TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: Magia liczb Fibonacciego
Filmed:
Readability: 3.2
7,057,274 views
Matematyka jest logiczna, funkcjonalna i... po prostu niesamowita. Matemagik Artur Benjamin bada ukryte własności ciągu Fibonacciego, tego dziwnego i wspaniałego zbioru liczb. (I przypomina, że matematyka może też być źródłem inspiracji!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Double-click the English transcript below to play the video.
00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Dlaczego uczymy się matematyki?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Są trzy zasadnicze powody:
00:18
calculation,
2
6200
1628
obliczenia,
00:19
application,
3
7828
1900
zastosowanie,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
i, na szarym końcu
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
jeżeli chodzi o poświęcany czas,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
inspiracja.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
Matematyka jest nauką wzorców.
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
Uczy nas myśleć logicznie,
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
krytycznie i twórczo.
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
Ale matematyce nauczanej w szkole
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
brakuje właściwej motywacji,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
a kiedy uczniowie pytają
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Po co się tego uczymy?",
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
często słyszą, że będzie im to potrzebne
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
na kolejnych lekcjach albo egzaminach.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Ale czy nie byłoby wspaniale
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
zajmować się czasem matematyką
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
tylko dlatego, że jest fajna albo piękna,
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
albo dlatego, że pobudza umysł?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Wiele osób nie miało okazji
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
zobaczyć tego w praktyce,
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
podam wam więc szybki przykład
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
mojego ulubionego zbioru liczb,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
liczby Fibonacciego. (Brawa)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Super! Fani Fibonacciego już tu są.
01:12
That's great.
26
60520
1316
To świetnie.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Te liczby można doceniać
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
na wiele sposobów.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Jeśli chodzi o obliczenia,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
są tak łatwe do zrozumienia
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
jak 1 + 1 = 2.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Potem 1 + 2 = 3.
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
3 + 5 = 8
01:29
and so on.
34
77787
1525
i tak dalej.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
Człowiek, którego nazywamy Fibonaccim,
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
naprawdę nazywał się Leonardo z Pizy,
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
a liczby zjawiają się w jego książce
"Liber Abaci",
"Liber Abaci",
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
która tłumaczyła Zachodowi
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
zasady współczesnej arytmetyki.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Jeśli chodzi o zastosowania,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
liczby Fibonacciego występują w naturze
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
zaskakująco często.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
Liczba płatków kwiatu
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
zazwyczaj jest liczbą Fibonacciego,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
tak, jak liczba spiral w słoneczniku
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
albo ananasie,
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
które zwykle też są liczbami Fibonacciego.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Liczby te mają znacznie więcej zastosowań,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
ale chyba najbardziej inspirują w nich
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
piękne wzory liczbowe.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Pokażę jeden z moich ulubionych.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Załóżmy, że lubicie
podnosić liczby do kwadratu,
podnosić liczby do kwadratu,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
a kto nie lubi? (Śmiech)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Spójrzmy na kwadraty
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
kilku pierwszych liczb Fibonacciego.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Jeden do kwadratu = 1
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
dwa do kwadratu = 4, trzy- 9,
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
pięć- 25 i tak dalej.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
To żadna niespodzianka,
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
że po dodaniu dwóch kolejnych
liczb Fibonacciego
liczb Fibonacciego
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
dostaniecie kolejny. Prawda?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Tak się je właśnie tworzy.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Ale nieoczekiwanie
dzieje się coś szczególnego,
dzieje się coś szczególnego,
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
gdy dodacie do siebie ich kwadraty.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Spójrzcie na to.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1 = 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
1 + 4 = 5,
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
4 + 9 = 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 + 25 = 34
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
i wzór działa także dalej.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Jest nawet jeszcze jeden.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Gdyby pododawać
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
kwadraty kilku pierwszych
liczb Fibonacciego
liczb Fibonacciego
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
do czego nas to doprowadzi?
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
1 + 1 + 4 = 6.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
6 + 9 = 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
15 + 25 = 40
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
40 + 64 = 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Spójrzcie teraz na te liczby.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
To nie są liczby Fibonacciego,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
ale jeśli przyjrzycie im się uważnie,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
zobaczycie, że liczby Fibonacciego
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
są w nich ukryte.
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Widzicie to? Pokażę wam.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 = 2 x 3,
15 = 3 x 5,
15 = 3 x 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 = 5 x 8.
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8 - komu to zawdzięczamy?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Śmiech)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Oczywiście Fibonacciemu!
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Odkrywanie tych wzorów to świetna zabawa,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
ale jeszcze większą satysfakcję
03:42
why they are true.
92
210924
1958
przynosi rozumienie, dlaczego występują.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Spójrzmy na ostatnie równanie.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Dlaczego 1, 1, 2, 3, 5, i 8 do kwadratu
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
miałyby dać w sumie 8 x 13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Pokażę wam to na prostym rysunku.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Zaczniemy od kwadratu jeden na jeden,
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
obok umieścimy drugi taki sam.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Razem stworzą prostokąt jeden na dwa.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Poniżej umieszczę kwadrat dwa na dwa,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
obok kwadrat trzy na trzy,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
a poniżej kwadraty pięć na pięć
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
i osiem na osiem,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
tworząc jeden wielki prostokąt.
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Pozwólcie, że zadam proste pytanie:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
jakie jest pole tego prostokąta?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Z jednej strony
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
to suma pól powierzchni
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
tworzących go kwadratów, prawda?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
W ten sposób go stworzyliśmy.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
Jeden do kwadratu plus jeden do kwadratu,
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
plus dwa kwadrat, plus trzy kwadrat,
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
plus pięć kwadrat plus osiem kwadrat.
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Tyle wynosi pole powierzchni.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Ponieważ to prostokąt, jego powierzchnia
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
jest równa wysokości
pomnożonej przez podstawę.
pomnożonej przez podstawę.
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
Wysokość to oczywiście osiem,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
a baza to 5 + 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
czyli kolejna liczba Fibonacciego, 13.
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Czyli pole powierzchni to 8 x 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Skoro poprawnie obliczyliśmy
pole powierzchni
pole powierzchni
05:00
two different ways,
122
288880
1687
na dwa różne sposoby,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
to musimy otrzymać te same liczby,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
i dlatego kwadraty 1, 1, 2, 3, 5 i 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
sumują się do 8 x 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Kontynuując ten proces,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
stworzymy prostokąty o wymiarach
13 na 21,
13 na 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 na 34, i tak dalej.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Teraz patrzcie na to.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Jeśli podzielicie 13 przez 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
dostaniecie 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
Dzieląc kolejne większe liczby
przez mniejsze,
przez mniejsze,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
otrzymamy proporcje
coraz bardziej zbliżone
coraz bardziej zbliżone
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
do 1,618,
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
liczby znanej jako złoty podział.
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
Liczba ta fascynuje matematyków,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
naukowców i artystów od wieków.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Pokazuję to wszystko, bo obawiam się
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
że pięknu tego
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
i wielu innych aspektów matematyki
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
poświęca się w szkołach
05:51
in our schools.
142
339146
1567
za mało uwagi.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Spędzamy mnóstwo czasu ucząc się liczyć,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
ale nie zapominajmy o zastosowaniach,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
łącznie z chyba najważniejszym z nich,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
czyli nauce myślenia.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Gdybym mógł podsumować to
w jednym zdaniu,
w jednym zdaniu,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
brzmiałoby ono tak:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
W matematyce nie chodzi
tylko o szukanie x,
tylko o szukanie x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
ale też zrozumienie, po co to robimy.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Dziękuję bardzo.
06:15
(Applause)
152
363350
4407
(Brawa)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com