Золотое сечение,
как Золотое сечение,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
числу, которое очаровывало математиков,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
учёных и художников
на протяжении многих веков.
на протяжении многих веков.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Я показываю всё это вам потому,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
что много что в математике
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
имеет красивые стороны,
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
которые, боюсь,
не получают достаточного внимания
не получают достаточного внимания
05:51
in our schools.
142
339146
1567
в наших школах.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Мы тратим много времени
на изучение вычислений,
на изучение вычислений,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
но давайте не забывать и о применении,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
которое включает, возможно,
наиболее важное применение —
наиболее важное применение —
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
научиться думать.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Если я мог бы обобщить это
в одном предложении,
в одном предложении,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
это звучало бы так:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
математика — это не только поиск
решений для Х,
решений для Х,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
но также и поиск причин таких решений.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Большое спасибо.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Аплодисменты)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com