TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: Magin i Fibonaccis talserie
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Mattematiken är logisk, funktionell och helt enkelt ... häftig. Matematikern Arthur Benjamin utforskar gömda förhållanden i den underliga och fantastiska serien av tal, Fibonaccis talserie. (Och påminner dig om att matematik också kan vara inspirerande!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Varför lär vi oss matematik?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
I huvudsak av tre orsaker:
00:18
calculation,
2
6200
1628
beräkningar,
00:19
application,
3
7828
1900
tillämpningar,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
och till sist, och tyvärr minst
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
med tanke på den tid vi lägger ner på det,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
av inspiration.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Matematik är vetenskapen om mönster,
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
och vi studerar det för att lära oss
att tänka logiskt,
att tänka logiskt,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
kritiskt och kreativt,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
men allt för mycket av den matematik
som vi lär oss skolan
som vi lär oss skolan
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
är inte helt motiverad
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
och när våra elever frågar,
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Varför ska vi lära oss detta?"
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
säger vi att de kommer få nytta av det
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
i kommande mattekurser
eller senare på ett prov.
eller senare på ett prov.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Men skulle det inte vara fantastiskt
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
om vi någon gång använde matematik
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
bara för att det är roligt eller vackert
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
eller för att det stimulerar sinnet?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Nu vet jag att många inte har
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
fått möjligheten att se hur detta kan ske,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
så låt mig ge er ett snabbt exempel
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
med talserien som är min favorit,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
Fibonaccis talserie. (Applåder)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Yeah! Jag har redan Fibonaccifans här.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Det är fantastiskt.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Dessa tal kan uppskattas
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
på flera olika sätt.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Med utgångspunkt från beräkning,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
så är de lika lätta att förstå
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
som ett plus ett, som är två.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Ett plus två är tre,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
två plus tre är fem, tre plus fem är åtta,
01:29
and so on.
34
77787
1525
och så vidare.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
I själva verket,
personen vi kallar Fibonacci
personen vi kallar Fibonacci
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
hette egentligen Leonardo av Pisa,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
och dessa tal förekommer
i hans bok "Liber Abaci"
i hans bok "Liber Abaci"
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
vilken lärde västvärlden
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
den aritmetiska metod vi använder idag.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
För tillämpningar,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
förekommer Fibonaccital i naturen
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
förvånansvärt ofta.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Antalet kronblad i en blomma
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
är oftast ett Fibonaccital,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
eller antalet spiraler på en solros
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
eller ananas
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
tenderar också vara ett Fibonaccital.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Faktum är att det finns många
användningsområden för Fibonaccital,
användningsområden för Fibonaccital,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
men det som jag tycker är mest
inspirerande med dem
inspirerande med dem
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
är de vackra talmönster de uppvisar.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Jag ska visa er en av mina favoriter.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Antag att du gillar att kvadrera tal,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
och helt ärligt, vem gör inte det?
(Skratt)
(Skratt)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Vi tittar på kvadraten
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
av de första Fibonaccinummren.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Så kvadraten av ett är ett,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
kvadraten av två är fyra,
kvadraten av tre är nio
kvadraten av tre är nio
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
kvadraten av fem är tjugofem,
och så vidare.
och så vidare.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Det är ingen överraskning
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
att när du adderar Fibonaccital
som följer på varandra,
som följer på varandra,
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
så kommer du till nästa, eller hur?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Det är så de är gjorda.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Men man förväntar sig inget speciellt
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
av att addera kvadraterna.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Men kolla in detta.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
Ett plus ett ger oss två,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
och ett plus fyra ger oss fem.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
Och fyra plus nio är tretton,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
nio plus tjugofem är trettiofyra,,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
och ja, mönstret fortsätter.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Faktum är, att det finns en till.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Anta att du vill titta på
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
att addera kvadraterna av de
första Fibonaccitalen.
