TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
アーサー・ベンジャミン: フィボナッチ数の魅力
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数学は論理的かつ機能的そして・・・スゴいのです。数学マジシャンのアーサー・ベンジャミンが探るのは、不思議で奇妙な数の集合「フィボナッチ数列」の隠れた性質です。（それに数学は想像力を刺激することだってできるのです！）
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
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00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
なぜ数学を学ぶのでしょうか？
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
本質的には３つの理由があります
00:18
calculation,
2
6200
1628
計算するため
00:19
application,
3
7828
1900
応用するため
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
そして 発想するためです
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
発想に時間をかけないのは
00:26
inspiration.
6
14520
1922
残念なことですが・・・
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
数学とはパターンの科学です
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
ここから論理的 批判的 創造的な
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
考え方を学べるのです
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
一方 学校で習う数学は
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
効果的に意欲を
高めているとは言えません
高めているとは言えません
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
数学を勉強する理由を
生徒がたずねても
生徒がたずねても
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
数学を勉強する理由を
生徒がたずねても
生徒がたずねても
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
授業で いつか使うからとか
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
テストに出るからと
言われることも多いのです
言われることも多いのです
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
でも 時々でいいから
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
面白くて美しくて
ワクワクするから
ワクワクするから
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
数学を学ぶという
機会がもてたら
機会がもてたら
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
素敵だと思いませんか
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
でも そんな機会の作り方が
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
わからないという
声も聞きます
声も聞きます
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
そこで私のお気に入りの数から
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
ちょっとした例を挙げましょう
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
フィボナッチ数です （拍手）
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
ここにもフィボナッチ・
ファンがいますね
ファンがいますね
01:12
That's great.
26
60520
1316
素晴らしい
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
この数列はいろいろな角度から
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
楽しむことができます
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
計算の面では
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
わかりやすい数列です
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
1足す 1は 2で
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
1足す 2で 3 —
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2足す 3で 5
3足す 5で 8と
3足す 5で 8と
01:29
and so on.
34
77787
1525
続きます
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
「フィボナッチ」の本名は
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
ピサのレオナルドです
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
彼の著書『算盤の書』で
この数列が紹介されました
この数列が紹介されました
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
現在使われる計算方法は
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
この本を通して
西洋世界に伝わりました
西洋世界に伝わりました
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
応用の点から言うと
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
フィボナッチ数は
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
自然界にあふれています
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
花びらの数は普通 —
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
フィボナッチ数です
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
ひまわりの花や
パイナップルに見られる
パイナップルに見られる
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
らせんの数も
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
フィボナッチ数が多いです
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
この数は さらに
いろいろなものに見出せます
いろいろなものに見出せます
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
ただ最も想像力を
かき立てられるのは
かき立てられるのは
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
この数列の美しい規則性です
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
お気に入りを一つ紹介します
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
平方数は
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
皆さん お好きですよね（笑）
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
フィボナッチ数の最初のいくつかを
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
それぞれ 2乗してみましょう
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
1の 2乗は 1 —
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2の 2乗は 4
3の 2乗は 9 —
3の 2乗は 9 —
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5の 2乗は 25と続きます
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
さて 連続するフィボナッチ数を
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
加えると次の数を得ることが
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
できますよね
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
そういう作り方ですから
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
でも 2乗した数 同士を
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
加えても何も
起こらないと思うでしょう
起こらないと思うでしょう
02:40
But check this out.
65
148656
1346
でも ご覧ください
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1 = 2 —
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
1 + 4 = 5 —
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
4 + 9 = 13 —
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 + 25 = 34 になり
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
このパターンが続くのです
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
実は もう一つあります
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
フィボナッチ数を2乗したものを
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
最初から足していってみましょう
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
どうなるでしょうか
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
1 + 1 + 4 = 6 です
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
これに 9を加えると 15になります
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
25を加えると 40に
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
64を加えると 104になります
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
出てきた数を調べましょう
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
フィボナッチ数には
なっていませんが
なっていませんが
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
よく見ると
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
フィボナッチ数が
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
隠れていますよ
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
わかりますか？
ご覧に入れましょう
ご覧に入れましょう
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 = 2 x 3
15 = 3 x 5 —
15 = 3 x 5 —
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 = 5 x 8 です
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2 3 5 8 ・・・
わかりますか？
わかりますか？
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
（笑）
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
フィボナッチ数ですよね
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
さて こんな規則性を
見つけるのは面白いですが
見つけるのは面白いですが
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
なぜそうなるかを理解すれば
03:42
why they are true.
92
210924
1958
さらに楽しくなります
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
一番下の方程式を見てください
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
8 x 13 になるのでしょうか
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
簡単な図で示します
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
1 x 1 の正方形から始めて
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
隣に 1 x 1 の正方形を置きます
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
合わせると 1 x 2 の
長方形ができます
長方形ができます
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
その下に 2 x 2 の正方形 —
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
隣に 3 x 3 の正方形を置き
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
また下に 5 x 5 の正方形 —
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
隣に 8 x 8 の正方形を置くと
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
大きな長方形が出来ます
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
さて 簡単な質問をしましょう
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
長方形の面積は？
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
一つのやり方は
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
面積は正方形の面積の
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
合計ですね
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
そう作ったのですから
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
1の2乗プラス 1の2乗プラス
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
2の2乗プラス 3の2乗プラス —
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
5の2乗プラス 8の2乗ですよね
04:38
That's the area.
114
266536
1857
これが面積です
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
一方 これは長方形ですから
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
面積は たて x よこ です
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
たては 8ですね
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
よこは 5 + 8 なので
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
次のフィナボッチ数である
13です
13です
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
だから面積は 8 x 13 です
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
面積を２種類の方法で
05:00
two different ways,
122
288880
1687
計算できました
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
結果はお互いに同じなので
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
8 x 13 になると言えるのです
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
さて このプロセスを続けると
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
13 x 21や 21 x 34といった長方形を
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
作り続けることができます
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
では今度は
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
13を 8で割ってみると
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
1.625になります
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
大きい方の数を
小さい方の数で割ると
小さい方の数で割ると
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
その結果は次第に
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
およそ 1.618に近づいていきます
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
この数こそ「黄金比」と
呼ばれる比率です
呼ばれる比率です
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
多くの数学者 科学者 芸術家達を
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
何世紀もの間
魅了してきた数です
魅了してきた数です
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
今回 この題材を取り上げた理由は
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
数学の大半がそうであるように
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
美しい部分があるからです
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
ただ学校で このような美は
05:51
in our schools.
142
339146
1567
あまり注目されません
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
計算の仕方は
長い期間をかけて学びますが
長い期間をかけて学びますが
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
実際に応用することを
忘れてはいけません
忘れてはいけません
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
とりわけ重要なのは
考え方を学ぶ時に
考え方を学ぶ時に
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
数学を応用することです
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
一言でまとめるとすれば
06:05
it would be this:
148
353789
1461
こうなるでしょう
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
「数学とは xの解を
求めるだけでなく
求めるだけでなく
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
理由 “why” を
解明する学問である」
解明する学問である」
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
どうもありがとうございました
06:15
(Applause)
152
363350
4407
（拍手）
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com