första Fibonaccitalen.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Låt oss se vad vi kan få.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Så ett plus ett plus fyra är sex.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
addera nio till, så får vi femton.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
addera 25, vi får 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Lägg till 64, vi får 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Titta nu på dessa siffror.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
De är inte Fibonaccital,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
men om du tittar närmare på dem,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
så ser du Fibonaccitalen
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
inbäddade i dem.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Ser ni det? Jag ska visa er.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
Sex är två gånger tre,
femton är tre gånger fem,
femton är tre gånger fem,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 är fem gånger åtta,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
två, tre, fem, åtta,
vem vi bakom detta blotta?
vem vi bakom detta blotta?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Skratt)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! Vem annars.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Hur roligt det än är att upptäcka
dessa mönster,
dessa mönster,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
är det ännu mer
tillfredställande att förstå
tillfredställande att förstå
03:42
why they are true.
92
210924
1958
varför detta stämmer.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Vi tittar på den sista ekvationen.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Varför borde kvadraten
av ett, ett, två, tre, fem, och åtta
av ett, ett, två, tre, fem, och åtta
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
bli åtta gånger 13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Jag ska visa det med en enkel bild.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Vi börjar med ett gånger ett - rutan
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
och sätter en annan
ett gånger ett -ruta vid sidan om.
ett gånger ett -ruta vid sidan om.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
tillsammans bildar de en
ett gånger två-rektangel.
ett gånger två-rektangel.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Under det placerar jag en
två gånger två-ruta,
två gånger två-ruta,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
och vid sidan om en tre gånger tre-ruta,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
under detta, en fem gånger fem-ruta.
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
och sedan en åtta gånger åtta-ruta,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
och skapar en stor rektangel, eller hur?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Låt mig ställa en enkel fråga:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
vad är rektangelns area?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Ja, å ena sidan
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
är det summan av areorna
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
inuti rektangeln, eller hur?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
precis som vi gjorde den.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
det är kvadraten av ett
plus kvadraten av ett
plus kvadraten av ett
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
plus kvadraten av två
plus kvadraten av tre
plus kvadraten av tre
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
plus kvadraten av 5
plus kvadraten av 8, eller hur?
plus kvadraten av 8, eller hur?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
det är arean.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Å andra sidan,
eftersom det är en rektangel,
eftersom det är en rektangel,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
är arean lika med höjden gånger bredden,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
och höjden är helt klart åtta,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
och basen är fem + åtta,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
vilket är nästa Fibonaccital, 13.
Eller hur?
Eller hur?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Så arean är 8 gånger 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Eftersom vi beräknat arean korrekt
05:00
two different ways,
122
288880
1687
på två olika sätt,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
måste de bli samma tal,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
och det är därför som kvadraten
av ett, ett, två, tre, fem och åtta
av ett, ett, två, tre, fem och åtta
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
blir 8 gånger 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Om vi nu fortsätter detta,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
kommer vi att få rektanglar
med formen 13 gånger 21,
med formen 13 gånger 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 gånger 34, och så vidare.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Kolla nu på detta.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Om du dividerar 13 med 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
så får du 1.625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
Och om du dividerare ett större tal
med ett mindre tal,
med ett mindre tal,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
så kommer kvoten närma sig
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
runt 1.618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
som många känner som det gyllene snittet,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
ett tal som har fascinerat matematiker,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
vetenskapsmän och konstnärer
i århundraden.
i århundraden.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Jag visar er allt detta för
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
som så mycket av matematiken,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
finns det en vacker sida av det
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
som inte uppmärksammas nog
05:51
in our schools.
142
339146
1567
i våra skolor.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Vi tillbringar mycket tid med
att lära oss beräkningar,
att lära oss beräkningar,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
låt oss inte glömma tillämpningar,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
inklusive den kanske viktigaste
tillämpningen av alla,
tillämpningen av alla,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
att lära sig hur man tänker.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Om jag summera detta i en mening,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
skulle det bli:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
Matematik är inte bara att lösa ut x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
det handlar också om
att fundera på varför.
att fundera på varför.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Tack så mycket.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Applåder)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com